重庆市西南大学附属中学2025-2026学年度高一下学期期末考试数学试题

西南大学附中2025—2026学年度下期期末考试 高一数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．=（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，则=（ ） A．8 B．4 C．2 D．-2 3．已知一圆锥轴截面为等边三角形，其母线长为2，则该圆锥表面积为（ ） A． B． C． D． 4．某班有2名男同学，4名女同学，现从中选取3名同学组成一个乐队，要求乐队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的乐队数量是（ ） A．16 B．12 C．8 D．24 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则外接圆的半径为（ ） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙三人共同做一道数学题，每人答对该题的概率分别为，，，若答题时，三人互不影响，则三人中有人答对该题的概率是（ ） A． B． C． D． 7．已知正方体，棱，靠近的三等分点分别为，，平面截正方体得两个几何体，体积分别记为，（），则（ ） A． B． C． D． 8．若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（ ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分． 9．设，为空间中两条不同直线，，为空间中不同的平面，下列说法正确的是（ ） A．，，则 B．，，则 C．，，则或 D．，，，则 10．事件，，为三个随机事件，且，，，则下列命题中错误的有（ ） A．若事件与互斥，则事件与也一定互斥 B．若事件与相互独立，则事件与也一定相互独立 C．若，则事件，互斥 D．若事件与相互独立，且与相互独立，则与也一定相互独立 11．六方氮化硼（）材料具有高导热性和优良的电绝缘性，适用于新能源电池等高功率电子领域，其单层晶体结构由正六边形紧密排列而成，如图1所示．取相邻的三个边长为1的正六边形，正六边形，正六边形，记，，分别为这三个正六边形的中心，如图2所示．则下列结论正确的是（ ） A．若为线段的中点，则 B．向量在向量上的投影向量为 C．设为图2中三个正六边形边上的任意一点，则的最大值为 D．若，且，则的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则三次都没有出现点数3的概率为_______________． 13．某学校将数学成绩在130分及以上的称为“优秀水平”，其余成绩称为“一般水平”．现在统计某个班级高一期末考试的数学成绩，其中“优秀水平”有10人，“一般水平”有40人．“优秀水平”成绩的平均分为135，方差为，“一般水平”成绩的平均分为120分，方差为10．已知该班成绩的方差为50，则______________． 14．在正四棱柱中，，，为棱靠近的四等分点，为四边形内一动点，且直线与底面所成的角为，则动点的轨迹长度为_____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设的内角，，的对边分别为，，，已知边上的中线，． （1）求角； （2）求面积的最大值． 16．（15分）如图，四棱锥，底面是直角梯形，，，，，底面，，为． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）2026年中国大奖赛热度高涨，某班共45名学生，统计每位学生每周观看赛事的时长（单位：小时）．现整理男、女生观赛时长数据如下：已知该班女生共20人，男生共25人． 女生每周观赛时长原始数据如下： 8.20 8.40 8.60 9.05 9.10 9.15 10.50 10.50 11.20 11.80 12.20 12.30 12.50 12.70 13.10 13.30 13.50 13.80 15.20 20.00 男生每周观赛时长采用频率分布直方图，如下： （1）求该班女生每周观看赛事时长的第25百分位数 （2）估计该班男生每周观看赛事时长的中位数． （3）从全班每周观赛时长小于12小时的学生中随机任选2人交流观赛感受． 设事件：选出的2人中恰有1名女生； 设事件：选出的2人中恰有1人观赛时长落在区间内； 判断事件与事件是否相互独立，并说明理由． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，点，分别为，的中点，点在线段上． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值； （3）若为线段上的动点，设，求三棱锥的体积与四棱锥的体积之比（用含的式子表示）． 19．（17分）由个实数组成的有序实数组称维向量．设，称为的转置，记作．将个维向量，，…，的转置，，…，从左至右顺次排列构成数阵，记．例如，，，则．对任意维向量，和数阵，定义如下运算： ①，特别地，若，则称与正交；若，则称为单位向量． ② ③对任意且，，其中． （1）设，，，，直接写出和； （2）已知维向量，，均为单位向量，且两两正交．设，，存在正整数，使得． ①求，，，的值及的最小值； ②若，求证：对任意正整数，为定值，并求出该定值． 学科网（北京）股份有限公司 $