北京市第四中学2025--2026学年八年级下学期期末数学试卷

北京四中2025～2026学年度第二学期期末试卷 初二数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 使有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，平分交于点E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若一次函数的图象平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（ ） A. 向上平移6个单位 B. 向下平移6个单位 C. 向左平移6个单位 D. 向右平移6个单位 5. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解为（ ） A. B. C. D. 6. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，18，7，9，11．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的各组离差平方和（其中有一处数据丢失）： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第1个间隔 0 44.75 第2个间隔 2 26 第3个间隔 a 12.5 第4个间隔 20 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 7. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 8. 如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 把化为最简二次根式，结果是___________． 10. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 11. 如图，在中，点D、E分别是的中点，，点F是中点，连接，若，则的长度是________． 12. 某校举办班级合唱比赛，评委根据音乐技巧、精神风貌、作品表现力三项内容打分（每项满分均为10分），再按照如图所示的占比计算最终成绩．已知八年级（5）班三项内容得分依次为8分，9分，8分，则八年级（5）班的最终成绩为________分． 13. 已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是________（写出一种可能的情况即可）． 14. 已知，是关于x的方程的两个根，满足，则m的值是________． 15. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交线段于点P，当时，________． 16. 如图，在等腰中，，，点为的中点．以D为顶点作，其两边分别与，交于点E，F（不与点A，B，C重合）．取中点，连接，，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共68分，第17题8分，第18题9分，第19题8分，第20题10分，第21—23题，每题8分，第24题9分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 下面是李明设计的作矩形的尺规作图过程． 已知：中，． 求作：矩形 作法：如图， ①作的垂直平分线，直线交于点O； ②作射线，在射线上截取，使得； ③连接． ∴四边形就是所求作的矩形． （1）根据李明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规补全图形（作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵直线是的垂直平分线， ∴ = ， ∵， ∴四边形是 （填“平行四边形”、“矩形”、“菱形”或“正方形”）（ ）（填推理的依据）． ∵， ∴四边形是矩形（ ）（填推理的依据）． 19. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作交于点，过点作交于点，交于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当时，请直接写出x的取值范围：________； （3）请直接写出的面积：________； （4）以点为位似中心，将放大得到，其中点和点分别是点和点的对应点，且满足放大后的三角形面积是原来的4倍，请直接写出点的坐标：________． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 22. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行分析（数据已从小到大排列）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，a，b，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 90 70 八年级 87 90 c （1）请补全七年级的箱线图；（使用2B铅笔和直尺作图，并标注必要数据） （2）在上述数据和图表中，________，________，________； （3）若该校八年级有180名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 23. 某物理兴趣小组进行了如下实验：将一壶的实验所需液体A加热到后，让其在室温下（可以认为温度恒定在）自然冷却，一开始每隔20分钟记录一次温度，一段时间后，每隔40分钟记录一次，最终得到下表数据： 时间t/分钟 0 20 40 60 80 100 140 180 220 260 300 温度y/ 101.9 90.0 81.0 73.5 66.5 61.5 53.5 47.5 43.7 40.8 38.8 （1）小组成员发现可以用函数刻画液体A的温度y与时间t之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请你补充图中缺失的点，并用平滑的曲线连接，画出该函数图象．（使用铅笔作图） 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： （2）记第，，分钟的液体A温度分别是，，，若，，则________（填写“”、“”或“”）； （3）若后续的实验需要的液体A，根据本次实验数据记录，回答下列问题： ①需要将的液体A在该环境下放置________分钟得到符合实验要求的液体A（结果精确到整数）； ②小华在的液体A自然冷却第80分钟后才想起来要进行后续实验，此时恰好小洋刚烧好了等质量的的液体A，他们可以再在该环境下放置________分钟，将两份液体混合得到两份符合后续实验要求的液体A（结果精确到整数）． 注：已知两份温度是和的等质量的液体A混合后的温度是（不计混合时间及混合期间的热量损耗）． 24. 如图，正方形边长为2，连接对角线，点E、O分别是线段的中点．点M是线段上的动点（不与点E、O重合），过M作交于点N，过N作交的延长线于点P． （1）求证：； （2）当________时，面积最大，最大面积为________； （3）判断线段与线段的数量关系，并给出证明． 四、选做题（本大题共2小题，共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 在学习了分式与函数的内容后，某学习小组对分式展开进一步的探究． 【发现】 若直线过点和，其中，则斜率，是分式形式．反过来，分式也可以看成是过点和的直线的斜率． 【探究】 （1）当时，分式可以看成过点和的直线的斜率，其中点A可以是直线上的任意一点，画图可以得到t的取值范围是________； 【应用】 （2）当时，代数式的最小值是________； （3）当，时，代数式的取值范围是________． 26. 在平面直角坐标系中，已知点和点，对于实数，定义：点和是线段的两个“k-加权点”，线段（含端点）是线段的“k-加权线段”． 已知点，． （1）线段的“-加权点”是________； （2）若线段是线段的“k-加权线段”，则当线段与x轴有交点时，k的取值范围是________； （3）记直线和直线组成的图形为X．对于点，，线段和分别是线段和的“k-加权线段”，满足以线段和为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点，则k的值是________． 北京四中2025～2026学年度第二学期期末试卷 初二数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 【9题答案】 【答案】## 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】6 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共8小题，共68分，第17题8分，第18题9分，第19题8分，第20题10分，第21—23题，每题8分，第24题9分） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2），；平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形 【19题答案】 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【20题答案】 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 （3） （4）或 【21题答案】 【答案】（1）见解析 （2）或 【22题答案】 【答案】（1）补全七年级的箱线图如图： （2）81，88，93 （3）90 【23题答案】 【答案】（1） （2） （3）70；40 【24题答案】 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵点E、O分别是线段的中点． ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ 设，则，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）解：，证明如下： 如图所示，延长交于点G，过点N作于点H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴； 由（1）得是的中位线， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴； 由（2）可得， ∴． 四、选做题（本大题共2小题，共10分，第25题4分，第26题6分） 【25题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 【26题答案】 【答案】（1）和 （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $