3.3.2 第2课时 直线与抛物线的位置关系-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）
2025-12-02
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教辅
资源信息
| 学段 | 高中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 高中数学苏教版选择性必修 第一册 |
| 年级 | 高二 |
| 章节 | 3.3.2 抛物线的几何性质 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2025-2026 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 2.43 MB |
| 发布时间 | 2025-12-02 |
| 更新时间 | 2025-12-02 |
| 作者 | 拾光树文化 |
| 品牌系列 | 优学精讲·高中同步 |
| 审核时间 | 2025-12-02 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/55202723.html |
| 价格 | 3.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该高中数学课件聚焦圆锥曲线核心内容，以抛物线为重点，通过选择、填空、解答题等题型，结合点差法、韦达定理、抛物线定义等方法，构建从基础到综合的学习支架，衔接直线与圆锥曲线位置关系等前后知识。
其亮点在于注重数学思维与数学语言的结合，如通过点差法推导中点弦斜率、定义法解决焦点弦长问题，培养学生逻辑推理与运算能力。分层设计的检测题帮助学生逐步深化理解，也为教师提供精准教学的分层训练素材。
内容正文：
课后达标检测
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1.过点且与抛物线 有且只有1个公共点的直线条数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：选D.如图，设过点的直线为 ，则
当与 轴平行时，与抛物线有一个公共点；
当直线 和抛物线相切（有两条切线）时，直线
与抛物线也只有一个公共点.由图可知，过点
与抛物线 有且只有1个公共点的
直线有3条.
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2.已知直线交抛物线于,两点，且线段 的中点为
，则直线 的斜率为( )
A. B. C. D.
√
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解析：选D.易知直线的斜率存在，设直线的斜率为,, ，
则两式相减得 ，
整理得 ，
因为线段的中点为 ，
则 ，
所以 ，
即直线的斜率为 .
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3.若圆与轴相切且与圆外切，则圆 的圆心的轨迹方程为
( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设圆的圆心坐标为 ，依题意可得
，化简得，即圆 的圆心
的轨迹方程为 .
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4.已知双曲线的渐近线方程为 ，则直线
交抛物线 所得的弦长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析：选D.因为双曲线的渐近线方程为 ，
所以，所以，代入抛物线 得，
，
设直线与抛物线的交点为,，则, ，
所以 .
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5.已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线
对称，则 的取值范围是( )
A. B. C. D. A
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解析：选A.设抛物线上关于直线对称的两点为 ，
，
则两式相减得 ，
由条件可知， ，
即 ，
所以中点的纵坐标为，横坐标为 ，即中点坐标为
，
由题意可知，中点应在抛物线内，即 ，得
.
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6.（多选）已知抛物线的焦点为，直线与 在
第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为 ，下列结论正确
的是( )
A.直线过点 B.直线的倾斜角为
C. D. 是等边三角形
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解析：选.抛物线的焦点为 ，
而，所以直线过点 ，故A正确；
设直线的倾斜角为 ，因为直线
的斜率， ，
所以，即直线的倾斜角为 ，故B正确；
因为 ，故C错误；
因为点在抛物线上，由抛物线的定义可知，，又 ，
所以 是等边三角形，故D正确.
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7.已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于， 两点，
若线段的长是8，的中点到 轴的距离是2，则此抛物线方程是_____
____.
解析：设点,的横坐标分别为,，由的中点到 轴的距离是2，得
，即，由抛物线的弦 过其焦点，得
，解得 ，所以此抛物线方程是
.
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8.已知点，不关于轴对称的，两点在抛物线上， 为
线段的中点，且，则点 的横坐标为___.
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解析：设，， ，
则由题意得, ,
由得 .
因为，所以，解得 .
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9.已知为坐标原点，抛物线，斜率为2的直线与抛物线交于 ,
两点，且直线与的斜率之和为，则 的方程为_______________.
解析：由题意设 ,
， .
联立得，则 ，即
，
且, ，
因为，所以 ，解
得，则的方程为 .
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10.（15分）已知抛物线的焦点为，以和 的准线上
的两点为顶点可以构成边长为 的等边三角形.
（1）求 的方程；（5分）
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解：由题意得焦点,，准线方程为 ，
以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为 的
等边三角形 ，
而这个等边三角形的高为
，
即焦点到准线的距离 ，
解得 ，
所以的方程为 .
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（2）讨论过点的直线与 的交点个数.（10分）
解：若直线的斜率存在，设的方程为 .
联立
可得 .
①当时，解得,，此时方程只有一个实数解，与 只有一
个公共点；
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②当时，方程的根的判别式为 ，
（ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与 只
有一个公共点；
（ⅱ）由，解得或 ，此时方程有两个不相等的
实数解，与 有两个公共点；
（ⅲ）由，解得或，此时方程没有实数解，与 没有公
共点；
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与 没有公共点.
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综上，当的方程为或的斜率或时，与 的交点个数
为0；
当的斜率或或时，与 的交点个数为1；
当的斜率,时，与 的交点个数为2.
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11.已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为 的
直线与抛物线的一个交点为位于轴的右侧，过点作 ，
垂足为，连接，交抛物线于点在线段上，则 ( )
A. B. C. D.
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解析：选B.由抛物线，得 ，由
，得直线的方程为 ，
代入，得 ，
解得， ，
所以 ，
因为，所以 ，又因为，所以 为
等边三角形，由可知 ，则直线与关于 轴对称，
由抛物线的对称性可得 ，所以
.
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12.（多选）已知抛物线的焦点 到准线的距离是4，
直线过它的焦点且与交于,两点，为弦 的中点，
则下列说法正确的是( )
A.抛物线的焦点坐标是
B.
C.若，则
D.若以为圆心的圆与的准线相切，则 是该圆的一条直径
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解析：选.对于A，抛物线的焦点 到准线的距离
是4，所以， ，故A正确;
对于B，当直线的斜率不存在时，，所以 ；
当直线的斜率存在时，设， ,得
，所以 ,故B正确;
对于C， ，故C错误；
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对于D，如图所示，
过,,分别向准线作垂线，垂足为,, ，
因为, ，
所以 ，
又为弦的中点,所以 ,故
是圆 的一条直径,故D正确.
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13.（15分）在平面直角坐标系中，点到点的距离比点 到直线
的距离小2，记动点的轨迹为曲线.直线 与
曲线交于,两点，且 .
（1）求曲线 的方程；（3分）
解：由点到点的距离比点到直线 的距离小2，
得点到点的距离等于点到直线 的距离，
因此点的轨迹是以点为焦点、直线 为准线的抛物线，
所以点的轨迹曲线的方程为 .
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（2）求, 两点的横坐标之积与纵坐标之积；（5分）
解：设， ，
因为 ，
即 ，
所以 ，
因为， ，
所以 ，
所以， .
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（3）求面积的最小值，并求此时直线 的方程.（7分）
解：由题知，令直线方程中，可得直线与 轴
交点，联立得 ，由（2）知，
，
所以，即点坐标为 ，
则
，
当且仅当 时，等号成立.
所以面积的最小值为16，此时直线的方程为 .
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14.（15分）（2025·杭州期中）如图，抛物线
,是抛物线内一点，过点
作两条斜率存在且互相垂直的动直线,，设 与抛
物线 相交于点,,与抛物线 相交于点， ，
当恰好为线段的中点时， .
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（1）求抛物线 的方程；（6分）
解：设直线,,, ，
联立得 ，
所以, .
又因为是 的中点，
所以 ，
又
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，
代入化简得，解得 .
故抛物线 的方程为 .
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（2）求 的最小值.（9分）
解：
，
由（1）可得， ，
因为
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，
同理 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，即所求最小值为12.
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15.（多选）设为坐标原点，直线过抛物线 的焦点
且与交于，两点（点在第一象限），，为 的准线，
，垂足为， ，则下列说法正确的是( )
A.
B.的最小值为
C.若，则
D.若，则直线的斜率为或
√
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解析：选 .对于A，根据抛物线的性质，所有的焦
点弦中，通径最短，为，由，得 ，
故A正确；
对于B，因为抛物线方程为，所以 .根
据抛物线的定义， ，所以
，当为
与抛物线的交点时，等号成立，故B正确；
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对于C，记直线与轴的交点为，过点作于点 ，如图.因为
， ，
所以，所以 .
根据抛物线的定义，， ，所以
，故C错误；
对于D，当时，直线 斜率存在且不为0，设直线
.
代入得，，整理得 .
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设， ，
则由，点在第一象限，得 .
解得 ，故D错误.
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