重庆市第八中学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

重庆八中2025—2026学年度（下）期末考试高一年级 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．已知是的共轭复数，则 A． B． C． D． 2．如图，向量，，，则向量可以表示为 A． B． C． D． 3．已知直线，与平面，，则的充分条件是 A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为 A． B． C． D． 5．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，半正多面体是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体．如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为，则该阿基米德多面体的表面积为 A． B． C． D． 6．已知三棱锥，面面，，，，则三棱锥外接球的表面积 A． B． C． D． 7．如图，在中，为的中点，，，是圆心为、半径为的圆的动直径，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．，，若方程的所有实根之和为，则可以取何值 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数满足，其中为虚数单位，则下列结论正确的是 A．为纯虚数 B． C． D． 10．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的是 A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为 C．直线与直线所成角的取值范围为 D．为线段的中点时，过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 11．如图，在中，点是线段上一点，直线交线段于点下列选项中正确是 A． B．若是线段的中点，则 C．若是线段的中点，那么是线段的中点 D若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，．若与垂直，则向量与的夹角的余弦值是_______________． 13．已知，，则_______________． 14．已知有两个半径为1的小球与两个半径为3的大球，且这4个球两两相切．若存在一个半径为的小球与4个球均外切，则_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知在直三棱柱的底面中．，、分别为和的中点．，为棱上的中点． （1）证明： （2）求直线与平面所成的线面角的正切值． 16．（15分） ． （1）求； （2）将函数化为的形式，写出其最小正周期并求函数在区间上的值域． 17．（15分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且． （1）求的值； （2）若，，求的面积． 18．（17分） 如图，在四边形中，是的中点，，，，将绕着顺时针旋转得，二面角 （1）证明：平面平面； （2）若，，求二面角的余弦值； （3）若，请给出一组，的值，使得四棱锥的外接球球心到平面的距离为． 19．（17分） 阅读下列材料： 如图，已知点在锐角的内部，，，的面积记为，，，则．该结论因图像神似奔驰车标，因此称它为“奔驰定理”． 根据你对材料的理解请完成以下问题． （1）若为锐角的外心，请证明：； （2）若为锐角的内心，，，，且，求的值； （3）若为锐角的外心，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $