第29章 圆 基础过关检测卷（A卷） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 第29章圆基础过关检测卷，90分钟120分，通过选择、填空、解答题梯度覆盖圆的性质、计算及应用，适配单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆心角、圆周角、垂径定理|结合动态问题（如点P运动），考查空间观念| |填空题|6/24|反证法、圆锥侧面积、圆内接角|融入墨经滑轮等文化素材，培养应用意识| |解答题|6/66|圆性质证明、古桥拱计算、阿基米德折弦定理|分层设计，从基础证明到实际应用（如古桥问题）及创新探究，发展推理能力与创新意识|

卷10 第29章圆基础过关检测卷（A卷） （时间:90分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2026•洪洞县一模）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝3∠BOC，连接AB，AC，BC．若∠OBA＝54°，则∠BAC的度数为（　　） A．10° B．12° C．20° D．24° 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AOB的度数，则可求出∠BOC的度数，再由圆周角定理可得答案． 【解答】解：∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝54°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝180°﹣54°﹣54°＝72°， ∵∠AOB＝3∠BOC， ∴∠BOC＝24°， ∴， 则∠BAC的度数为12°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是相关公式的熟练掌握． 2．（2025•大庆二模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 3．（2025•长岭县模拟）有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心．暂时只能用一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用．为此同学们需要先得到两条不同的直径，下列寻找直径AB的方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直角所对的弦是直径进行求解即可 【解答】解：∵直角所对的弦是直径， ∴四个选项中只有B选项中的AB是直径， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角所对的弦是直径，熟知相关知识是解题的关键． 4．（2025秋•苍梧县期末）如图，P是⊙O内一点．若圆的半径为5，OP＝3，则经过点P的弦的长度不可能为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接OP，过P作弦AB⊥OP，此时AB是过P的最短的弦，由垂径定理得到AB＝2AP，由勾股定理求出AP4，得到AB＝8，过P的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点P的弦长的取值范围，即可得到答案． 【解答】解：连接OP，过P作弦AB⊥OP，此时AB是过P的最短的弦， ∴AB＝2AP， ∵圆的半径为5，OP＝3， ∴AP4， ∴AB＝8， ∵过P的最长的弦是圆的直径是10， ∴8≤经过点P的弦的长≤10， ∴经过点P的弦的长度不可能是7． 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是明白：过P与OP垂直的弦是圆的最短的弦，直径是圆的最长的弦． 5．（2024•兴县模拟）如图，在四边形ABCD中，先以点A为圆心，AB长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，CB长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC，过点B作BE⊥AC于点E．根据等边三角形的判定与性质可得∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝AB＝2，BE＝AB•sin60°＝3，进而利用扇形面积公式可求得阴影面积． 【解答】解：连接AC，过点B作BE⊥AC于点E． 根据题意，得AB＝AC＝BC． 所以△ABC为等边三角形． 所以∠BAC＝∠ACB＝60°． 因为AB＝2， 所以AC＝AB＝2，BE＝AB•sin60°＝3． 所以S1＝S2＝S扇形BAC﹣S△ABC． 所以S阴影＝2S1＝4π﹣6． 故选A． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，三角形面积的计算，解直角三角形、扇形面积公式，熟练掌握相关知识的联系与运用，结合图形找的阴影面积的等量关系并正确求解是解答的关键． 6．（2025•辽宁模拟）如图，在⊙O中，A，B，C，D是⊙O上的四个点，若∠ABD＝42°，∠BCA＝57°，则∠BDO的度数为（　　） A．8° B．9° C．10° D．11° 【分析】如图所示，延长DO交⊙O于点E，连接BE，得到∠DBE＝90°，△BDE是直角三角形，根据题意得到∠ABD＝∠ACD＝42°，∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝57°+42＝99°，四边形BCDE是内接四边形，∠BED＝180°﹣∠BCD＝81°，在Rt△BDE中由直角三角形两锐角互余即可求解． 【解答】解：如图所示，延长DO交⊙O于点E，连接BE， ∵DE是直径， ∴∠DBE＝90°，△BDE是直角三角形， 由条件可知∠ABD＝∠ACD＝42°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝57°+42＝99°， ∵点B，C，D，E在⊙O上， ∴四边形BCDE是内接四边形， ∴∠BED＝180°﹣∠BCD＝81°， 在Rt△BDE中，∠BDO＝90°﹣∠BED＝9°， 故选：B． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为直角，圆内接四边形的性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握同弧或等弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为直角，圆内接四边形的性质，合理作出辅助线是解题的关键． 7．（2025秋•绥江县期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，．若∠AOE＝32°，则∠COE的度数为（　　） A．32° B．48° C．60° D．64° 【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理推出∠BOD＝∠AOE＝32°，由对顶角的性质得到∠AOC＝∠BOD＝32°，即可求出∠COE的度数． 【解答】解：∵， ∴∠BOD＝∠AOE＝32°， ∵∠AOC＝∠BOD＝32°， ∴∠COE＝∠AOE+∠AOC＝64°． 故选：D． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握圆心角、弧、弦的关系定理． 8．（2015秋•石家庄校级月考）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，CD＝6，AB∥CD且在圆心的同侧，则两条平行弦之间的距离为（　　） A．2 B．3或4 C．1 D．1或7 【分析】连接OC、OA，作直线EF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，根据垂径定理求出CF，AE，根据勾股定理求出OE、OF，即可得出答案． 【解答】解：如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD， ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴AEAB＝4，CFCD＝3， 根据勾股定理，得 OE3，OF4， 所以当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF﹣OE＝1， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要考虑两种情况． 9．（2024•溧阳市模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（　　） A．随点C的运动而变化 B．不变 C．在使PA＝OA的劣弧上 D．无法确定 【分析】因为CP是∠OCD的平分线，所以∠DCP＝∠OCP，所以∠DCP＝∠OPC，则CD∥OP，所以弧AP等于弧BP，所以PA＝PB．从而可得出答案． 【解答】解：连接OP，∵CP是∠OCD的平分线， ∴∠DCP＝∠OCP， 又∵OC＝OP， ∴∠OCP＝∠OPC， ∴∠DCP＝∠OPC， ∴CD∥OP， 又∵CD⊥AB， ∴OP⊥AB， ∴， ∴PA＝PB． ∴点P是线段AB垂直平分线和圆的交点， ∴当C在⊙O上运动时，点P不动． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，以及平行线的判定和性质，在同圆或等圆中，等弧对等弦． 10．（2025•钱塘区一模）复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角△ABC内接于⊙O，AC＝BC，OD⊥BC于点D，点E是的中点．仅用无刻度的直尺在⊙O上找出点F，使EF∥AB．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长OD，交⊙O于点F．方法②：作直线CO，BE，相交于点G，连结AG，延长AG交⊙O于点F．下列判断正确的是（　　） A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确 C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误 【分析】方法①正确，只要证明∠BAF＝∠AFE即可；方法②正确，只要证明AF平分∠BAC可得结论． 【解答】解：方法①②都正确． 理由：如图，方法①中， ∵OF⊥BC， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵CB＝CA， ∴， ∴， ∴∠BAF＝∠AFE， ∴EF∥AB． 如图，方法②中． ∵E是的中点， ∴， ∴BE平分∠ABC， ∵CA＝CB， ∴， ∴CO⊥AB， ∴CO平分∠ACB， ∴AG平分∠ABC， ∴∠BAF＝∠CAF， ∴， ∴， ∴∠BAF＝∠AFE， ∴EF∥AB． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2025秋•晋江市期末）用反证法证明“若|a|≤2，则a2≤4”是真命题时，第一步应先假设 a2＞4　 ． 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【解答】解：反证法证明“若|a|≤2，则a2≤4”是真命题时，第一步应先假设a2＞4， 故答案为：a2＞4． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 12．（2025•昆明模拟）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是24πcm，其侧面展开图是圆心角为180°的扇形，则它的母线长是　24　 cm． 【分析】根据弧长公式列方程求解即可． 【解答】解：由条件可知它的侧面展开图的弧长为24πcm， 设母线的长为lcm， ∴， 解得l＝24， ∴母线长是24cm． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．熟练掌握以上知识点是关键． 13．（2024•连云港）如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 　90　 °． 【分析】根据半圆的度数为 180°，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果． 【解答】∵AB是圆的直径， ∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°， ∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆， ∴， 故答案为：90． 【点睛】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为 180°，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 14．（2025•广西模拟）《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为5cm，滑轮逆时针方向旋转72°，则重物“甲”上升了 　2π　 cm（绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留π）． 【分析】根据弧长公式求出半径为5cm，圆心角度数为72°所对应的弧长即可． 【解答】解：由弧长公式可得，2π（cm）， 即重物“甲”上升了2π cm， 故答案为：2π． 【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式是正确解答的关键． 15．（2026•雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O．若∠C＝115°，则∠ADO﹣∠ABO＝　65　 °． 【分析】连接OA，则OA＝OD＝OB，所以∠ADO＝∠OAD，∠ABO＝∠OAB，则∠ADO﹣∠ABO＝∠OAD﹣∠OAB＝∠BAD，由∠C＝115°，求得∠BAD＝180°﹣∠C＝65°，所以∠ADO﹣∠ABO＝65°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OA，则OA＝OD＝OB， ∴∠ADO＝∠OAD，∠ABO＝∠OAB， ∴∠ADO﹣∠ABO＝∠OAD﹣∠OAB＝∠BAD， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠C＝180°， ∵∠C＝115°， ∴∠BAD＝180°﹣∠C＝65°， ∴∠ADO﹣∠ABO＝65°， 故答案为：65． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆内接四边形的对角互补等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 16．（2026•武威校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝3，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为　　 ． 【分析】作D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′，CD′交AB于点P′．则PC+PD的最小值就是CD′的长度，在△COD′中根据边角关系即可求解． 【解答】解：作D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′，CD′交AB于点P′． 则P′D＝P′D′， ∴当P，C，D′共线时，PC+PD＝P′C+P′D＝CD′时，PC+PD的最小值， 由条件可知， ∴． ∴∠CAD′＝45°． ∴∠COD′＝90°． 则△COD′是等腰直角三角形． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（10分）（2025秋•相城区校级月考）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系． （1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为（ 　1　 ，　﹣2　 ）； （2）请通过计算判断点D（3，﹣5）与⊙M的位置关系． 【分析】（1）连接AB，AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两直线交于点M，就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可得M的坐标； （2）由勾股定理即可求得圆的直径，根据点与圆的位置关系即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示：连接AB，AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两直线交于点M， 则点M就是过A，B，C三点的圆的圆心，由图形可知M的坐标为M（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）； （2）连接MB， 由勾股定理得MB， ∵D（3，﹣5）， ∴MD． ∴点D（3，﹣5）在⊙M外． 【点睛】此题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理得出圆心位置． 18．（10分）（2025秋•安康期末）如图，已知AB是半圆O的直径，P是半圆上的一点，连接BP，并延长BP到点C，使PC＝BP，连接AC． （1）求证：AB＝AC； （2）若AB＝8，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接AP，由圆周角定理可知∠APB＝90°，再由PC＝PB即可得出结论； （2）先根据直角三角形的性质求出AP的长，再由勾股定理可得出PB的长，连接OP，根据直角三角形的性质求出∠PAB的度数，由圆周角定理求出∠POB的长，根据S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB即可得出结论． 【解答】（1）证明：连接AP． ∵AB是半圆O的直径， ∴∠APB＝90°， ∴AP⊥BC． ∵PC＝PB， ∴AB＝AC； （2）解：∵∠APB＝90°，AB＝8，∠ABC＝30°， ∴APAB＝4， ∴， 连接OP， ∵∠ABC＝30°， ∴∠PAB＝60°， ∴∠POB＝2∠PAB＝2×60°＝120°． ∵点O是AB的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 19．（10分）（2025秋•惠城区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，DE与⊙O相切于点E，BD⊥DE于点D，交⊙O于点C，连接OE，BE． （1）如图（1）求证：BE平分∠ABC； （2）如图（2）连接AC，与OE相交于F．求证：四边形CDEF是矩形； （3）若AB＝10，BC＝6，求CD的长． 【分析】（1）根据切线的定义可得∠OED＝∠OEB+∠DEB＝90°，结合∠DEB+∠DBE＝90°，可得∠OEB＝∠DBE，再根据OE＝OB推出∠OEB＝∠OBE，可证∠OBE＝∠DBE； （2）根据直径所对的圆周角为90度可得∠ACB＝90°，根据有三个角为90度的四边形为矩形可证四边形CDEF是矩形； （3）根据垂径定理推出，用勾股定理解Rt△AFO求出OF，进而求出EF，根据矩形的性质可得EF＝CD． 【解答】（1）证明：∵BD⊥DE， ∴∠D＝90°， ∴∠DEB+∠DBE＝90°， ∵DE与⊙O相切于点E， ∴∠OED＝∠OEB+∠DEB＝90°， ∴∠OEB＝∠DBE， ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE， ∴∠OBE＝∠DBE， ∴BE平分∠ABC； （2）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠DCF＝180°﹣∠ACB＝90°， ∵DE与⊙O相切于点E， ∴∠OED＝90°， 又∵∠D＝90°， ∴四边形CDEF是矩形； （3）解：∵AB＝10，BC＝6，∠ACB＝90°， ∴， 由（2）知四边形CDEF是矩形， ∴∠EFC＝90°，EF＝CD， ∴OE⊥AC， ∴， ∵， ∴， ∴EF＝OE﹣OF＝5﹣3＝2， ∴CD＝EF＝2． 【点睛】本题考查切线的定义，矩形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 20．（12分）（2025•盐山县校级模拟）苏州是一座拥有4000多年历史的文化名城，苏州古城座落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽12m的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面3m，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【分析】（1）连接OA，OC，则OC⊥AB，CD＝4m．设OA＝OC＝rm，根据垂径定理求出AD，在Rt△ADO中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可； （2）求出当船宽为12m时允许通过的最大高度并与3m比较大小即可得出结论． 【解答】解：连接OA，OC，则OC⊥AB，CD＝4m． 设OA＝OC＝rm． ∵OC⊥AB，AB＝16m， ∴ADAB＝8m， ∵CD＝4m， ∴OD＝OC﹣CD＝（r﹣4）m， 在Rt△ADO中利用勾股定理，得AD2+OD2＝OA2， ∴82+（r﹣4）2＝r2， ∴r＝10． 答：此圆弧形拱桥的半径是10m． （2）该船不能否安全穿过桥洞．理由如下： 如上图，矩形EFGH，GH与OC交于点M，EF＝12m，连接OH． ∵EF＝12m， ∴MH＝DEEF＝6m， 在Rt△HMO利用勾股定理，得OM8m， ∵OD＝OC﹣CD＝6m， ∴HE＝DM＝OM﹣OD＝2m， ∵3＞2， ∴该船不能否安全穿过桥洞． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 21．（12分）（2024•甘肃模拟）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝∠ADB． （1）求证：DB平分∠ADC； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若BD平分∠ABC，AC＝AD，BF＝3，求AB的长． 【分析】（1）由圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，而∠BAC＝∠ADB，得到∠ADB＝∠BDC，即可证明DB平分∠ADC； （2）由圆内接四边形的性质，角平分线定义，推出∠BAD＝90°，得到BD是圆的直径，由，得到AD＝CD，判定△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°，求出∠BDC∠ADC＝30°，由含30度角的直角三角形的性质得到BCBD，由圆内接四边形的性质求出∠ABC＝120°，得到∠CBF＝180°﹣120°＝60°，由平行线的性质推出∠F＝90°，求出∠BCF＝90°﹣60°＝30°，得到BC＝2BF＝2×3＝6，即可得到AB长是6． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠BDC， ∴∠ADB＝∠BDC， ∴DB平分∠ADC； （2）解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 由（1）知∠ADB＝∠BDC， ∴∠ABD+∠ADB＝∠CBD+∠BDC， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABD+∠ADB+∠CBD+∠BDC＝180°， ∴∠ABD+∠ADB180°＝90°， ∴∠BAD＝90°， ∴BD是圆的直径， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴， ∴AD＝CD， ∵AC＝AD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60°， ∴∠BDC∠ADC＝30°， ∵BD是圆的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴BCBD， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+ADC＝180°， ∴∠ABC＝120°， ∴∠CBF＝180°﹣120°＝60°， ∵CF∥AB， ∴∠F+∠BAD＝180°， ∴∠F＝90°， ∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°， ∴BC＝2BF＝2×3＝6， ∴AB＝BC＝6． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，关键是由圆内接四边形的性质推出BD是圆的直径，由含30度角的直角三角形的性质得到BCBD，BC＝2BF． 22．（12分）（2025•清远一模）请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并称为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦，其中BC＞AB，D是的中点，过点D向BC作DM⊥BC交BC于点M，则M就是折弦ABC的中点，即CM＝AB+BM． （1）下面是用“截长法”证明CM＝AB+BM的部分过程． 证明：如图2，在BC上截取CE＝AB，连接AD，BD，CD，ED． ∵D是的中点， ∴． ∴AD＝CD． … 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． （2）在图1中，若AB＝2，BC＝8，DM＝5，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据题意可证△ABD≌△CED（SAS），可得BD＝ED，由垂直平分线得到BM＝EM，由CM＝CE+ME＝AB+BM即可求解； （2）如图，过点O作OF⊥DM于点F，OG⊥BC于点G，连接DO，CO，MO，由（1）可知，可证四边形OFMG是矩形，△MOD≌△MOC（SSS），则OG＝OF＝1，由即可求解． 【解答】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∴AD＝CD， 在⊙O中，∠A＝∠C， 在△ABD和△CED中， ， ∴△ABD≌△CED（SAS）， ∴BD＝ED， ∵DM⊥BC， ∴BM＝EM， ∴CM＝CE+ME＝AB+BM； （2）解：如图，过点O作OF⊥DM于点F，OG⊥BC于点G，连接DO，CO，MO， 由（1）可知， ∵OG过圆心O且OG⊥BC， ∴， ∴MG＝CM﹣CG＝5﹣4＝1， ∵OF⊥DM，OG⊥BC，DM⊥BC， ∴四边形OFMG是矩形， ∴OF＝MG＝1， 在△MOD和△MOC中， ， ∴△MOD≌△MOC（SSS）， ∴OG＝OF＝1， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，圆心角、弧、弦的关系，数形结合，合理作出辅助线是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29章圆基础过关检测卷 （时间:90分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2026•洪洞县一模）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝3∠BOC，连接AB，AC，BC．若∠OBA＝54°，则∠BAC的度数为（　　） A．10° B．12° C．20° D．24° 2．（2025•大庆二模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 3．（2025•长岭县模拟）有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心．暂时只能用一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用．为此同学们需要先得到两条不同的直径，下列寻找直径AB的方法正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•苍梧县期末）如图，P是⊙O内一点．若圆的半径为5，OP＝3，则经过点P的弦的长度不可能为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（2024•兴县模拟）如图，在四边形ABCD中，先以点A为圆心，AB长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，CB长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（2025•辽宁模拟）如图，在⊙O中，A，B，C，D是⊙O上的四个点，若∠ABD＝42°，∠BCA＝57°，则∠BDO的度数为（　　） A．8° B．9° C．10° D．11° 7．（2025秋•绥江县期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，．若∠AOE＝32°，则∠COE的度数为（　　） A．32° B．48° C．60° D．64° 8．（2015秋•石家庄校级月考）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，CD＝6，AB∥CD且在圆心的同侧，则两条平行弦之间的距离为（　　） A．2 B．3或4 C．1 D．1或7 9．（2024•溧阳市模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（　　） A．随点C的运动而变化 B．不变 C．在使PA＝OA的劣弧上 D．无法确定 10．（2025•钱塘区一模）复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角△ABC内接于⊙O，AC＝BC，OD⊥BC于点D，点E是的中点．仅用无刻度的直尺在⊙O上找出点F，使EF∥AB．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长OD，交⊙O于点F．方法②：作直线CO，BE，相交于点G，连结AG，延长AG交⊙O于点F．下列判断正确的是（　　） A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确 C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2025秋•晋江市期末）用反证法证明“若|a|≤2，则a2≤4”是真命题时，第一步应先假设 　 　 ． 12．（2025•昆明模拟）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是24πcm，其侧面展开图是圆心角为180°的扇形，则它的母线长是　 　 cm． 13．（2024•连云港）如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 　 　 °． 14．（2025•广西模拟）《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为5cm，滑轮逆时针方向旋转72°，则重物“甲”上升了 　 　 cm（绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留π）． 15．（2026•雁塔区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O．若∠C＝115°，则∠ADO﹣∠ABO＝　 　 °． 16．（2026•武威校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝3，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为　 　 ． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（10分）（2025秋•相城区校级月考）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系． （1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为（ 　 　 ，　 　 ）； （2）请通过计算判断点D（3，﹣5）与⊙M的位置关系． 18．（10分）（2025秋•安康期末）如图，已知AB是半圆O的直径，P是半圆上的一点，连接BP，并延长BP到点C，使PC＝BP，连接AC． （1）求证：AB＝AC； （2）若AB＝8，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积． 19．（10分）（2025秋•惠城区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，DE与⊙O相切于点E，BD⊥DE于点D，交⊙O于点C，连接OE，BE． （1）如图（1）求证：BE平分∠ABC； （2）如图（2）连接AC，与OE相交于F．求证：四边形CDEF是矩形； （3）若AB＝10，BC＝6，求CD的长． 20．（12分）（2025•盐山县校级模拟）苏州是一座拥有4000多年历史的文化名城，苏州古城座落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽12m的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面3m，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 21．（12分）（2024•甘肃模拟）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝∠ADB． （1）求证：DB平分∠ADC； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若BD平分∠ABC，AC＝AD，BF＝3，求AB的长． 22．（12分）（2025•清远一模）请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并称为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦，其中BC＞AB，D是的中点，过点D向BC作DM⊥BC交BC于点M，则M就是折弦ABC的中点，即CM＝AB+BM． （1）下面是用“截长法”证明CM＝AB+BM的部分过程． 证明：如图2，在BC上截取CE＝AB，连接AD，BD，CD，ED． ∵D是的中点， ∴．∴AD＝CD． … 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． （2）在图1中，若AB＝2，BC＝8，DM＝5，求⊙O的半径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $