专题07 三角形中位线定理专训（专项训练）数学新教材冀教版八年级下册

**基本信息** 以三角形中位线定理为核心，通过九类题型系统构建“概念-证明-计算-应用-拓展”的方法体系，强化逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明问题|4题|延长中位线构造平行四边形、利用全等/平行四边形性质|从定理证明到四边形中点连线（瓦里尼翁平行四边形）| |计算应用|12题|中位线与第三边数量关系、面积转化|长度/角度/面积计算的直接应用与变式| |实际应用|4题|转化不可测距离为中位线测量|模型意识：将实际问题抽象为几何模型| |综合拓展|16题|辅助线构造、动态最值分析、新定义迁移|从单一应用到与四边形、函数结合的综合问题|

专题07 三角形的中位线定理专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、与三角形中位线有关的证明问题 1 题型二、利用三角形的中位线求长度 2 题型三、利用三角形的中位线求角度 3 题型四、利用三角形的中位线求面积 5 题型五、三角形中位线的实际应用 6 题型六、三角形中位线的最值问题 8 题型七、三角形中位线的辅助线添加问题 9 题型八、三角形中位线的新定义问题 11 题型九、中点四边形 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、与三角形中位线有关的证明问题 1．如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点．求证：． 2．如图，在中，是中线，是角平分线，点在上，，试判断与的位置关系，并说明理由． 3．课本再现 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，琪琪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：分别是的边的中点． 求证：，且． 知识应用 （2）如图2，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形． 4．【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接、， ∵H，G分别为，的中点，∴．（依据1） ∵E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形，（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（，）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切，例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)填空：材料中的依据1是：__________．依据2是：__________． (2)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论． (3)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 题型二、利用三角形的中位线求长度 5．如图，在中，，分别是边，的中点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 6．如图，在四边形中，和相交于点，，，、、分别是、、的中点，连接、、，，，，则的周长为（    ） A．24 B．26 C．28 D．30 7．如图，在中，E，F，D分别是，，的中点，连接，．若，则______． 8．如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． (1)求证：； (2)若，，求点，之间的距离． 题型三、利用三角形的中位线求角度 9．如图，有一张三角形卡纸，点、分别是、的中点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，点D是边上的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，若，则_______ o． 11．如图，在中，于点E，F是的中点，连接，，，且，平分． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)如图2，连接，若，求的度数． 12．如图，在中，D、E分别是、的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 题型四、利用三角形的中位线求面积 13．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，若的面积是48，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．16 14．如图，F是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E．若的面积是，则四边形的面积是______． 15．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，则的面积是__________． 16．如图，点D、E分别在的边上，且． (1)请用尺规作图的方法在边上求作一点，使得与的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，再添加一个已知条件（不添加任何辅助线），使得的面积与和的面积均相等，这个条件可以是_________________ 题型五、三角形中位线的实际应用 17．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 18．【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在中，点，分别是，边的中点．求证：，且． 方法一：证明：如图2，延长到点，使，连接，，． 方法二：证明：如图3，取的中点，连接并延长到点，使，连接． 【回顾证法】 (1)请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图4，，两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了，间的距离：先在池塘外选一点，连接，，然后测出，的中点，，并测出的长度为12米，则，两点间的距离为________米． 19．阅读材料： 金山区某中学数学兴趣小组，在《23.4（1）三角形的中位线与重心》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究． 已知：如图（1），在中，、分别是、的中点． 求证：，且． 下面是几位同学的探究过程： 甲：过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． 乙：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． 丙：延长至点，使，连接、、．        丁：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． (1)任务一：四位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有__________（填人名） (2)任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整． (3)任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现、两地被某人工湖隔开，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于），某同学提出方案“我们可以在与平行的人行步道上的点、处作好标记，通过皮尺找到与的中点、，通过皮尺测量，的长度，就可以估算出、两点间的距离了”．若测得，，请直接写出、两点间的距离．（用含、的代数式表示） 20．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 题型六、三角形中位线的最值问题 21．如图，在中，，，，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，最小的值是______．    22．如图，在中，，以为边在外作，对角线，交于点，连接．若，，则的最大值为_______．    23．如图，在中，，为边的中点，长度为2的线段绕点旋转，连接，是的中点，连接，则长度的最大值为_____，最小值为_____． 24．如图，在中，，．点，分别是边，上的动点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的最小值为__________． 题型七、三角形中位线的辅助线添加问题 25．如图，在中，，点P在的平分线上，且，点M为边的中点．求的长． 26．如图，在中，对角线，交于点，，点为边上一点，且，若，则的长为______． 27．如图，在中，点分别是的中点，于且交于点，若，则的长是___________． 28．探究解题 【知识再现】 (1)如图1，在中，点，分别是边，的中点，则和的关系为___________； 【性质应用】 (2)如图2，在四边形中，点，，分别是，，的中点，，的延长线交于点，若，求的度数； 【拓展证明】 (3)如图3，在四边形中，与相交于点，点，分别为，的中点，分别交于点，且．求证：． 题型八、三角形中位线的新定义问题 29．定义：只有一组对边相等的四边形为“纯等对边四边形” (1)如图1，四边形是“纯等对边四边形”，其中，，，分别是，，的中点．若，，求的度数； (2)如图2，四边形是“纯等对边四边形”；其中，点，分别是对角线，的中点，若，求证：． 30．【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… (1)请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 (2)如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 31．【阅读】 三角形中位线定义：在中，若点D、E分别是与的中点，则是的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． (1)【定理证明】 证明三角形的中位线定理的方法有多种．我们可以延长至F，使得，连接，再利用全等三角形、平行四边形的知识进行证明，请结合图2，完成证明． 已知：在中，点D，E分别是，的中点． 求证：，且． (2)【定理应用】 如图3，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，，求的长． 32．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【性质探究】 如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论 ， ； 【问题解决】 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】 如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点， （1）试探索与的数量关系，并说明理由． （2）若，则的最小值是 ． 题型九、中点四边形 33．如图所示，学校有一块四边形草坪，其中、、、分别是、、、的中点，在中点位置各安装一个喷水头，并用管道依次连接这四个喷水头，得到中点四边形． (1)草坪为任意四边形时，猜想四边形的形状并证明； (2)现在测得草坪的两条对角线，，且，求四边形的面积． (3)尺规作图：已知线段和（），作一个四边形，使得它的中点四边形恰好是一个周长为的矩形，保留作图痕迹，不写作法，标明字母（不需要画出中点四边形）． 34．【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 35．如图，在四边形中，，E、F、G、H分别为、、、的中点，顺次连接E、G、F、H． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 36．阅读下面材料，完成相应的任务． 类比三角形中位线，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点，分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形中位线的长度，可以通过找对角线中点，将其转化为三角形中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点，分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：取的中点，连接，． 因为点、分别是，的中点， 所以，，，．（依据） …… 任务： (1)将材料中的解题过程补充完整． (2)如图3，在四边形中，点，分别是，的中点，，，，延长，交于点，延长交于点．求证：． (3)对角线互相垂直的四边形叫垂美四边形．已知四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，，若，，则与的关系是______，______． 1．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．四个角相等 2、（25-26八年级下·河北保定·期中）四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形，四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．（2026·河北石家庄·一模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，分别为，的中点，连接，，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 4．（2024·河南郑州·一模）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．1 D． 5．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，点D在的延长线上，，于点，是的中点，连接，若，，则的长为______． 6．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在中，点、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是__________． 7．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）如图，在中，，，M，N分别为，的中点，点 P 在 上．若四边形为菱形，则菱形的面积为________． 8．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在中，点D、E分别是边、的中点，过点A作交的延长线于点，连接、，过点作于点．若，四边形是菱形，则的长为___________ 9．（25-26八年级下·河北邢台·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 10．（2026·河北石家庄·一模）如图1和图2，矩形纸片长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图2，沿分别折出，，点，分别在边上，得到四边形； 解答下列问题： (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，求的长； (3)通过计算，比较图1中四边形和图2中四边形的面积的大小． 11．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在矩形中（），对角线相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形： (2)当时，菱形的面积为__________． 12．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． (1)下面是垂美四边形的是___________；（填序号） ①平行四边形     ②菱形    ③矩形    ④正方形 (2)如图2，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，判断四边形的形状，并说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角形的中位线定理专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、与三角形中位线有关的证明问题 1 题型二、利用三角形的中位线求长度 2 题型三、利用三角形的中位线求角度 3 题型四、利用三角形的中位线求面积 5 题型五、三角形中位线的实际应用 6 题型六、三角形中位线的最值问题 8 题型七、三角形中位线的辅助线添加问题 9 题型八、三角形中位线的新定义问题 11 题型九、中点四边形 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、与三角形中位线有关的证明问题 1．如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】由中位线的性质可得，由平行四边形的性质可得，命题得证． 【详解】证明：∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 2．如图，在中，是中线，是角平分线，点在上，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，证明，得到，进而可得是的中位线，利用三角形中位线的性质即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： 如图，延长交于点， 是角平分线， ， 在和中， ， ， 即点是的中点， 是的中线， 点是的中点， 是的中位线， ∴， ∴． 3．课本再现 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，琪琪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：分别是的边的中点． 求证：，且． 知识应用 （2）如图2，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，，．证明四边形是平行四边形，可得，且，再证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得结论； （2）连接，利用三角形中位线的性质分别得到，，，，即可得到，，进而由平行四边形的判定定理即可求证． 【详解】解：证明：如图1，延长到点，使，连接，． 四边形是平行四边形， ，且， ，且， 四边形是平行四边形， ，且． 又， ，且 （2）证明：如图2，连接． 分别是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形． 4．【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接、， ∵H，G分别为，的中点，∴．（依据1） ∵E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形，（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（，）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切，例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)填空：材料中的依据1是：__________．依据2是：__________． (2)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论． (3)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【答案】(1)三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和，证明见解析 (3)图见解析，的度数为或 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）根据三角形的中位线定理、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得； （2）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （3）先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（三角形的中位线定理） 分别为的中点， ． ， 同理：， 四边形是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下： 分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为 ． （3）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 题型二、利用三角形的中位线求长度 5．如图，在中，，分别是边，的中点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可． 【详解】解：∵，分别是边，的中点．， ∴. 6．如图，在四边形中，和相交于点，，，、、分别是、、的中点，连接、、，，，，则的周长为（    ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】A 【分析】由得到，再证明得到，由此即可证明四边形为平行四边形，由为平行四边形得到，结合已知条件得到，进而得到与均为等腰三角形，结合为中点得到，为斜边上的中线求出；过点作于，求出，再证明四边形为平行四边形得到，最后将、、相加即可求解． 【详解】解：， ， 在和中 ， ， ， 四边形为平行四边形． 点、分别为和的中点， 是的中位线， ； 四边形为平行四边形， ，， 又， ， 与均为等腰三角形， 又为的中点，连接， ， ， 又为的中点， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知： ； 过点作于，连接，如图所示： 由等腰三角形的三线合一可知：， ， 在中，由勾股定理可知， 为中点，为中点， 为的中位线， ，即， 且， 四边形为平行四边形， ， ． 7．如图，在中，E，F，D分别是，，的中点，连接，．若，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理以及三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形斜边中线定理是解题的关键．根据直角三角形斜边中线定理求出，再根据是的中位线，得到． 【详解】解：在中，D是的中点，， 则， E，F是，的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 8．如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． (1)求证：； (2)若，，求点，之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点，之间的距离为 【分析】（1）根据题意得出为的中位线，，则，从而得，结合，即可证明． （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，，在中，勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：，分别为边，的中点， 为的中位线，． ． ． ， ． （2）解：连接，如图， 为边的中点，， ，． 在中，， ， 点，之间的距离为． 题型三、利用三角形的中位线求角度 9．如图，有一张三角形卡纸，点、分别是、的中点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理得出，利用平行线的性质得出，最后在中利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴ 是的中位线， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ ． 10．如图，在中，，点D是边上的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，若，则_______ o． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等、中位线定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键．延长，交于点，延长交于点，先证明，然后证明是的中位线，可得，可得，再证明，可得，进而利用斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：如图，分别延长，交于点，延长交于点， ， ． ， ， ， ． 为的中点， ， ， ． ，， ， ． 在和中， ． ， ∵， ， ， ． 11．如图，在中，于点E，F是的中点，连接，，，且，平分． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)如图2，连接，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）不妨设交于点，先通过角平分线证明，再通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，推出，接着证明 ，继而可得 ，即得出的度数 ； （2）延长交的延长线于点，证明，再证垂直平分，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理求出的长； （3）延长交的延长线于点，先证明，设，则，在中，由勾股定理解得，，；取中点H，连接，证明，再证明为等腰直角三角形，从而得出． 【详解】（1）解：不妨设交于点， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵，是的中点， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 又，， ∴， ∴． （2）解：延长交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， 又∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）知，即， 又，即为的中点， ∴垂直平分， ∴ ， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵为的中点，， ∴， 在中，，， ∴． （3）解：延长交的延长线于点， 由（2）知， ∴，， 由（1）知，故垂直平分， ∴， 设，由得， 在中，，代入得， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴； 取中点，连接，如图 ， ∵为中点，为中点， ∴且， ∵ ∴， 又， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 12．如图，在中，D、E分别是、的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用三角形中位线的性质求解即可； （2）根据三角形中位线的性质以及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． （2）解：∵是的中位线， ∴， ∴． 题型四、利用三角形的中位线求面积 13．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，若的面积是48，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用是边上的中线，是的中点依次求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ， 是的中点， ， ， ∴阴影部分的面积为12， 故选：C． 14．如图，F是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E．若的面积是，则四边形的面积是______． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的面积，理解三角形的重心的定义，等底或同底同高或等高的两个三角形的面积相等，同高或等高的两个三角形的面积之比等于对应底边的比是解决问题的关键，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定义是解决问题的关键．延长到H，使，连接，，延长交于点E，则，证明四边形是平行四边形得，，进而得是的中位线，则，，根据三角形的面积公式得，由此得，进而得，则，再根据得，据此即可得出四边形CDFE的面积． 【详解】解：如图，延长到H，使，连接，，延长交于点E， ∴， ∵F是的重心， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， ∵，的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， 又∵的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：8． 15．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，则的面积是__________． 【答案】48 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质；由题意得，，则全等三角形的面积相等；由三角形中位线定理得；根据的面积等于长方形的面积即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴；，， ∴的中点分别为D，E， ∵， ∴； ∵ ． 故答案为：48． 16．如图，点D、E分别在的边上，且． (1)请用尺规作图的方法在边上求作一点，使得与的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，再添加一个已知条件（不添加任何辅助线），使得的面积与和的面积均相等，这个条件可以是_________________ 【答案】(1)见解析 (2)点D、E分别是的边的中点 【分析】本题主要考查了平行线的性质，尺规作图—作线段的垂直平分线，三角形中位线定理． （1）根据，可得到的距离处处相等，再由与的面积相等，可得点P为的中点，然后作的垂直平分线，即可求解； （2）当点D、E分别是的边的中点，由三角形中位线定理知，即可得到的面积与和的面积均相等． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求． ； （2）解：当点D、E分别是的边的中点， 由三角形中位线定理知， ∴的面积与和的面积均相等． 故答案为：点D、E分别是的边的中点． 题型五、三角形中位线的实际应用 17．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)与互相平分，证明见解析 【分析】（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论； 选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，； （2）直接根据中位线性质进行求解即可； （3）连接，，证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：选择方法一： 如图，延长到点F，使，连接，，， ∵E是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，且； 选择方法二： 如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； （2）解：∵D、E分别为，的中点， ∴， ∵的长度为12米， ∴米； （3）解：与互相平分；理由如下： 如图，连接，， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴D、E、F分别是、、的中点， ∴，且， 又， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 18．【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在中，点，分别是，边的中点．求证：，且． 方法一：证明：如图2，延长到点，使，连接，，． 方法二：证明：如图3，取的中点，连接并延长到点，使，连接． 【回顾证法】 (1)请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图4，，两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了，间的距离：先在池塘外选一点，连接，，然后测出，的中点，，并测出的长度为12米，则，两点间的距离为________米． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）选择方法一：延长到点，使，连接，，，先证明四边形是平行四边形，故，，即可证四边形是平行四边形，有，，从而可得结论； 选择方法二：取的中点，连接并延长到点，使，连接，证明，得，，再得，从而可得四边形是平行四边形，有，，可证，四边形是平行四边形，即可得，从而得结论； （2）利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）证明：方法一： 如图2，延长到点，使，连接，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴； 即，且； 选择方法二： 取的中点，连接并延长到点，使，连接，如图， ∵E是边的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，． 即三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． （2）解：∵D，E分别是的中点， ∴为的中位线， ∴（米）． 19．阅读材料： 金山区某中学数学兴趣小组，在《23.4（1）三角形的中位线与重心》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究． 已知：如图（1），在中，、分别是、的中点． 求证：，且． 下面是几位同学的探究过程： 甲：过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． 乙：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． 丙：延长至点，使，连接、、．        丁：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． (1)任务一：四位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有__________（填人名） (2)任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整． (3)任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现、两地被某人工湖隔开，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于），某同学提出方案“我们可以在与平行的人行步道上的点、处作好标记，通过皮尺找到与的中点、，通过皮尺测量，的长度，就可以估算出、两点间的距离了”．若测得，，请直接写出、两点间的距离．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)甲乙丙丁 (2)选择甲（或乙或丙或丁）；证明见解析 (3)、两点间的距离为 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质结合全等三角形的判定与性质即可判断； （2）甲：先证明四边形是平行四边形，再证明，然后证明四边形是平行四边形即可；乙：证明，，再证明四边形是平行四边形即可；丙：先证明，再证明四边形是平行四边形即可；丁：根据中点坐标公式得到，的坐标，然后根据点的坐标特征即可判定； （3）连接并延长，交延长线于点，证明，得到是的中位线，根据中位线的性质即可得解． 【详解】（1）解：甲乙丙丁； （2）解：选择甲； 过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 、分别是、的中点， ，， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，； 选择乙； 证明：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． ． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，． 同理，，，， ， ，． ，． ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，； 选择丙； 证明：延长至点，使，连接、、． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ； 选择丁； 证明：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． ， 、分别是、的中点， ，， ，； （3）解：如图，连接并延长，交延长线于点， 点是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ，，即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即， ， 即、两点间的距离为． 20．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 题型六、三角形中位线的最值问题 21．如图，在中，，，，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，最小的值是______．    【答案】3 【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，长度取最小值． 【详解】解：∵在中，， ． ∵四边形是平行四边形， ，． ∴当取最小值时，线段最短，此时． ， 点O是的中点， 是的中位线， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质． 22．如图，在中，，以为边在外作，对角线，交于点，连接．若，，则的最大值为_______．    【答案】 【分析】取的中点，连接、，由平行四边形的性质可得点是的中点，从而判断是的中位线，则．由直角三角形的性质可得，结合，从而求出的最大值． 【详解】解：如图，取的中点，连接、，    ∵在中，点为斜边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最大值． 23．如图，在中，，为边的中点，长度为2的线段绕点旋转，连接，是的中点，连接，则长度的最大值为_____，最小值为_____． 【答案】 ， 【分析】连接，取的中点，连接，，利用三角形中位线定理求出的长，确定点的运动轨迹，利用勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求出的长，根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， 是的中点，是的中点 是的中位线 ，为边的中点， 在中，， 根据勾股定理得 ，是的中点 是斜边上的中线 在中，根据三角形三边关系可知 的最大值为，最小值为． 24．如图，在中，，．点，分别是边，上的动点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，求出的最小值即可得的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取最小值时，可取得最小值， ∵点是边上的动点， ∴当时，线段的长最小， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 题型七、三角形中位线的辅助线添加问题 25．如图，在中，，点P在的平分线上，且，点M为边的中点．求的长． 【答案】 【分析】延长交于点，先证明，得，再由中位线可得． 【详解】解：如图，延长交于点， 是的平分线， ， ， ， 在和中，， ， ，点是的中点， ， ， 点M为边的中点， 是的中位线， ． 26．如图，在中，对角线，交于点，，点为边上一点，且，若，则的长为______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，可知，根据平行四边形的性质得到是的中点，根据三角形中位线定理得到，可知，证明是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：如图，取的中点，连接，可知， 在中，对角线，交于点， 是的中点， 是中位线， ， ， ， ，即是的中点， ． 27．如图，在中，点分别是的中点，于且交于点，若，则的长是___________． 【答案】 【分析】取的中点，连接、，则、是的中位线，可证四边形是平行四边形，再证明出，得到，进而得出，即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 点分别是的中点， 、是的中位线， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 28．探究解题 【知识再现】 (1)如图1，在中，点，分别是边，的中点，则和的关系为___________； 【性质应用】 (2)如图2，在四边形中，点，，分别是，，的中点，，的延长线交于点，若，求的度数； 【拓展证明】 (3)如图3，在四边形中，与相交于点，点，分别为，的中点，分别交于点，且．求证：． 【答案】(1)且 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得结论． （2）证明，，可得，进一步结合角的和差运算与三角形的外角的性质求解即可． （3）取中点，连接，，证明，证明且，且，证明，进一步可得结论． 【详解】（1）解：∵在中，点，分别是边，的中点， ∴，． （2）解：点，，分别是，，的中点， ∴，， ， ， ． （3）解：取中点，连接，． ， 点分别是的中点， ∴且，且， ． ， ， 又 ． 题型八、三角形中位线的新定义问题 29．定义：只有一组对边相等的四边形为“纯等对边四边形” (1)如图1，四边形是“纯等对边四边形”，其中，，，分别是，，的中点．若，，求的度数； (2)如图2，四边形是“纯等对边四边形”；其中，点，分别是对角线，的中点，若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要查了三角形的中位线的性质定理，等腰三角形的两底角相等的性质，等边三角形的判定和性质： （1）根据三角形的中位线的性质定理可得且，且，再结合等腰三角形的两底角相等的性质，可得，从而得到，然后根据，可得，即可求解； （2）取中点，连接，，根据三角形的中位线的性质定理可得，，，，从而得到，，进而得到，，继而得到，可证明为等边三角形，即可求证． 【详解】（1）解：∵，，分别是，，的中点， ∴且，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，取中点，连接，， ∵点，是对角线，的中点， ∴，，，， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 30．【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… (1)请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 (2)如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 【答案】(1)；，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证和全等，再说明是的中位线．利用三角形中位线定理得出结论； （2）先根据梯形面积求解得到的值，再由梯形中位线求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：连接并延长，交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． （2）解：梯形的面积为，高为， ∴ ∴ 则梯形的中位线． 31．【阅读】 三角形中位线定义：在中，若点D、E分别是与的中点，则是的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． (1)【定理证明】 证明三角形的中位线定理的方法有多种．我们可以延长至F，使得，连接，再利用全等三角形、平行四边形的知识进行证明，请结合图2，完成证明． 已知：在中，点D，E分别是，的中点． 求证：，且． (2)【定理应用】 如图3，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】（1）通过延长中位线构造全等三角形和平行四边形，利用全等三角形和平行四边形的性质完成证明． （2）利用角平分线和垂线构造全等三角形得到线段相等关系，再结合中位线定理求线段长度． 【详解】（1）证明：延长至，使，连接． 是的中点， ． 在和中， ， (SAS)． ，． ． 是的中点， ． ． 又， 四边形是平行四边形． ，． ． （2）解：延长交于点． 平分， ． ， ． 在和中， ， (ASA)． ，E是的中点． 是的中点， 是的中位线． ． ． ． 32．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【性质探究】 如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论 ， ； 【问题解决】 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】 如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点， （1）试探索与的数量关系，并说明理由． （2）若，则的最小值是 ． 【答案】性质探究：，；问题解决：证明见详解；拓展应用：（1），理由见详解；（2） 【分析】性质探究：由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且、、、分别是、、、的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：如图2，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（1）如图3，分别作、的中点、并顺次连接、、、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （2）如图4，分别作、的中点、并顺次连接、、、，连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，再结合（1）的结论即可求得答案． 【详解】性质探究：①，②； 理由如下：如图1， 四边形是“中方四边形”， 是正方形且、、、分别是、、、的中点， ，，，，，， ，， 故答案为：，； 问题解决：如图2，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于， 四边形各边中点分别为、、、， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形都是正方形， ，，， 又， ， 即， 在和中， ， ， ，， 又，， ， 是菱形， ， ． 又，， ， ， 又，， ， 菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”； 拓展应用：（1），理由如下： 如图3，分别作、的中点、并顺次连接、、、， 四边形是“中方四边形”， ，分别是，的中点， 四边形是正方形， ，， ， ，分别是，的中点， ， ； （2）如图4，分别作、的中点、并顺次连接、、、， 连接交于，连接、， 当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长， ， 由性质探究②知：， 又，分别是，的中点， ，， ， ， 由拓展应用（1）知：； 又， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 题型九、中点四边形 33．如图所示，学校有一块四边形草坪，其中、、、分别是、、、的中点，在中点位置各安装一个喷水头，并用管道依次连接这四个喷水头，得到中点四边形． (1)草坪为任意四边形时，猜想四边形的形状并证明； (2)现在测得草坪的两条对角线，，且，求四边形的面积． (3)尺规作图：已知线段和（），作一个四边形，使得它的中点四边形恰好是一个周长为的矩形，保留作图痕迹，不写作法，标明字母（不需要画出中点四边形）． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)12平方米 (3)见解析 【分析】（1）由三角形中位线定理分别得出且，且，可得且，即可证明； （2）设分别与交于点，与交于点，首先根据题意证得平行四边形为矩形，然后，由中位线定理得且，接着，证得，，根据矩形的面积公式代入计算即可； （3）如图3，按照作图步骤作图即可． 【详解】（1）证明：形状：平行四边形．理由如下： 如图1，连接， 在中，、分别是、的中点， 且． 在中，、分别是、的中点， 且， 且， 四边形是平行四边形； （2）解：如图2，设分别与交于点，与交于点， ， ． 由（1）同理可得，， 四边形是平行四边形． ． 由（1）得四边形是平行四边形， 平行四边形为矩形． 在中，、分别是、的中点， 且． ∵，，由（1）得， ，， 矩形面积． 答：四边形的面积为． （3）解：如图3，首先，作水平射线，接着，在射线上以为圆心线段的长度为半径画弧交射线于，然后，在线段下方任取一点，以为圆心，任意长为半径画弧，交线段于两点，再分别以这两点为圆心大于这两点间的距离画弧交线段上方于一点，连接与这一点并延长，在此射线上以点为圆心，线段的长为半径画弧交射线于，顺次连接即可． 如图3所示，四边形即为所求． 34．【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，菱形，矩形 (3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的 (4)四边形是同形中点四边形．见解析 【分析】（1）连接，根据中位线的性质得出，．即可证明四边形是平行四边形． （2）根据平行四边形的判定，菱形、矩形的判定，结合中位线的性质，即可求解． （3）根据（2）的结论，即可求解． （4）连接，，根据正方形的性质结合中位线的性质得出，，即可得出四边形是正方形． 【详解】（1）证明：连接． 、分别是、的中点， 是的中位线． ，． 同理得 ，． ，． 四边形是平行四边形． （2）解：当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是菱形； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是矩形； （3）解：中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的． （4）解：四边形是同形中点四边形． 理由如下：连接，． 点、、、分别为正方形的四边中点， ， ， ，，，， 四边形 是正方形， ，， ， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是正方形． 35．如图，在四边形中，，E、F、G、H分别为、、、的中点，顺次连接E、G、F、H． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)当时，四边形为正方形；理由见解析 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，，，，，进而得到，，即可得四边形是平行四边形，又由得，即可得到四边形是菱形； （2）根据平行线的性质得到，，根据平角的定义，得到，根据正方形的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由条件可知、、分别为、、的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：当时，四边形为正方形．理由如下： 由（1）同理可证， ∴， ∵， ∴， 由条件可知， ∴， ∴菱形是正方形． 36．阅读下面材料，完成相应的任务． 类比三角形中位线，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点，分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形中位线的长度，可以通过找对角线中点，将其转化为三角形中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点，分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：取的中点，连接，． 因为点、分别是，的中点， 所以，，，．（依据） …… 任务： (1)将材料中的解题过程补充完整． (2)如图3，在四边形中，点，分别是，的中点，，，，延长，交于点，延长交于点．求证：． (3)对角线互相垂直的四边形叫垂美四边形．已知四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，，若，，则与的关系是______，______． 【答案】(1)过程见解析 (2)证明过程见解析 (3)互相平分且相等；50 【分析】（1）由三角形中位线定理得，，，，根据平行线的性质可得出，再由勾股定理即可求解； （2）连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理得，，，，进而可得，，用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得结论； （3）根据已知条件证明四边形是矩形，即可得解； 【详解】（1）解：取的中点，连接，， 点、分别是，的中点， ，，，，（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半） ，， ， ， 在中，由勾股定理得； （2）证明：连接，取的中点，连接，， 点，分别是，的中点， ，，，， ，， ，，， ， 是直角三角形，且， ， ； （3）解：如图，四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形， ，是矩形的对角线， 与互相平分且相等， ，， ，， 中，， ， ， ． 1．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．四个角相等 【答案】C 【分析】根据中位线定理得到中点四边形边与原四边形对角线的关系，结合矩形性质推导即可． 【详解】解：点分别是四边形四边的中点，顺次连接得四边形为矩形，根据三角形中位线定理，可得：，， 四边形是矩形， ， ， 即四边形的两条对角线互相垂直， 2、（25-26八年级下·河北保定·期中）四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形，四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形． 【详解】解：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． 3．（2026·河北石家庄·一模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，分别为，的中点，连接，，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据斜边上的中线以及三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵在平行四边形中，对角线交于点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴. 4．（2024·河南郑州·一模）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的定义和性质，勾股定理， 先根据中位线的定义和性质可得，再根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，然后根据平行四边形的性质和直角三角形的性质求出，最后根据勾股定理求出，则答案可得. 【详解】解：如图所示，连接， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 可知最小时，最小， 根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴的最小值为． 故选：D． 5．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，点D在的延长线上，，于点，是的中点，连接，若，，则的长为______． 【答案】3 【分析】根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，于点M， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴是三角形的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 6．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在中，点、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是__________． 【答案】1 【分析】先求出，再证是的中位线，得出，，再根据角平分线与平行线，证得，从而得，即可由求解． 【详解】解：是的中点， ， 是的中点， 是的中位线， ，， ， 平分， ， ， ， ． 7．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）如图，在中，，，M，N分别为，的中点，点 P 在 上．若四边形为菱形，则菱形的面积为________． 【答案】30 【分析】本题考查了中位线定理、菱形性质、勾股定理，运用中位线定理、菱形性质、勾股定理求线段长是解题的关键． 先由中位线定理可得长，再由菱形性质可得长及，由勾股定理可得长，由菱形对角线将它分成四个全等的小三角形即可求面积． 【详解】解：如图，连接、，交于点O， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴． 8．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在中，点D、E分别是边、的中点，过点A作交的延长线于点，连接、，过点作于点．若，四边形是菱形，则的长为___________ 【答案】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解答的关键． 由三角形中位线定理得，再证四边形是平行四边形，得，由菱形的性质得，，，，再由勾股定理求得，由菱形的面积求出的长即可． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线，， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 四边形是菱形， ，，，， ∴在中，， ∴， ， ， 即， ． 9．（25-26八年级下·河北邢台·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】（1）先根据菱形的性质得出为的中点，结合点为中点，得出为的中位线，即，再根据，，推出，证明四边形为平行四边形，最后根据去证明平行四边形为矩形即可； （2）先根据菱形的性质得出，，再结合点为中点，求出，然后根据（1）证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求解，求得的值，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴， ∵点为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点为的中点，， ∴， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∴． 10．（2026·河北石家庄·一模）如图1和图2，矩形纸片长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图2，沿分别折出，，点，分别在边上，得到四边形； 解答下列问题： (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，求的长； (3)通过计算，比较图1中四边形和图2中四边形的面积的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大． 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理得到，，由矩形的性质得到，则可证明，进而可证明四边形是菱形； （2）证明，得到，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）分别计算出两个四边形的面积，比较即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1所示，连接， ∵点E、F、G、H分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， 同理可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：图1中四边形的面积， 同理可求出， 图2中四边形的面积， ∵， ∴图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大． 11．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在矩形中（），对角线相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形： (2)当时，菱形的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）由矩形的性质求得，再证明是的中位线，推出，，得到四边形是平行四边形，据此即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质和矩形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∵， ∴点是线段的中点， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形中， ∴，，， ∴， ∴菱形的面积． 12．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． (1)下面是垂美四边形的是___________；（填序号） ①平行四边形     ②菱形    ③矩形    ④正方形 (2)如图2，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了正方形、矩形、菱形的性质，三角形的中位线定理，矩形的判定，正确理解垂美四边形的定义以及灵活运用特殊四边形的判定与性质是解题的关键． （）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质逐一排除即可； （2）由中位线定理可得，，，，，证明四边形是平行四边形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是矩形． 【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分但不垂直，不符合垂美四边形定义， 菱形的对角线互相垂直平分，符合垂美四边形定义， 矩形的对角线互相平分且相等，不符合垂美四边形定义， 正方形对角线互相垂直平分且相等，符合垂美四边形定义， 故答案为：； （2）解：四边形是矩形，理由， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $