精品解析：江西省景德镇一中2024-2025学年高一（20班）下学期期末考试数学试题

景德镇一中2024-2025学年度下学期期末考试 高一（20）班数学 一、单项选择题． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】整理成标准式方程即可得到准线方程. 【详解】即， 则准线方程为. 故选：C. 2. 若双曲线与双曲线：有相同渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据共渐近线的双曲线方程为.代入点的坐标即可求解. 【详解】因为和有相同的渐近线，所以设双曲线的方程为，将代入得，所以双曲线的方程为， 故选：B 3. 已知点为双曲线右支上的一个动点，则点到直线的距离的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把所求问题转化为求点到直线的最小距离，结合平行线间的距离公式可求. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 而直线与平行，平行线间的距离， 由题意可知点到直线的距离大于. 故选：B. 4. 在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 拋物线 【答案】B 【解析】 【分析】易得点在圆内，则圆内切与圆，再根据椭圆定义即可得解. 【详解】因为，所以点在圆内， 所以圆内切与圆， 由两圆内切的关系可知，， 从而， 所以点轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：B. 5. 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足为，，根据抛物线的定义以及三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得答案. 【详解】当在第一象限时， 设准线与轴交点为，过作准线的垂线，垂足为， 因为，且为的中点， 所以为三角形的中位线，即， 所以，又根据抛物线的定义， 所以， 所以在直角三角形中，， 所以，此时， 根据对称性，当在第四象限时，， 故选：D. 6. 已知曲线上任意一点满足，则曲线上到直线的距离最近的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间距离公式和椭圆的定义可知曲线为椭圆，从而得出椭圆方程；设与直线平行且与曲线相切的直线方程，与椭圆方程联立，得到一元二次方程，利用判别式为零，求解交点坐标即可. 【详解】 设,则, 点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 曲线的方程是： 设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.由得，，，， 当时，，；当时，，；又中靠近的点应该在椭圆的下方，曲线上到直线的距离最近的点的坐标是. 故选： 7. 已知双曲线C：（，），斜率为的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由双曲线与直线对称性，得四边形为平行四边形，再将已知条件转化为焦点三角形中的长度关系，然后利用定义求离心率即可. 【详解】设双曲线C的左焦点，右焦点为，P为第二象限上的点， 连接PF，，QF，， 根据双曲线的性质和直线l的对称性知，四边形为平行四边形. 因为以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点， 所以，即四边形为矩形， 由直线l的斜率为，得， 又，则是等边三角形，所以. 在中，，则，故， 又由双曲线定义知，所以， 则. 故选：B. 8. 已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线的斜率，代入两直线的斜率关系式，求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，可知. 设, 由均在上，为的中点， 得，则， 由分别在的左，右两支，则，且， ，. 设直线的倾斜角为，则，为锐角， 是以为底边的等腰三角形，则， 直线的倾斜角为，则. ， 由代入得，. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 【点睛】结论点睛：中点弦定理：若直线与椭圆（双曲线）交于不同两点，中点为（不为原点），且斜率存在，则有，其中为坐标原点，为曲线的离心率. 二、多项选择题． 9. 已知双曲线C：（）的一条渐近线方程为，点，分别是C的左、右焦点，点，分别是C的左、右顶点，过点的直线l与C相交于P，Q点，其中点P在第一象限内，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ） A. 双曲线C的焦距为 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据渐近线方程得到方程，求出，从而得到双曲线C的焦距；B选项，双曲线定义得；C选项，举出反例；D选项，设，则，故，D正确. 【详解】A选项，双曲线C：（）渐近线方程为， 又一条渐近线方程为，故，解得， 故，解得，故双曲线C的焦距为，A正确； B选项，由A知，，由双曲线定义得，B正确； C选项，，当直线l与轴垂直时， 中，令时，，故，C错误； D选项，， 设，则，即， ，D正确. 故选：ABD 10. 已知抛物线（如图），过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线和圆于，，，四点，则（ ） A. B. C. 当直线的斜率为时， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据联立直线方程与抛物线方程，即可得韦达定理，进而由向量的坐标运算即可求解A，根据焦半径即可求解BC，结合基本不等式即可求解D. 【详解】由题意可得， 设直线方程为，， 则，，所以， 对于A，，故A正确， 对于B，，B正确， 对于C，当直线斜率为时，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得， 解得，所以， 所以，故C错误， 对于D， ， 将代入可得， 所以， 等号成立当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知，则关于函数说法正确的是（ ） A. 函数在上为减函数 B. 函数的图象的对称轴为 C. ，使得 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不同象限表示不同的圆锥曲线图象可求解. 【详解】当时，原等式化为， 当时，原等式化为， 当时，原等式化为， 当时，原等式化为，此方程无解， 结合椭圆、双曲线的图象作出图象如下： 由图象可知，函数在上为减函数，所以A正确； 第一象限的图象为椭圆的部分，不关于，所以B错误； 函数图象不出现在第三象限，所以不存在，使得， 所以C错误； 因为第四象限部分双曲线的渐近线与第二象限的双曲线部分的渐近线都为，所以结合函数图象恒成立，所以D正确. 故选:AD. 12. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点P是椭圆上异于的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在P使得 B. 直线与直线斜率乘积为定值 C. D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】当点在上下顶点时，最大，结合余弦定理即可判断A选项； 根据题意，计算直线与直线斜率乘积即可判断B选项； 根据椭圆上任意一点到一个焦点的最小距离，最大距离，即可判断C选项； 利用正弦定理和三角恒等变换，把用表示，进而得到，即可判断D选项. 【详解】椭圆，设分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，分别为它的上下顶点，如图: 所以，，，. 对于A：当点在上下顶点时，最大，因为，所以为钝角，因此存在使得，故A正确； 对于B：设，在上，于是有， 所以， 则直线与直线斜率乘积为定值，故B错误； 对于C：由点P是椭圆上异于的一个动点得，所以点P到做焦点的最小距离大于，最大距离小于， 可得，故C正确； 对于D：设离心率为，则， 由正弦定理可得， 即， 又，而，即， 因为， ， 所以，即， 化简得，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题． 13. 已知双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则________________． 【答案】或 【解析】 【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|． 【详解】由题知双曲线的一条渐近线方程为， 即，则， 又， 由双曲线的定义得， ， 或． 故答案为或 【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由双曲线的方程、渐近线的方程求出a是解题的关键． 14. 已知双曲线的左焦点为直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为______． 【答案】4 【解析】 【分析】方法一：联立方程可得韦达定理，结合分析可得，即可得离心率；方法二：根据双曲线的性质可得，，结合题意列式求解即可；方法三：直线方程写为参数方程，联立方程，根据韦达定理结合参数的几何意义分析求解；方法四：建立极坐标系，双曲线方程可以写为，结合极坐标的定义分析求解. 【详解】方法一：可知直线过左焦点，斜率， 且直线与双曲线相交，可知，则， 联立方程，消去x可得， 设，则， 由可知， 与联立可得， 代入可得，则， 所以双曲线的离心率； 方法二：由题意可知：直线的斜率，则直线的倾斜角， 可得，， 因为，可知， 即，整理可得， 所以双曲线的离心率； 方法三：因为直线过点，将直线方程写为参数方程， 代入双曲线可得， 整理得， 可知两解为， 由可知，则， 即，整理可得， 所以双曲线的离心率； 方法四：若以为极点、轴方向为极轴建立极坐标系， 则双曲线方程可以写为，其中为焦点到相应准线的距离． 由直线的倾斜角为可知，取可得两点， 由条件知在的延长线上，则当时为负值， 可得， 则，即，解得. 故答案为：4. 15. 已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合四边形的面积分析可知当且仅当点P为左顶点时，取到最小值，进而可得线段AB的长度. 【详解】由椭圆方程可知：， 圆的圆心为（也为椭圆的左焦点），半径， 因为，可知四边形的面积， 当最小时，即为四边形的面积最小， 又因为， 可知当取到最小值时，四边形的面积最小，即最小， 且点P是椭圆上一动点， 由椭圆性质可知：当且仅当点P为左顶点时，取到最小值， 此时，由对称性可知：， 即，为等边三角形，则. 故答案为：. 16. 已知椭圆，直线与椭圆交于两点，为椭圆外一点，直分别交椭圆于两点，直线交于点，则直线的斜率是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设出点的坐标，利用斜率坐标公式并表示出方程，再表示出直线的斜率即可得出结论. 【详解】设，则，， 令直线斜率分别， 则，同理， 设，由直线过点得， 由直线过点N得，两式相乘得， 同理得， 两式相减得，直线的斜率， 所以直线的斜率为. 故答案为： 四、解答题． 17. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用椭圆离心率的性质结合椭圆经过的点求解基本量，得到椭圆方程即可； （2）利用韦达定理表示出，再利用两点间距离公式表示出目标式，化简得到定值即可. 【小问1详解】 由题意得 ，得， 故的方程为； 【小问2详解】 设，则直线l的方程为， 与联立，得， 则，且， 所以 ， 故为定值． 18. 已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. （1）求C的方程； （2）若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故双曲线方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 19. 如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明，，由线线垂直证明线面垂直，即得证； （2）由（1）为平面的一个法向量，求解平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解； （3）由（1）为平面的一个法向量，利用点面距离的向量公式即得解 【小问1详解】 证明：以为原点，､､所在直线分别为､､轴建立空间直角坐标系，如图 则，，，， 取的中点，作交于点 因为 所以，又， 所以， 所以，四边形为平行四边形， 又， 所以，由 所以，故， ∵，，， ∴，， 即，， ∵，平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 由（1）可知为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，而，， 则，令，可得， 设平面与平面CSD的夹角为， ∴， 即平面ASD与平面CSD的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ，平面的法向量为， 设点到平面的距离为， ∴， 即点到平面的距离为. 20. 已知双曲线，斜率为k的直线l过点M. （1）若，且直线l与双曲线C只有一个交点，求k的值； （2）已知点，直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线的斜率分别为，若为定值，求实数m的值. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）设直线，联立双曲线方程得，讨论、， 分别求直线与双曲线只有一个交点情况下对应k值； （2）设直线，，联立双曲线并应用韦达定理， 结合，韦达定理代入化简，根据定值列方程组求得参数m. 【小问1详解】 由题设，设直线，联立双曲线，得， 所以， 当，即时，直线与双曲线只有一个交点， 当，交点为；当，交点为； 当，此时，则， 当，切点为；当，切点为； 综上，或. 【小问2详解】 由题设直线， 联立双曲线方程，得，则， 故，所以①， 设，则，， 由 又，， 为定值， 所以，此时为定值. 21. 已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上． （1）求的方程； （2）设、是的左、右顶点，直线交于C、D两点，直线、的斜率分别为、．若； ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆对称性，必过、，又横坐标为1，椭圆必不过，将代入椭圆方程即可求解； （2）①设，因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意，所以直线斜率必不为0，设其方程为，与椭圆联立，求出和韦达定理，设直线的斜率为，求出，求出和的关系即可证明；②由①求出和，根据即可求解. 【小问1详解】 根据椭圆对称性，必过、，又横坐标为1， 椭圆必不过，所以过三点，将代入椭圆方程得 ，解得，， ∴椭圆的方程为：； 【小问2详解】 ① 依题意，点，设， 因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称， 必有，不合题意，所以直线斜率必不为0， 设其方程为，与椭圆联立， 整理得：， 所以， 且因为点是椭圆上一点， 即，设直线的斜率为， 所以， 所以，即， 因为 ， 所以， 此时， 故直线恒过定点； ②由①得， 所以 （当且仅当即时等号成立）， 所以的最大值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于设，因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意，所以直线斜率必不为0的分析. 22. 在平面直角坐标系中，为双曲线上两不重合的动点，点，且当四点共线时，. （1）求的标准方程； （2）若直线与的渐近线垂直，且经过点，求直线与两坐标轴交点的坐标； （3）若均在的右支上，且线段是的角平分线，求直线的方程. 【答案】（1）. （2）和或和 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称性可得点坐标，继而得到方程. （2）由（1）知渐近线有2条，分类讨论即可. （3）设联立曲线，线段是的角平分线可知倾斜角的关系再转换成斜率，得到，再由直线过点即可解处斜率得到方程. 【小问1详解】 ∵四点共线时，，根据双曲线对称性， ∴关于原点对称，不妨设在在右侧，即在圆， 又，∴，与圆联立得，， 代入，， ∴双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 ∵ ，∴渐近线为或， ∵直线与的渐近线垂直，且经过点， 当渐近线为时，直线， 与x轴交点为，y轴交点为， 当渐近线为时，直线， 与x轴交点为，y轴交点为， 综上，直线与两坐标轴交点的坐标为和或和. 【小问3详解】 如图， 根据题意直线斜率存在，设，， 联立， ∴，， 解得或， ， ， 设直线倾斜角分别为， ∵是的角平分线， ∴， ， ， 又点PQ上，所以， 故， 整理得，解得或， 又或，所以， 故直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 景德镇一中2024-2025学年度下学期期末考试 高一（20）班数学 一、单项选择题． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线与双曲线：有相同渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知点为双曲线右支上的一个动点，则点到直线的距离的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 拋物线 5. 已知抛物线焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线上任意一点满足，则曲线上到直线的距离最近的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 已知双曲线C：（，），斜率为的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、多项选择题． 9. 已知双曲线C：（）的一条渐近线方程为，点，分别是C的左、右焦点，点，分别是C的左、右顶点，过点的直线l与C相交于P，Q点，其中点P在第一象限内，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ） A. 双曲线C的焦距为 B. C. D. 10. 已知抛物线（如图），过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线和圆于，，，四点，则（ ） A. B. C. 当直线的斜率为时， D. 11. 已知，则关于函数说法正确的是（ ） A. 函数在上为减函数 B. 函数的图象的对称轴为 C ，使得 D. 12. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点P是椭圆上异于的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在P使得 B. 直线与直线斜率乘积为定值 C. D 若，，则 三、填空题． 13. 已知双曲线一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则________________． 14. 已知双曲线的左焦点为直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为______． 15. 已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________________． 16. 已知椭圆，直线与椭圆交于两点，为椭圆外一点，直分别交椭圆于两点，直线交于点，则直线的斜率是_____________. 四、解答题． 17. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 18. 已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. （1）求C的方程； （2）若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 19. 如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）求点到平面的距离. 20. 已知双曲线，斜率为k的直线l过点M. （1）若，且直线l与双曲线C只有一个交点，求k的值； （2）已知点，直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线的斜率分别为，若为定值，求实数m的值. 21. 已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上． （1）求的方程； （2）设、是的左、右顶点，直线交于C、D两点，直线、的斜率分别为、．若； ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最大值． 22. 在平面直角坐标系中，为双曲线上两不重合的动点，点，且当四点共线时，. （1）求标准方程； （2）若直线与的渐近线垂直，且经过点，求直线与两坐标轴交点的坐标； （3）若均在的右支上，且线段是的角平分线，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$