专题07 线段垂直平分线的性质（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以垂直平分线性质为核心，通过7类题型构建“性质-应用-拓展”的递进式训练体系，提炼四步解题法，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01-07|每模块1典例+3变式|求线段长四步法（找线-找点-代换-计算）、周长化简法、尺规作图双弧法、最值对称转化法|从性质（线上点到两端等距）到应用（计算、作图、证明），延伸至外心性质与最值模型，形成完整逻辑链|

专题07 线段垂直平分线的性质 （题型突破·举一反三） 题型01 利用垂直平分线的性质求线段长 题型02 利用垂直平分线的性质求周长 题型03 利用垂直平分线的性质确定位置 题型04 通过尺规作图的痕迹得到垂直平分线 题型05 尺规作图（垂直平分线） 题型06 利用垂直平分线的性质进行证明 题型07 最值问题 ▌题型01 利用垂直平分线的性质求线段长 1. 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 2. 解题步骤 ① 找垂直平分线 看题干/图形：谁是谁的垂直平分线，标记垂直、平分两个条件。 ②找线上动点 确定落在垂直平分线上的点，直接转化线段相等。 ③等量代换，统一线段 把要求的线段，换成已知长度的线段。 ④结合其他条件计算 【典例1】如图，AD垂直平分线段BC，点P在AD上，连接PB、PC，若BP＝13，则PC的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1-1】（2026•越秀区校级三模）如图，在△ABC中，AB＝8，点D在AC边的垂直平分线上，△BCD的周长为15，则BC的长为（　　） A．5 B．6 C．3 D．7 【变式1-2】（2026春•玄武区校级期中）如图，△ABC的边AB，BC的垂直平分线交于点P，若PA+PC＝16，则PB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1-3】（2026春•莲湖区期末）如图，△ABC周长为21，D为AC的中点，且DE⊥AC，连接CE．已知△BCE周长为13，求AD的长． ▌题型02 利用垂直平分线的性质求周长 1. 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 2. 解题步骤 ① 锁定垂直平分线 找到图中哪条线是某线段的垂直平分线，标出交点。 ②等量替换边 把平分线上的点到底边两端的线段互换（DB=DC）。 ③化简周长式子 把三角形周长展开，再用等线段替换，消去未知边。 ④代入已知边长直接计算 【典例1】（2026•大荔县校级四模）如图，在△ABC中，AC＝7，BC＝10，AB边的垂直平分线分别与AB、BC交于点D、E，连接AE，则△ACE的周长为（　　） A．17 B．24 C．26 D．27 【变式1-1】（2026•娄星区校级模拟）如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABC的周长是17，AC＝5，则△ABD的周长为（　　） A．12 B．17 C．22 D．27 【变式1-2】（2026春•和平区校级期中）如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式1-3】（2025秋•天桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 ▌题型03 利用垂直平分线的性质确定位置 1. 线段垂直平分线上所有点，到线段两个端点距离相等。到三角形三个顶点距离相等的点在三边垂直平分线的交点处。 2. 常见实际应用场景 ①仓库选址：到两个村庄距离相等； ②信号塔位置：到两小区距离相同； ③商场站点：在公路上，到两地路程相等； ④几何找点：三角形内找一点到两顶点等距。 【典例1】（2025秋•白云区期末）如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（　　） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处 【变式1-1】（2026春•沙坪坝区校级期末）如图，A，B，C三个村庄围成一个三角形地块，电信部门要在里面修建一座电视信号发射塔，要求发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（　　） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三边的垂直平分线的交点处 【变式1-2】（2026春•龙岗区校级期中）如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交站应建在（　　） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 【变式1-3】（2026•广州校级模拟）如图，在校运会的一项趣味竞赛中，三名同学分别站在△ABC的三个顶点处，争抢放置于三角形内部的凳子，最先坐到凳子者获胜．为保证比赛公平，要使凳子到三角形三个顶点的距离相等，凳子应放在三角形的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 ▌题型04 通过尺规作图的痕迹得到垂直平分线 作已知线段的垂直平分线的方法： 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法： （１）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （２）连接PQ交MN于O．则点PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。 【典例1】（2025秋•临海市期末）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ，交AB，AC于点E，F，下列结论不一定成立的是（　　） A．AE＝ED B．EF⊥AD C．AF∥ED D．∠AEF＝∠EAD 【变式1-1】（2026春•法库县期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　） A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm 【变式1-2】（2025秋•泸水市期末）如图，在△ABC中，AC＝7，AD＝3，分别以点B，点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1-3】（2025秋•延边州期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 　 　 ． ▌题型05 尺规作图（垂直平分线） 作已知线段的垂直平分线的方法： 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法： （１）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （２）连接PQ交MN于O．则点PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。 【典例1】（2025秋•惠州期末）如图，已知△ABC． （1）尺规作图：作BC边的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E（只保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）连接CE，若△ABC的周长为24cm，BD＝5cm，则△AEC的周长为　 　 cm． 【变式1-1】（2026春•梅县区期中）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD． （1）请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹），并标记D，E两点； （2）若AE＝6，△BCD的周长为19，求BC的长． 【变式1-2】在△ABC内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段AC的长．（尺规画图，不写作法，保护作图痕迹） 【变式1-3】如图，点C是线段AB外一点．借助无刻度直尺和圆规，判断点C是否在线段AB的垂直平分 线上．（要求：用两种方法判断；保留作图痕迹，不写作法．） ▌题型06 利用垂直平分线的性质进行证明 证明两条线段相等，证PA=PB， 步骤： 1. 找到线段AB的垂直平分线； 2. 说明点P在这条垂直平分线上； 3. 根据垂直平分线性质，直接得出PA=PB。 【典例1】（2026春•七里河区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求△ABE周长． 【变式1-1】（2025秋•连云港校级月考）如图，AB＝CD，AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E，求证：∠ABE＝∠CDE． 【变式1-2】如图，C、D是线段AB的垂直平分线l上的两点．求证：∠CAD＝∠CBD． 【变式1-3】如图，直线l是线段AB的垂直平分线，P点在直线l的右侧，求证：PA＞PB． ▌题型07 最值问题 1. 已知直线，点A、B在直线同侧，在上找点P，使PA+PB最小。 ①作A关于直线的对称点A'； ②连接A'B，与直线交于点P； ③此时PA+PB=A'P+PB=A'B，为最小值； ④关键：对称轴就是AA'的垂直平分线，得 PA=PA'，等量代换。 2. 解题步骤 ①找垂直平分线，写出等线段（PB=PC）； ② 把周长/两条线段和进行等量替换； ③ 转化为“两点之间线段最短”； ④连接两点，交点即为动点位置。 【典例1】（2026春•新城区期末）综合与实践 如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得CA+CB的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，则AB′与直线l的交点即为点C，且CA+CB的最小值为AB′的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC+BC＜AC′+BC′即可． （1）请完成图3中小明的证明； （2）如图4，在△ABC中，直线m是边BC的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若AB＝6，AC＝5，BC＝8，则△APC周长的最小值为 　11　 ． 【变式1-1】如图，等腰三角形ABC底边BC的长为5cm，面积是18cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则BM+DM最小值为（　　）cm． A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，且CD＝5，AD＝13，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在直线EF上运动，连接DM、CM，则△CDM周长的最小值为（　　） A．8 B．16 C．18 D．20 【变式1-3】（2025秋•呼玛县期末）如图，l是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，AB＝6，则△AEC周长的最小值为　 　． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 线段垂直平分线的性质 （题型突破·举一反三） 题型01 利用垂直平分线的性质求线段长 题型02 利用垂直平分线的性质求周长 题型03 利用垂直平分线的性质确定位置 题型04 通过尺规作图的痕迹得到垂直平分线 题型05 尺规作图（垂直平分线） 题型06 利用垂直平分线的性质进行证明 题型07 最值问题 ▌题型01 利用垂直平分线的性质求线段长 1. 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 2. 解题步骤 ① 找垂直平分线 看题干/图形：谁是谁的垂直平分线，标记垂直、平分两个条件。 ②找线上动点 确定落在垂直平分线上的点，直接转化线段相等。 ③等量代换，统一线段 把要求的线段，换成已知长度的线段。 ④结合其他条件计算 【典例1】如图，AD垂直平分线段BC，点P在AD上，连接PB、PC，若BP＝13，则PC的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】由AD垂直平分线段BC，点P在AD上，得BP＝PC，而BP＝13，则PC＝13，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AD垂直平分线段BC，点P在AD上， ∴BP＝PC， ∵BP＝13， ∴PC＝13， 故选：D． 【变式1-1】（2026•越秀区校级三模）如图，在△ABC中，AB＝8，点D在AC边的垂直平分线上，△BCD的周长为15，则BC的长为（　　） A．5 B．6 C．3 D．7 【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，又由△BCD的周长等于15，可得AB+BC＝15，继而求得答案； 【解答】解：∵AB＝8，点D在AC边的垂直平分线上， ∴AD＝CD， ∵△BCD的周长为15， ∴BC+CD+BD＝BC+AD+BD＝BC+AB＝15，即BC+8＝15， ∴BC＝7． 故选：D． 【变式1-2】（2026春•玄武区校级期中）如图，△ABC的边AB，BC的垂直平分线交于点P，若PA+PC＝16，则PB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】由线段垂直平分线的性质推出PA＝PC，求出PA＝8，即可得到PB的长． 【解答】解：∵AB，BC的垂直平分线交于点P， ∴PA＝PB，PC＝PB， ∴PA＝PC， ∵PA+PC＝16， ∴PA＝8， ∴PB＝8． 故选：B． 【变式1-3】（2026春•莲湖区期末）如图，△ABC周长为21，D为AC的中点，且DE⊥AC，连接CE．已知△BCE周长为13，求AD的长． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：∵D为AC的中点，且DE⊥AC， ∴DE是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∵△ABC周长为21， ∴AB+BC+AC＝21， ∵△BCE周长为13， ∴BC+EC+BE＝13， ∴BC+EA+BE＝13， ∴BC+AB＝13， ∴AC＝21﹣13＝8， ∴ADAC＝4． ▌题型02 利用垂直平分线的性质求周长 1. 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 2. 解题步骤 ① 锁定垂直平分线 找到图中哪条线是某线段的垂直平分线，标出交点。 ②等量替换边 把平分线上的点到底边两端的线段互换（DB=DC）。 ③化简周长式子 把三角形周长展开，再用等线段替换，消去未知边。 ④代入已知边长直接计算 【典例1】（2026•大荔县校级四模）如图，在△ABC中，AC＝7，BC＝10，AB边的垂直平分线分别与AB、BC交于点D、E，连接AE，则△ACE的周长为（　　） A．17 B．24 C．26 D．27 【分析】根据垂直平分线的性质可得AE＝BE，则△ACE的周长＝AE+CE+AC＝BE+CE+AC＝BC+AC，即可求解． 【解答】解：根据垂直平分线的性质AE＝BE， ∴△ACE的周长＝AE+CE+AC＝BE+CE+AC＝BC+AC＝17． 故选：A． 【变式1-1】（2026•娄星区校级模拟）如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABC的周长是17，AC＝5，则△ABD的周长为（　　） A．12 B．17 C．22 D．27 【分析】由题意易得AD＝DC，然后问题可求解 【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，△ABC的周长是17，AC＝5， ∴AD＝DC， ∴AB+BC＝12， ∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝DC+BD+AB＝AB+BC＝12． 故选：A． 【变式1-2】（2026春•和平区校级期中）如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，AG＝CG，据此即可求解． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵GF是AC的垂直平分线， ∴AG＝CG， ∴AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC+2EG＝9+2＝11， ∴△AEG的周长为11； 故选：A． 【变式1-3】（2025秋•天桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【分析】连接DC，则DC＝BD，AD+BD＝AD+DC≥AC，若要△ABD的周长最小，则A，D，C三点共线，即D为AC与MN的交点，△ABD的周长为AB+AC，问题可解． 【解答】解：连接DC，如图， ∵AD，CD，AC是△ACD的三条边， ∴AD+DC≥AC， ∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝10，AC＝9， ∴DC＝BD， ∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14， 故选：C． ▌题型03 利用垂直平分线的性质确定位置 1. 线段垂直平分线上所有点，到线段两个端点距离相等。到三角形三个顶点距离相等的点在三边垂直平分线的交点处。 2. 常见实际应用场景 ①仓库选址：到两个村庄距离相等； ②信号塔位置：到两小区距离相同； ③商场站点：在公路上，到两地路程相等； ④几何找点：三角形内找一点到两顶点等距。 【典例1】（2025秋•白云区期末）如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（　　） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处 【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【解答】解：发射塔到A、B两个村庄的距离相等时，发射塔在线段AB的垂直平分线上， 发射塔到A、C两个村庄的距离相等时，发射塔在线段AC的垂直平分线上， 则发射塔到三个村庄的距离相等时，信号发射塔应建在△ABC 的三条垂直平分线的交点处， 故选：D． 【变式1-1】（2026春•沙坪坝区校级期末）如图，A，B，C三个村庄围成一个三角形地块，电信部门要在里面修建一座电视信号发射塔，要求发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（　　） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三边的垂直平分线的交点处 【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答． 【解答】解：到A，B两个村庄的距离相等，应在线段AB的垂直平分线上， 到A，C两个村庄的距离相等，应在线段AC的垂直平分线上， ∴发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的三边的垂直平分线的交点处， 故选：D． 【变式1-2】（2026春•龙岗区校级期中）如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交站应建在（　　） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 【分析】根据规划一个公交车站到三座商场的距离相等，以及到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点，即可作答． 【解答】解：∵要规划一个公交车站到三座商场的距离相等， ∴该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【变式1-3】（2026•广州校级模拟）如图，在校运会的一项趣味竞赛中，三名同学分别站在△ABC的三个顶点处，争抢放置于三角形内部的凳子，最先坐到凳子者获胜．为保证比赛公平，要使凳子到三角形三个顶点的距离相等，凳子应放在三角形的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【分析】根据三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等可得答案． 【解答】解：∵三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴为使比赛公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三条边的垂直平分线的交点． 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． ▌题型04 通过尺规作图的痕迹得到垂直平分线 作已知线段的垂直平分线的方法： 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法： （１）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （２）连接PQ交MN于O．则点PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。 【典例1】（2025秋•临海市期末）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ，交AB，AC于点E，F，下列结论不一定成立的是（　　） A．AE＝ED B．EF⊥AD C．AF∥ED D．∠AEF＝∠EAD 【分析】由作图过程可知，直线PQ为线段AD的垂直平分线，可得AE＝ED，EF⊥AD，则∠ADE＝∠EAD．由角平分线的定义可得∠FAD＝∠EAD，则∠ADE＝∠FAD，可得AF∥ED，进而可得答案． 【解答】解：由作图过程可知，直线PQ为线段AD的垂直平分线， ∴AE＝ED，EF⊥AD， 故选项A，B正确，不符合题意； ∵AE＝ED， ∴∠ADE＝∠EAD． ∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠FAD＝∠EAD， ∴∠ADE＝∠FAD， ∴AF∥ED， 故选项C正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出∠AEF＝∠EAD， 故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（2026春•法库县期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　） A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为DE垂直平分AC， 所以AE＝CE，AD＝CD． 因为AE＝3cm，△ABD的周长为13cm， 所以AC＝2AE＝6cm，AB+BD+AD＝13cm， 则AB+BC＝13cm， 所以AB+BC+AC＝13+6＝19（cm）． 故选：B． 【变式1-2】（2025秋•泸水市期末）如图，在△ABC中，AC＝7，AD＝3，分别以点B，点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】由AC＝7，AD＝3，求出CD＝4，再根据作图方法可得直线MN垂直平分BC，由线段的垂直平分线的性质得到BD＝CD，即可解答． 【解答】解：∵在△ABC中，AD＝3，AC＝7， ∴CD＝AC﹣AD＝4， ∵MN垂直平分BC， ∴BD＝CD＝4． 故选：C． 【变式1-3】（2025秋•延边州期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 　16　 ． 【分析】由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD，则根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，然后利用等量代换即可得到△ADE的周长． 【解答】解：由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴△ADE的周长为AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝16， 故答案为：16． ▌题型05 尺规作图（垂直平分线） 作已知线段的垂直平分线的方法： 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法： （１）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （２）连接PQ交MN于O．则点PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。 【典例1】（2025秋•惠州期末）如图，已知△ABC． （1）尺规作图：作BC边的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E（只保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）连接CE，若△ABC的周长为24cm，BD＝5cm，则△AEC的周长为　14　 cm． 【分析】（1）作线段AB的垂直平分线即可； （2）利用线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，BE＝EC，则可把△AEC的周长转为AC与AB的和，从而达到解决问题的目的． 【解答】解：（1）如图： （2）∵DE为BC边的垂直平分线， ∴DC＝DB，BE＝EC， ∵BD＝5cm， ∴BC＝10cm， ∵△ABC的周长为24cm， ∴AB+AC＝24﹣10＝14（cm）． ∴△AEC的周长＝AC+AE+EC＝AC+AE+BE＝AB+AC＝14cm． 【变式1-1】（2026春•梅县区期中）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD． （1）请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹），并标记D，E两点； （2）若AE＝6，△BCD的周长为19，求BC的长． 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于M、N，作直线MN交AC于点D，交AB于E； （2）由线段垂直平分线的性质推出AD＝BD，AB＝2AE＝12，得到△BCD的周长＝BC+AC＝19，即可求出BC＝7． 【解答】解：（1）如图所示： （2）∵EF垂直平分AB， ∴AD＝BD，AB＝2AE＝2×6＝12， ∴AC＝AB＝12， ∵△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝19， ∴BC＝7． 【变式1-2】在△ABC内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段AC的长．（尺规画图，不写作法，保护作图痕迹） 【分析】由题意得，点P是线段AB的垂直平分线与以点C为圆心、CA长为半径画弧的交点，再根据各选项的尺规作图判断即可． 【解答】解：由题意得，点P是线段AB的垂直平分线与以点C为圆心、CA长为半径画弧的交点． 【变式1-3】如图，点C是线段AB外一点．借助无刻度直尺和圆规，判断点C是否在线段AB的垂直平分 线上．（要求：用两种方法判断；保留作图痕迹，不写作法．） 【分析】根据线段垂直平分线性质及判定定理作图即可． 【解答】解：如图所示，两种方法确定点C在线段AB的垂直平分线上． ▌题型06 利用垂直平分线的性质进行证明 证明两条线段相等，证PA=PB， 步骤： 1. 找到线段AB的垂直平分线； 2. 说明点P在这条垂直平分线上； 3. 根据垂直平分线性质，直接得出PA=PB。 【典例1】（2026春•七里河区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求△ABE周长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，通过全等三角形的性质得到AB＝AE，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝42cm，进而得AB+BC＝26cm，再根据△ABE周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC，即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADE=90°， 又∵BD＝DE，AD=AD， ∴△ADB≌△ADE（SAS） ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为42cm， ∴AB+BC+AC＝42cm， ∵AC＝16cm， ∴AB+BC＝26cm， 由（1）知AB＝AE＝EC， ∴△ABE周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC＝26（cm）． 【变式1-1】（2025秋•连云港校级月考）如图，AB＝CD，AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E，求证：∠ABE＝∠CDE． 【分析】连接EA、EC，根据线段垂直平分线的性质可知AE＝CE，BE＝DE，又已知AB＝CD，则可利用SSS证明△ABE≌△CDE，从而得出结论． 【解答】证明：连接EA、EC， ∵EM垂直平分AC，EN垂直平分BD， ∴AE＝CE，BE＝DE． 在△ABE和△CDE中， ， ∴△ABE≌△CDE（SSS）． ∴∠ABE＝∠CDE． 【变式1-2】如图，C、D是线段AB的垂直平分线l上的两点．求证：∠CAD＝∠CBD． 【分析】利用线段垂直平分线的性质可知CA＝CB，DA＝DB，加上CD＝CD，可证明△ACD≌△BCD，可得到∠CAD＝∠CBD． 【解答】证明：∵MN是线段AB的垂直平分线，且C、D在MN上， ∴CA＝CB，DA＝DB， 在△ACD和△BCD中， ， ∴△ACD≌△BCD（SSS）， ∴∠CAD＝∠CBD． 【变式1-3】如图，直线l是线段AB的垂直平分线，P点在直线l的右侧，求证：PA＞PB． 【分析】利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到只有直线l上的点满足此条件，连接BC，利用三角形的三边关系可以得到PA＞PB． 【解答】证明：连接PA交直线l于点C，连接PB，BC， ∵直线l是线段AB的垂直平分线， ∴CA＝CB ∴AP＝CA+CP＝CB+CP＞PB， 即PA＞PB． ▌题型07 最值问题 1. 已知直线，点A、B在直线同侧，在上找点P，使PA+PB最小。 ①作A关于直线的对称点A'； ②连接A'B，与直线交于点P； ③此时PA+PB=A'P+PB=A'B，为最小值； ④关键：对称轴就是AA'的垂直平分线，得 PA=PA'，等量代换。 2. 解题步骤 ①找垂直平分线，写出等线段（PB=PC）； ② 把周长/两条线段和进行等量替换； ③ 转化为“两点之间线段最短”； ④连接两点，交点即为动点位置。 【典例1】（2026春•新城区期末）综合与实践 如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得CA+CB的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，则AB′与直线l的交点即为点C，且CA+CB的最小值为AB′的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC+BC＜AC′+BC′即可． （1）请完成图3中小明的证明； （2）如图4，在△ABC中，直线m是边BC的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若AB＝6，AC＝5，BC＝8，则△APC周长的最小值为 　11　 ． 【分析】（1）利用点B与点B'关于直线l对称，根据垂直平分线性质得BC＝B'C，BC'＝B'C'，将AC+CB转化为AC+CB＝AB'，再依据三角形三边关系即可解答； （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点P'重合时，AP+CP值的最小，即△APC周长有最小值，求出AB+AC即可得到结论． 【解答】解：（1）∵点B与点B'关于直线l对称， ∴BC＝B'C，BC'＝B'C'， ∴AC+CB＝AC+B'C＝AB'，AC'+BC'＝AC'+B'C'， 在△AC'B'中，由三边关系可得，AC'+B'C'＞AB'， ∴AC'+B'C'＞AB'， ∴AC'+B'C'＞AC+B'C， 即AC+BC＜AC′+BC′； （2）∵直线m是边BC的垂直平分线， ∴点B和点C关于直线m对称， ∴当P与P'重合时，AP+CP值的最小，即△APC周长有最小， 此时，△APC周长为AP'+P'C+AC＝AB+AC＝6+5＝11， 故答案为：11． 【变式1-1】如图，等腰三角形ABC底边BC的长为5cm，面积是18cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则BM+DM最小值为（　　）cm． A． B． C． D． 【分析】连接AD，AM，由线段垂直平分线的性质得到AM＝BM，则当A、D、M三点共线，且AD⊥BC时，AM+DM有最小值，即此时BM+DM有最小值，最小值为线段AD的长，据此根据三角形面积计算公式求出线段AD的长即可得到答案． 【解答】解：连接AD，AM，如图， ∵AB的垂直平分线EF交AC于点F， ∴AM＝BM， ∴BM+DM＝AM+DM， ∵AM+DM≥AD，且垂线段最短， ∴当A、D、M三点共线，且AD⊥BC时，AM+DM有最小值，即此时BM+DM有最小值，最小值为线段AD的长， ∵等腰三角形ABC底边BC的长为5cm，面积是18cm2， ∴， ∴， ∴BM+DM的最小值为， 故选：D． 【变式1-2】如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，且CD＝5，AD＝13，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在直线EF上运动，连接DM、CM，则△CDM周长的最小值为（　　） A．8 B．16 C．18 D．20 【分析】由EF垂直平分线段AC，推出MA＝MC，推出DM+MC＝AM+MD，可得当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，最小值就是线段AD的长，即可求解． 【解答】解：连接MA， ∵EF垂直平分线段AC， ∴MA＝MC， ∴DM+MC＝AM+MD， ∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小， ∵AD＝13， ∴DM+MC的最小值就是线段AD的长， ∴△CDM周长的最小值为DM+MC+CD＝13+5＝18， 故选：C． 【变式1-3】（2025秋•呼玛县期末）如图，l是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，AB＝6，则△AEC周长的最小值为　13　 ． 【分析】根据垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式得到△AEC的周长＝AE+CE+AC＝BE+CE+AC≥BC+AC，即可得出结果． 【解答】解：连接BE， 由条件可知：EA＝EB， ∵△AEC的周长＝AE+CE+AC＝BE+CE+AC≥BC+AC， ∴当点E在边BC上时，△AEC的周长最小为BC+AC， ∵AC＝5，BC＝8， ∴△AEC周长的最小值为13； 故答案为：13． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 线段垂直平分线的性质 ▌题型01 利用垂直平分线的性质求线段长 【典例1】D． 【变式1-1】D． 【变式1-2】B． 【变式1-3】 【解答】解：∵D为AC的中点，且DE⊥AC， ∴DE是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∵△ABC周长为21， ∴AB+BC+AC＝21， ∵△BCE周长为13， ∴BC+EC+BE＝13， ∴BC+EA+BE＝13， ∴BC+AB＝13， ∴AC＝21﹣13＝8， ∴ADAC＝4． ▌题型02 利用垂直平分线的性质求周长 【典例1】A． 【变式1-1】A． 【变式1-2】A． 【变式1-3】C． ▌题型03 利用垂直平分线的性质确定位置 【典例1】D． 【变式1-1】D． 【变式1-2】A． 【变式1-3】C． ▌题型04 通过尺规作图的痕迹得到垂直平分线 【典例1】D． 【变式1-1】B． 【变式1-2】C． 【变式1-3】16． ▌题型05 尺规作图（垂直平分线） 【典例1】 【解答】解：（1）如图： （2）∵DE为BC边的垂直平分线， ∴DC＝DB，BE＝EC， ∵BD＝5cm， ∴BC＝10cm， ∵△ABC的周长为24cm， ∴AB+AC＝24﹣10＝14（cm）． ∴△AEC的周长＝AC+AE+EC＝AC+AE+BE＝AB+AC＝14cm． 【变式1-1】 【解答】解：（1）如图所示： （2）∵EF垂直平分AB， ∴AD＝BD，AB＝2AE＝2×6＝12， ∴AC＝AB＝12， ∵△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝19， ∴BC＝7． 【变式1-2】 【解答】解：由题意得，点P是线段AB的垂直平分线与以点C为圆心、CA长为半径画弧的交点． 【变式1-3】 【解答】解：如图所示，两种方法确定点C在线段AB的垂直平分线上． ▌题型06 利用垂直平分线的性质进行证明 【典例1】 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADE=90°， 又∵BD＝DE，AD=AD， ∴△ADB≌△ADE（SAS） ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为42cm， ∴AB+BC+AC＝42cm， ∵AC＝16cm， ∴AB+BC＝26cm， 由（1）知AB＝AE＝EC， ∴△ABE周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC＝26（cm）． 【变式1-1】 【解答】证明：连接EA、EC， ∵EM垂直平分AC，EN垂直平分BD， ∴AE＝CE，BE＝DE． 在△ABE和△CDE中， ， ∴△ABE≌△CDE（SSS）． ∴∠ABE＝∠CDE． 【变式1-2】 【解答】证明：∵MN是线段AB的垂直平分线，且C、D在MN上， ∴CA＝CB，DA＝DB， 在△ACD和△BCD中， ， ∴△ACD≌△BCD（SSS）， ∴∠CAD＝∠CBD． 【变式1-3】 【解答】证明：连接PA交直线l于点C，连接PB，BC， ∵直线l是线段AB的垂直平分线， ∴CA＝CB ∴AP＝CA+CP＝CB+CP＞PB， 即PA＞PB． ▌题型07 最值问题 【典例1】 【解答】解：（1）∵点B与点B'关于直线l对称， ∴BC＝B'C，BC'＝B'C'， ∴AC+CB＝AC+B'C＝AB'，AC'+BC'＝AC'+B'C'， 在△AC'B'中，由三边关系可得，AC'+B'C'＞AB'， ∴AC'+B'C'＞AB'， ∴AC'+B'C'＞AC+B'C， 即AC+BC＜AC′+BC′； （2）∵直线m是边BC的垂直平分线， ∴点B和点C关于直线m对称， ∴当P与P'重合时，AP+CP值的最小，即△APC周长有最小， 此时，△APC周长为AP'+P'C+AC＝AB+AC＝6+5＝11， 故答案为：11． 【变式1-1】D． 【变式1-2】C． 【变式1-3】13． 1 / 2 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