精品解析：北京市东城区2025-2026学年第二学期期末样卷初二数学

北京市东城区2025-2026学年第二学期期末样卷初二数学 考生须知 1．本试卷由样卷和校本题两部分组成，共28题，满分100分，考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（共16分，本题共8道题，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 以下四个函数中，图象不过坐标原点的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对A选项，当时，，图象过原点； 对B选项，当时，，图象过原点； 对C选项，当时，，图象过原点； 对D选项，当时函数无意义，点不在该函数图象上，故图象不过原点. 2. 下列每组数分别表示三根木棍的长度，能将这三根木棍首尾连接摆成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，6 C. 3，3，5 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，判断三根木棍能否摆成直角三角形，只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，满足条件即可构成直角三角形． 【详解】解：A，最长边为，，，，不能构成直角三角形； B，最长边为，，，，不能构成直角三角形； C，最长边为，，，，不能构成直角三角形； D，最长边为，，故，能构成直角三角形． 3. 在平面直角坐标系中，点都在直线上，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点在直线上， ∴把代入解析式得 ，解得 ，即直线解析式为， ∵点在直线上， ∴把代入解析式得 . 4. 将函数的图象向下平移3个单位长度，得到的函数的图象对应的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意，平移后得到的解析式为. 5. 下列各式中运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，此项错误； B、和不是同类二次根式，不可合并，此项错误； C、，此项正确； D、，此项错误． 6. 某年5个城市的人均生活用电量如下表所示： 城市 A B C D E 人均生活用电量／ （） 根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市分为两组．现有四种分组方法，并分别算出四种分法的组内离差平方和，如下表所示．正确的分组方法是（ ） 分组 组内离差平方和 第一种：和 第二种：和 第三种：和 第四种：和 A. 第一种 B. 第二种 C. 第三种 D. 第四种 【答案】C 【解析】 【分析】只需比较题目给出的四种分组的组内离差平方和大小，选取最小值对应的分组即可． 【详解】解：∵四种分组的组内离差平方和分别为，，，， ∴比较大小得， ∵分组原则为组内离差平方和最小， ∴第三种分组符合要求． 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知点是一个平行四边形的三个顶点，第四个顶点的坐标不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况分别计算第四个顶点D的坐标，即可判断出不可能的结果. 【详解】解：已知， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴对顶点的横纵坐标之和分别相等，分三种情况讨论： 若为对角线，可得， 代入计算得，，解得，对应选项A存在； 若为对角线，可得， 代入计算得，，解得，对应选项B存在； 若为对角线，可得， 代入计算得，，解得，对应选项D存在； 因此第四个顶点的坐标不可能是. 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于B，C两点．有以下三个结论： ①关于的方程的解是； ②关于的不等式的解集是； ③是直角三角形． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象交点的横坐标，为对应方程的解，判断①，图象法求不等式的解集判断②，求出的坐标，勾股定理结合逆定理，判断③. 【详解】解：∵，令，当时，，解得，故； 点在上且横坐标为，则，故； 点在上且横坐标为，则，故； 对于①：方程的解即为直线与射线交点的横坐标， 交点为， 方程的解是，故正确； 对于②：不等式，可变形为， 由图象可知，；故②错误； 对于③：， ， ， ； 是直角三角形，故③正确； 综上所述，正确的结论是①③. 二、填空题（共16分，本题共4道题，每题2分） 9. 如图，某公园有一个人工湖，湖的两端各有一棵大树，兴趣小组的同学们欲测量两棵大树之间的距离．他们先将两棵大树所在地分别标记为点A，B，在湖畔空地选定适当的点，分别连接，，然后取的中点，取的中点，量得28米．则这两棵大树之间的距离为__________米，依据是_____________________________________________． 【答案】 ①. ②. 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：∵点D，点E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵米， ∴米， 依据是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 10. 如图，校园中有一扇中式古典花窗，其内部有一个菱形图案．若该菱形的周长为40分米，一条对角线长12分米，则另一条对角线的长为_______________分米． 【答案】 【解析】 【详解】解：菱形的周长为分米， 菱形的边长为分米， 四边形是菱形， 对角线互相垂直平分， 一条对角线长为分米， 该对角线的一半长为分米， 设另一条对角线长为分米， 由勾股定理得， 解得（负值舍去）. 11. 已知四个不同的点均在正比例函数的图象上．若，则_________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据A、B两点坐标和判断正比例函数比例系数的符号，再比较C、D两点横坐标的大小，结合正比例函数的增减性比较和的大小. 【详解】解：点，在正比例函数的图象上， ，， ， ，解得， 正比例函数中，随的增大而减小， ，即， . 12. 如图，在菱形中，是的中点．点是线段上的动点，记线段的长为．有以下三个结论： ①若是线段的中点，则； ②的取值范围是； ③若在菱形的内部存在点，使得，且，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________________________． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】根据菱形性质及三角形中位线定理判断；利用垂线段最短及勾股定理求出的最小值和最大值判断②；通过特殊位置法，当与重合时验证是否符合条件判断③ 【详解】解：四边形是菱形， ， 是线段的中点，是的中点， 是的中位线， ，即，故①正确 四边形是菱形，， ∴， ，， 当时，取得最小值，如图 在中，，， ， 当点与点重合时，取得最大值，如图 过点作交的延长线于点， ，， ∴， ∴， ∴， 是的中点， ， ， 在中， ， ，故②正确， 连接，如图 ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， 是的中点， ∴， ∴， 当时，取点与点重合此时为中点，在上，，在上取， ∴， 此时点G在菱形的内部，如图 可以取， 结论③中错误，故③错误， 综上所述，正确结论的序号是①②． 三、解答题（共68分，第题每题5分，第题每题6分，第题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 13. 某校八年级甲、乙两班各随机抽取20名学生进行一分钟跳绳测试，根据他们的成绩绘制箱线图如下： 依据以上信息，回答下列问题： （1）甲班20位学生跳绳成绩的中位数是____________，甲班20位学生约有____________的学生跳绳成绩低于次／分（填写百分数）； （2）乙班20位学生跳绳成绩的第三四分位数是____________，乙班20位学生跳绳成绩的四分位距为_______________； （3）请结合箱线图，比较这两个班学生跳绳成绩的差异． 【答案】（1）180次； （2）183次；5 （3）解： 两个班跳绳成绩的中位数相同；甲班成绩的极差、四分位距更大，说明甲班学生跳绳成绩波动更大、分布更分散，乙班学生成绩更集中整齐，整体发挥更稳定． 【解析】 【分析】（1）根据箱线图的信息和四分位数的定义即可得到答案； （2）根据第三四分位数和四分位距的定义求解即可； （3）根据箱线图的信息言之有理即可． 【小问1详解】 解：由箱线图可知，甲班20位学生跳绳成绩的中位数是180次，甲班20位学生约有的学生跳绳成绩低于次／分； 【小问2详解】 解：由箱线图可知，乙班20位学生跳绳成绩的第三四分位数是183次， 乙班20位学生跳绳成绩的四分位距为； 【小问3详解】 略 14. 已知线段及其夹角如图所示． （1）尺规作图：求作（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据你的作法，写出判定四边形是平行四边形的依据：__________________________； （3）若，则的面积是__________________________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）两组对边分别相等的四边形为平行四边形 （3）30 【解析】 【分析】（1）分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即可得到； （2）根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形； （3）作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，再根据平行四边形的面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于点， ∵， ∴， ∴的面积为. 15. 如图，在中，为边的中点，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，的中点分别为点，连接，，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）证明：在中，，为边的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：连接，，如图， ∵，分别是，的中点，为边的中点， ∴，分别是的中位线， ∴，， 即，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质证明即可； （2）利用三角形中位线的性质得到对应边平行，即可证明四边形是平行四边形，再根据即可证明为矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在四边形中，对角线相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点且与分别相交于点E，F，连接和．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】（1）可证明，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明结论； （2）由平行四边形的性质得到，证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，进而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知一次函数的图象经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）设为轴上动点，过点作轴的垂线分别交正比例函数和一次函数的图象于M，N两点（点M，N不重合）．若线段的长小于2，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）且 【解析】 【分析】（1）将点、代入，列方程组得， 解得，，即可得出一次函数的解析式； （2）将分别代入两个函数，得、，则线段长度，由且、不重合，列不等式组，进行求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，过作轴的垂线为， ∴将代入得；将代入得， ∴线段的长为， ∵线段的长小于2，且、不重合， ∴， 由得 解得， 由得 解得， ∴的取值范围为且． 18. 某大型快递转运中心为了提升包裹分拣的效率和准确性，计划采购一批智能分拣机器人．已知有两种不同型号的机器人，其工作性能和采购价格如下表所示： 机器人型号 每台机器人分拣包裹数量（件小时） 采购价格（万元台） A 15000 8 B 12000 6 该转运中心计划购买这两种型号的机器人共20台，并且要求这20台机器人每小时分拣包裹量的总和不少于276000件． （1）设购买A型机器人台，购买这20台机器人的总采购费用为万元，求关于的函数解析式； （2）在购买的20台机器人中，购买几台A型机器人能使总采购费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）（且x为整数）； （2）购买12台A型机器人总采购费用最少，最少费用为144万元 【解析】 【分析】（1）根据总采购费用的数量关系即可推导函数解析式，再根据分拣总量的要求确定自变量的取值范围； （2）利用一次函数的增减性求解最小采购费用． 【小问1详解】 解：由题意可知，购买A型机器人台，则购买B型机器人台， ∴总采购费用，即， ∵每小时分拣包裹总量不少于276000件， ∴ 解得， 又∵机器人台数是整数，且， ∴且为整数， ∴关于的函数解析式为（且x为整数）； 【小问2详解】 解：由可知，一次项系数， 随的增大而增大， 当取最小值时，取得最小值， 的最小值为12， ∴将代入函数解析式得：（万元）， 答：购买12台A型机器人能使总采购费用最少，最少费用是144万元． 19. 在中，是的中点，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求线段和的长． 【答案】（1）证明：是的中点， ． ， ． 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． （2）， 【解析】 【分析】（1）利用菱形的判定方法即可得证； （2）先利用菱形的性质，结合，得出，为等边三角形，再利用等边三角形的性质，得出，利用勾股定理即可得出线段的长；利用平行线的性质和勾股定理，即可得出线段的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 四边形是菱形， ，， 为等腰三角形． ， 为等边三角形． 是的中点， ，， ， ， ． ， ， ， ． 20. 某校为了解七年级1班和2班两个班学生的立定跳远成绩（单位：cm），从两个班各随机抽取20名学生进行测试，收集部分数据如下． a．2班的立定跳远成绩如下： 186 180 189 183 176 173 178 167 180 175 178 182 180 179 185 180 184 182 180 183 b．1班立定跳远成绩的频数分布直方图如下（数据分为6组：，）： 其中，这组的数据分别是：． c．对1班和2班立定跳远成绩分析数据如下： 班级 平均数 众数 中位数 方差 1班 180 185 43.1 2班 180 180 22.6 根据以上信息回答下列问题： （1）计算表中____________，___________； （2）从集中趋势和离散程度分析1班和2班的立定跳远成绩； （3）若要从一个班中选拔两名立定跳远运动员，优先从哪个班选？请说明理由． 【答案】（1）180，180 （2）解：集中趋势：1班和2班的平均数、中位数都相等，说明两个班立定跳远的整体平均水平相当；1班的众数大于2班，说明1班的成绩更多集中在较高水平； 离散程度：2班的方差小于1班，说明2班的立定跳远成绩更整齐，波动更小，成绩比1班更稳定； （3）解：优先从1班选 理由：选拔运动员需要选出高成绩的选手，1班众数更高，且高分段人数更多，更容易选出成绩优异的运动员，因此优先从1班选. 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算公式，中位数的定义，进行求解即可； （2）利用平均数和平均数、众数、中位数、方差的意义分析即可； （3）利用众数作决策即可. 【小问1详解】 解：； 1班的成绩从小到大排序后，第10个和第11个数据均为180，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 某现代化农场采用了新型的灌溉设备，其中A设备为智能恒流灌溉机，B设备为根据土壤湿度自动调节流量的智能灌溉机．为了深入研究这两种设备的工作性能，工作人员进行了详细的记录与观测．他们记录了两种设备的灌溉时间（单位：小时）以及A设备灌溉水量和B设备灌溉水量（单位：立方米）的相关数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 0 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 0 3.0 5.0 6.0 6.5 6.8 7.0 （1）在同一平面直角坐标系xOy中，通过描点画出了关于的函数图象．请补全表格中数据的对应点，并画出关于的函数图象； （2）利用以上信息，解决下列问题： ①A，B两设备同时开始灌溉，当灌溉时间相同时，B设备与A设备灌溉水量的差的最大值是___________立方米，当两种设备的灌溉水量相同时，_____________小时（结果保留一位小数）； ②农场有一块特定区域需要灌溉，该区域需灌溉水量10立方米，且需达到一定的湿度．为了在更短时间内完成灌溉任务且保证灌溉效果，先使用B设备快速提升土壤湿度，再使用A设备进行精准定量灌溉．有以下两种方案： 方案一：先用B设备灌溉1小时后，再用A设备灌溉； 方案二：先用B设备灌溉2小时后，再用A设备灌溉． 在方案一和方案二中，灌溉时长最短的方案为_____________，最短灌溉时长为_____________小时（结果保留一位小数）． 【答案】（1）关于的函数图象如下： （2）①2，； ②方案二；5.3 【解析】 【分析】（1）描点，连线，即可画出关于的函数图象． （2）①结合函数图象求解即可． ②利用待定系数法求出，然后根据方案一和方案二分别求出灌溉时长，然后比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：①结合函数图象可知当时，最大，即立方米， 当时，则． ②设， 把代入，得， ∴ 方案一：先用B设备灌溉1小时后，剩余立方米， 则再用A设备灌溉需要时间：， 解得：（小时） 则方案一所需时间为：（小时） 方案二：先用B设备灌溉2小时后，剩余立方米， 再用A设备灌溉需要时间：， 解得：（小时） 则方案二所需时间为：（小时） ∵， ∴灌溉时长最短的方案为方案二，最短灌溉时长为5.3小时． 22. 在正方形中，为射线上一点，连接，点为线段的中点，连接，在直线右侧作且，连接． （1）如图1，若点与点重合，连接，求的大小； （2）如图2，点在延长线上， ①依题意补全图2； ②用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据正方形得和，结合中点利用证明，有，由等腰三角形的性质得，设，则，进一步求得，再次结合三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得，则； （2）①根据题意作图即可； ②过点作于点，过点作直线交延长线于点，交的延长线于点，连接，根据直角三角形的性质得，得到和，由正方形的性质得和，即可利用证明，有，则，设，结合（1）得，再次利用证明，得到及，根据作图可知四边形为矩形，有和，则，结合即可求得． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点为线段的中点，点与点重合， ∴， ∴， ∴， 则， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴； 【小问2详解】 解：①略， ②，理由如下： 过点作于点，过点作直线交延长线于点，交的延长线于点，连接，如图， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴，， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 则， 设， 由（1）得，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 则， 在中， 则， ∴， 则． 23. 在平面直角坐标系中，对于点和长为的线段作如下定义：过点作于点，若点在线段上，且点到线段的距离满足（其中），则称点是线段的“倍垂点”．已知点． （1）点，在点中，线段的“倍垂点”是_______________； （2）点，若点是线段的“倍垂点”，则点的横坐标的取值范围是______________； （3）点，若直线上存在线段的“倍垂点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据“倍垂点”的定义求解即可； （2）由题意得在直线上，并求出长度，设垂足，，点在过垂直的直线上，根据长度可以求出点与点的水平距离的范围，即可得到的取值范围； （3）存在最小值，即直线时，此时为，则，作基本模型，恰与有一个交点，则符合条件． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，轴， 且由题意得，，垂线与轴平行， ∴点到线段的距离满足， ∴， ：垂足在上，，满足条件； ：垂足，不在线段上，不满足； ：垂足在上，，满足，符合条件； ∴“​倍垂点”是． 【小问2详解】 解：∵，， 设直线为， 得， 解得， ， ∴在直线上，长度​，且， ∴， 设垂足，，点在过垂直的直线上， ∴点与点的水平距离的范围为， 即， 当时，得，即， 结合， 得， ​； 当时，得，即， 结合，得， ； ∴的范围是或． 【小问3详解】 解：分类讨论： ①当向的右方向移动时，基本模型以为旋转中心顺时针旋转，并且不断变大． 当开始与相交时如图绿色模型， 延长，作交延长线于点， ， ， ， 又， ， ， 的坐标为， ， ， 的坐标为，继续旋转（逆时针）， 模型与相交，并不断变大， ； ②当向的左方向移动时，基本模型以为旋转中心逆时针旋转并不断变大，且与有相交． 当到达时，如图紫色模型，恰好满足， 此时，该过程中； 当移到左侧时，发现，此时模型已不再与相交，继续旋转， 当模型旋转到如蓝色模型位置时，此时又开始与相交，继续旋转并变大的过程中一直相交，如蓝色模型所示． 的坐标为，， 如图，延长，作交延长线于点， ， 延长，作交延长线于点， ， ， ， 又， ， ， 取中点，连接， 又是的中点， 是的中位线， ， ， 作于点， ， 四边形是矩形， ， 设， 则，，， 又， ， ， ． 综上，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东城区2025-2026学年第二学期期末样卷初二数学 考生须知 1．本试卷由样卷和校本题两部分组成，共28题，满分100分，考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（共16分，本题共8道题，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 以下四个函数中，图象不过坐标原点的函数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别表示三根木棍的长度，能将这三根木棍首尾连接摆成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，6 C. 3，3，5 D. 5，12，13 3. 在平面直角坐标系中，点都在直线上，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 将函数的图象向下平移3个单位长度，得到的函数的图象对应的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某年5个城市的人均生活用电量如下表所示： 城市 A B C D E 人均生活用电量／ （） 根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市分为两组．现有四种分组方法，并分别算出四种分法的组内离差平方和，如下表所示．正确的分组方法是（ ） 分组 组内离差平方和 第一种：和 第二种：和 第三种：和 第四种：和 A. 第一种 B. 第二种 C. 第三种 D. 第四种 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知点是一个平行四边形的三个顶点，第四个顶点的坐标不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于B，C两点．有以下三个结论： ①关于的方程的解是； ②关于的不等式的解集是； ③是直角三角形． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，本题共4道题，每题2分） 9. 如图，某公园有一个人工湖，湖的两端各有一棵大树，兴趣小组的同学们欲测量两棵大树之间的距离．他们先将两棵大树所在地分别标记为点A，B，在湖畔空地选定适当的点，分别连接，，然后取的中点，取的中点，量得28米．则这两棵大树之间的距离为__________米，依据是_____________________________________________． 10. 如图，校园中有一扇中式古典花窗，其内部有一个菱形图案．若该菱形的周长为40分米，一条对角线长12分米，则另一条对角线的长为_______________分米． 11. 已知四个不同的点均在正比例函数的图象上．若，则_________（填“>”“<”或“=”）． 12. 如图，在菱形中，是的中点．点是线段上的动点，记线段的长为．有以下三个结论： ①若是线段的中点，则； ②的取值范围是； ③若在菱形的内部存在点，使得，且，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________________________． 三、解答题（共68分，第题每题5分，第题每题6分，第题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 13. 某校八年级甲、乙两班各随机抽取20名学生进行一分钟跳绳测试，根据他们的成绩绘制箱线图如下： 依据以上信息，回答下列问题： （1）甲班20位学生跳绳成绩的中位数是____________，甲班20位学生约有____________的学生跳绳成绩低于次／分（填写百分数）； （2）乙班20位学生跳绳成绩的第三四分位数是____________，乙班20位学生跳绳成绩的四分位距为_______________； （3）请结合箱线图，比较这两个班学生跳绳成绩的差异． 14. 已知线段及其夹角如图所示． （1）尺规作图：求作（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据你的作法，写出判定四边形是平行四边形的依据：__________________________； （3）若，则的面积是__________________________． 15. 如图，在中，为边的中点，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，的中点分别为点，连接，，求证：四边形是矩形． 16. 如图，在四边形中，对角线相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点且与分别相交于点E，F，连接和．判断与的数量关系，并说明理由． 17. 已知一次函数的图象经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）设为轴上动点，过点作轴的垂线分别交正比例函数和一次函数的图象于M，N两点（点M，N不重合）．若线段的长小于2，求的取值范围． 18. 某大型快递转运中心为了提升包裹分拣的效率和准确性，计划采购一批智能分拣机器人．已知有两种不同型号的机器人，其工作性能和采购价格如下表所示： 机器人型号 每台机器人分拣包裹数量（件小时） 采购价格（万元台） A 15000 8 B 12000 6 该转运中心计划购买这两种型号的机器人共20台，并且要求这20台机器人每小时分拣包裹量的总和不少于276000件． （1）设购买A型机器人台，购买这20台机器人的总采购费用为万元，求关于的函数解析式； （2）在购买的20台机器人中，购买几台A型机器人能使总采购费用最少？最少费用是多少？ 19. 在中，是的中点，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求线段和的长． 20. 某校为了解七年级1班和2班两个班学生的立定跳远成绩（单位：cm），从两个班各随机抽取20名学生进行测试，收集部分数据如下． a．2班的立定跳远成绩如下： 186 180 189 183 176 173 178 167 180 175 178 182 180 179 185 180 184 182 180 183 b．1班立定跳远成绩的频数分布直方图如下（数据分为6组：，）： 其中，这组的数据分别是：． c．对1班和2班立定跳远成绩分析数据如下： 班级 平均数 众数 中位数 方差 1班 180 185 43.1 2班 180 180 22.6 根据以上信息回答下列问题： （1）计算表中____________，___________； （2）从集中趋势和离散程度分析1班和2班的立定跳远成绩； （3）若要从一个班中选拔两名立定跳远运动员，优先从哪个班选？请说明理由． 21. 某现代化农场采用了新型的灌溉设备，其中A设备为智能恒流灌溉机，B设备为根据土壤湿度自动调节流量的智能灌溉机．为了深入研究这两种设备的工作性能，工作人员进行了详细的记录与观测．他们记录了两种设备的灌溉时间（单位：小时）以及A设备灌溉水量和B设备灌溉水量（单位：立方米）的相关数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 0 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 0 3.0 5.0 6.0 6.5 6.8 7.0 （1）在同一平面直角坐标系xOy中，通过描点画出了关于的函数图象．请补全表格中数据的对应点，并画出关于的函数图象； （2）利用以上信息，解决下列问题： ①A，B两设备同时开始灌溉，当灌溉时间相同时，B设备与A设备灌溉水量的差的最大值是___________立方米，当两种设备的灌溉水量相同时，_____________小时（结果保留一位小数）； ②农场有一块特定区域需要灌溉，该区域需灌溉水量10立方米，且需达到一定的湿度．为了在更短时间内完成灌溉任务且保证灌溉效果，先使用B设备快速提升土壤湿度，再使用A设备进行精准定量灌溉．有以下两种方案： 方案一：先用B设备灌溉1小时后，再用A设备灌溉； 方案二：先用B设备灌溉2小时后，再用A设备灌溉． 在方案一和方案二中，灌溉时长最短的方案为_____________，最短灌溉时长为_____________小时（结果保留一位小数）． 22. 在正方形中，为射线上一点，连接，点为线段的中点，连接，在直线右侧作且，连接． （1）如图1，若点与点重合，连接，求的大小； （2）如图2，点在延长线上， ①依题意补全图2； ②用等式表示，，的数量关系，并证明． 23. 在平面直角坐标系中，对于点和长为的线段作如下定义：过点作于点，若点在线段上，且点到线段的距离满足（其中），则称点是线段的“倍垂点”．已知点． （1）点，在点中，线段的“倍垂点”是_______________； （2）点，若点是线段的“倍垂点”，则点的横坐标的取值范围是______________； （3）点，若直线上存在线段的“倍垂点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $