13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（培优教学课件）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形中线、角平分线、高的定义、画法及交点特征，课堂导入承接上节课三角形三边关系与稳定性，引出内部特殊线段，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生自然过渡。 其亮点在于通过动手画图探究三种线段特点、分类对比不同三角形高的位置差异，结合典例分析面积计算，培养几何直观与推理意识。如用悬挂实验探究重心性质，小结表格梳理定义及交点，助力学生系统掌握，提升规范作图能力，也为教师提供分层练习与核心素养培养路径。

【新教材】人教版·八年级上册 第十三章 三角形 13.2.2三角形的中线、 角平分线、高 1 2 3 结合图形准确说出三角形中线、角平分线、高的定义，能在任意三角形中画出这三种线段； 掌握三类线段各自交点特征，区分锐角、直角、钝角三角形三条高的位置差异，能识图完成相关简单计算； 动手画图探究三种线段的特点，体会数形结合思想，提升几何识图与规范作图的核心素养. 学 习 目 标 这节课，我们就一起来认识三角形里三种关键线段，学会识别、画出并区分三角形的中线、角平分线、高． 同学们，上节课我们学习了三角形三边的数量关系与三角形的稳定性，了解了三角形三条边的相关知识．在三角形内部，还有三类连接顶点与对边的特殊线段，是研究三角形的重要工具． 导入新课 几何语言： ∵AD是△ABC的中线 ∴BD ＝CD ＝BC 反之： ∵BD＝CD (或BD＝BC) ∴AD是△ABC的中线 如图所示，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 新知探究 4 动手操作：你能用同样方法，画出△ABC的另两条边上的中线吗？ 一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 你有什么发现？ 新知探究 反之： ∵∠BAD＝∠CAD(或∠BAD＝∠BAC) ∴AD是△ABC的角平分线 几何语言： ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD＝∠CAD ＝∠BAC 如图所示，画∠A 的平分线AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线． 新知探究 动手操作：你能用同样方法，画出△ABC的另外两条角平分线吗？ 你有什么发现？ 一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线相交于一点. 新知探究 如图所示，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线. 三角形的高线简称三角形的高. 几何语言： ∵AD是△ABC的高 ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90° 反之： ∵∠ADC=90°(或∠ADB=90°) ∴AD是△ABC的高 新知探究 锐角三角形的三条高都在三角形的内部(图(1)）；直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边(图(2)）；钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上(图(3)）. 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 探究 新知探究 一个三角形有三条高，三角形三条高所在的直线相交于一点. 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 探究 新知探究 10 典例分析 基础训练 12 基础训练 13 三角形的中线、角平分线、高 ①三角形的中线 平分三角形内角且交对边的线段叫作三角形的角平分线； 一个三角形有 3 条角平分线，这三条角平分线相交于一点. 连接三角形顶点与对边中点的线段叫作三角形的中线； 一个三角形有 3 条中线，这三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心. ③三角形的高 从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高； 锐角三角形三条高全在内部；直角三角形两条高为直角边；钝角三角形两条高在外部；三角形三条高所在直线相交于一点. ②三角形的角平分线 新知总结 巩固练习 15 巩固练习 巩固练习 巩固练习 拓展提升 19 拓展提升 20 拓展提升 拓展提升 拓展提升 拓展提升 24 课堂总结 必做题： 教材第9页习题13.2第3题、第4题 选做题： 教材第10页习题13.1第7题、第8题 布置作业 【新教材】人教版·八年级上册 感谢聆听! 【解析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 解：过点E作交于点F，如下图， 为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∵的面积为30，， ∴，解得， 即中边上的高为3． 例：如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． A 【解析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，最后利用求解即可． 解：平分，， ，， ， ，， ． 1．如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 解：（1）如图，点C到边的距离为线段的长； （2）过A点作于E点，如图，则， ∵， ∴， 即点C到边的距离为4． 2．如图，三角形中，，，点A到边的距离为3． (1)点C到边的距离应该是哪条线段的长？请作出这条线段； (2)求点C到边的距离． 【解析】（1）过C点作交延长线于F点，然后根据点到直线的距离的定义求解；（2）过A点作于E点，如图，则，然后利用面积法求出的长即可． 【解析】根据三角形的高线的定义即可解答． 解：A选项中，作的是边上的高，不符合题意； B选项中，没有经过顶点，不符合题意； C选项中，不垂直，不符合题意； D选项中，过点且垂直，符合题意． 1．中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． D 【解析】根据三角形的中线、角平分线、高线和平行线的相关知识即可解答． 解：A．三角形的角平分线是三角形一个角的顶点和它对边交点之间的线段，说法正确，本选项符合题意；B．应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法缺少条件，错误，故本选项不符合题意；C．锐角三角形的三条高交于三角形内部一点，原说法错误，故本选项不符合题意；D．三角形的中线一定在三角形内部，但三角形的高不一定在三角形内部，例如钝角三角形的两条高在三角形外部，原说法错误，故本选项不符合题意． 2．下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线是线段 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．锐角三角形的三条高不一定交于一点 D．三角形的高和中线一定在三角形的内部 A 【解析】利用三角形的中线平分三角形的面积即可求解． 解：∵，的面积为4， ∴的面积为， ∵是的中点， ∴． 3．如图，在中，是的中点，，若的面积为4，则的面积为________． 6 解：∵，，， ∴， 又∵， ∴． 4．如图，在中，，，，，，求和的长． 【解析】根据直角三角形的面积计算的面积再由面积计算的长即可． 5．综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 【解析】本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算：（1）根据的中线得到，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论；（2）根据题干中关于重心的定义得，由于和同高，和同高，得出，去掉公共三角形，即可得到与的面积相等；（3）根据题干中关于重心的定义得，利用三角形面积公式得，去掉公共部分，得，利用三角形等底同高得，，即可得出结论；（4）连接交于点，先求出，通过各三角形底边之间的关系，得到、，进而求出四边形的面积． 解：（1）是三角形的中线，， 和的底边分别是和， 它们共用同一个顶点， 它们的高相等，设为， ．故答案为：=. （2），理由如下：点是的重心， ， 和同高，设高为， ， 同理得，∴， ，∴； （3）点是的重心， ， 和同高，设高为， ， ， ∴， 同理：等底同高，等底同高， ，， ∴， ∴． （4）如图，连接交于点， 是的重心， 由（3）可得出，，，， 设，，∴， 同理得，， ∵，，∴， ∵，∴， 同高， 设它们的高为， ，，且， ， 、和同高，设高为， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴． ， 、和同高，设高为， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴． $