重庆市九龙坡区2025-2026学年高一下学期期末学业质量测评数学试题

**基本信息** 九龙坡区高一（下）期末数学测评，以复数、解三角形、立体几何等为核心，通过火箭军导弹概率、法律竞赛统计等真实情境，分层考查空间观念、运算能力与数据观念，体现数学眼光、思维与语言的融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数共轭、解三角形多解、旋转体体积|单选重基础（如4题独立事件概率），多选综合应用（如11题截角正方体表面积与外接球）| |填空题|3/15|古典概型概率、复数轨迹面积|13题复数轨迹考查几何直观，14题函数交点体现运算能力| |解答题|5/77|立体几何证明、频率分布直方图、三棱锥动态线面角|16题法律竞赛统计发展数据观念，19题动态线面角考查空间观念与推理能力|

九龙坡区2025-2026 学年学业质量测评 (中学) 高一 (下) 数学试题 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡指定位置上. 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的. 1. 复数 的共轭复数为 A. B. C. D. 2. 在 中,角 对边分别是 ,已知 ,则角 的值为 A. 45° B. 135° C. 45° 或 135° D. 30° 3. 已知 三边长分别为3,4,5，以最长边所在直线为旋转轴，将三角形其余两边旋转一周形成旋转体, 则该几何体的体积为 A. B. C. D. 4. 火箭军甲、乙两支导弹部队分别向同一艘敌方航母发射一枚导弹，甲部队导弹命中航母的概率为 0.8 , 乙部队导弹命中航母的概率为 0.9 , 两支部队发射导弹是否命中航母相互独立, 则该航母被导弹命中的概率为 A. 0.26 B. 0.72 C. 0.98 D. 0.02 5. 已知 ,则 A. B. c. D. 6. 要得到函数 的图象,是将正弦曲线 的图象 A. 横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位长度 B. 横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位长度 C. 横坐标缩短为原来的 ，纵坐标伸长为原来的 ，再向右平移 个单位长度 D. 横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标缩短为原来的 ，再向左平移 个单位长度 7. 如图，在 中，点 为 边上靠近 的三等分点,过点 的直线分别交直线 于 两点. 若 ,且 、 不与端点重合,则 满足的关系式为 A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形 中， ， ， ，现将 沿直线 翻折至 ，使得点 到达点 的位置，且直线 与平面 所成的角的余弦值为 ,则二面角 的平面角的正弦值为 A. B. C. D. 二、选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求.全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分. 9. 已知复数 ,在复平面内对应的点为 , 则下列说法正确的有 A. 当点 位于第四象限时， B. 是 为纯虚数的充分不必要条件 C. 当 时, D. 当 时 时 ,则 10. 在 中，角 对边分别是 ，且 ,则下列说法正确的有 A. B. 若 是锐角三角形，则 的取值范围是 C. 若 的面积为 ，则 的外接圆半径的最小值为 D. 若 ，则 取最大值时 11. 如图, 某广场上放置了一些这样的石凳供大家休息, 石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的,它的所有棱长均相同. 设 ，则下列说法正确的是 A. 该多面体的表面积为 B. 一只蚂蚁从石凳表面的 点爬到 点，最短距离为 C. 设 为平面 截该多面体所得截面多边形内一点(包括边界)，则 的取值范围为 D. 该多面体外接球的体积为 三、填空题:本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知古典概型样本空间 满足: , 则概率 _____. 13. 若复数 在复平面内对应的点为 ,则满足条件 的点 组成的图形的面积是_____. 14. 设函数 ,当 时,曲线 与 有两个不同的交点，则 的取值范围为_____. 四、解答题:本题共 5 个小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在直三棱柱 中, , 为 中点， . 证明: (1) 平面 ; (2)求异面直线 与 所成角的余弦值. 16. (本题满分 15 分) 为提高市民的法治观念，某区组织了线上法律知识竞赛. 欲了解全区参赛者的成绩分布情况，从所有参赛者中随机抽取 100 名参赛者的成绩作为样本，经统计发现成绩范围为 40~100 分. 现将成绩分成 6 组,第一组至第六组依次为 ,并绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值； (2)从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；保留一位小数) (3)采用分层抽样的方法，从第一组、第六组中共抽取 5 人，在抽取的 5 人中随机抽取 2 人， 则这 2 人在同一组的概率是多少? 17. (本题满分 15 分) 已知向量 . (1)当 时，求 的解集； (2)若 ，求 的值. 18. (本题满分 17 分) 如图，在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 .过 内一点 的直线 分别与直线 , 交于点 , ,记 与 的夹角为 . (1)求角 ； (2)若 为 的垂心， . 求 的值； (3)若 为 的重心,且 ,求 的值. 19. (本题满分 17 分) 如图，三棱锥 中， 是正三角形， 点 分别为线段 的中点. (1)求点 到平面 的距离； (2)在三棱锥 中，设平面 与平面 的交线为 . ( 1 )证明: ； (ii) 若点 为 上的动点，且 ， 两点位于平面 的同侧，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $