专题06 垂直平分线和角平分线的性质和判定（八大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

专题06 垂直平分线和角平分线的性质和判定 （八大题型） 【题型一 线段垂直平分线的性质】......................................................................................1 【题型二 作已知线段的垂直平分线】..................................................................................5 【题型三 作垂线(尺规作图】................................................................................................9 【题型四 角平分线的性质定理的应用】...............................................................................12 【题型五 角平分线的性质在实际中的应用】........................................................................14 【题型六 角平分线的性质的判定】.......................................................................................18 【题型七 角平分线的性质的判定和性质综合】....................................................................24 【题型八 尺规作图-角平分线】..............................................................................................28 【题型一 线段垂直平分线的性质】 1．如图，在中，垂直平分，交边于点D，交边于点E，连接．若，的周长为10，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得，即可求解. 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴， 故选：B. 2．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，，，是某景区临近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台．要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是（ ） A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，即可确定观景台的位置． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是各边垂直平分线的交点． 故选：． 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长 为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】C 【分析】本题考查基本尺规作图作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，得到是线段的垂直平分线是解答的关键． 先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹，是线段的垂直平分线， ， ，， 的周长为， 故选：C． 5．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为点E，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，先根据线段垂直平分线的性质得出，，再对各选项进行逐一分析即可，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，，故A正确，该选项不符合题意； 在和中， ， ∴，故C正确，该选项不符合题意； ∴，故B正确，该选项不符合题意； 不一定等于，故D错误，符合题意； 故选：D． 6．如图，点在线段的垂直平分线上．若，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，由性质定理得到线段相等是解题的关键．由垂直平分线性质得线段相等，根据周长公式求解． 【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上, ， ∴． ∴四边形的周长是 故选：B． 【题型二 作已知线段的垂直平分线】 1．如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由和可得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点在的垂直平分线上，进而得出结论． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 2．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质和尺规作图，点P到点A，点B的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：点P到点A，点B的距离相等， 点P在线段的垂直平分线上， 故选：A． 3．如图，在中，已知，，完成以下问题： (1)利用尺规作图，作出的中线；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)过点M与垂直的直线交于点 D，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线，熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键． （1）利用基本作图作的垂直平分线交于点M，连接即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长求解即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图所示，连接，根据题意易知，是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 4．为了迎接九十校庆，学校要修建一处公共设施，使它到校史馆、办公楼、体育馆的距离相等，若、、的位置如图①所示，请你在图中确定这处公共设施（用点表示）的位置．（不写作法，仅保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的作法及其性质，作出垂直平分线是解题关键．连接，，分别作出，的垂直平分线，交点即为点． 【详解】解：如图所示：所以点即为所求． 5．如图，在中． (1)作边的垂直平分线，分别与相交于点D、E（尺规作图，保留痕迹）． (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质： （1）根据尺规作线段的垂直平分线的步骤进行作图即可； （2）线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得，等量代换可得． 【详解】（1）解：边的垂直平分线如图： （2）解：如图，连接， 是边的垂直平分线， ， ， 即的周长为14． 6．如图，已知． (1)利用尺规作图作出的边上的中线（其中点在边上，只保留作图痕迹，不必写出作法）； (2)若，且中线恰好将的周长分成16和11的两部分，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查作图基本作图，尺规作中垂线，三角形中线的概念，掌握垂直平分线的作图方法是解题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点D，连接，即为所求； （2）根据题意得到，然后由中点得到，得到，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）又点为边中点， ， ，中线恰好将的周长分成16和11的两部分， 得，， ， ， ， ． 【题型三 作垂线(尺规作图】 1．按要求画图． (1)过点画出直线的平行线； (2)过点画出直线的垂线，垂足为． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】本题主要考查了平行线和垂线的作图方法，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）以点为顶点，在外作，根据内错角相等可得，即可画出． （2）按照画垂线的方法，过点作的垂线，垂足为点即可． 【详解】（1）解：作法：以点为顶点，在外作，即射线就是所求作的图形． （2）解：过点作的垂线，垂足为点，直线就是所求作的图形． 2．如图，已知中，，请利用尺规作图法，在上求作一点，使得是中边上的高．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】作图见解析 【分析】本题考查了作三角形的高，经过点作的垂线即可，掌握过一点作已知直线的垂线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，线段即为所求．    3．如图所示，在中： (1)画出边上的高和中线． (2)若，，求和的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)， 【分析】本题主要考查尺规作图—钝角三角形的高，中线的作法，三角形内角和定理，直角三角形的性质的综合，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据钝角三角形画高，画中线的方法即可求解； （2）在中，根据三角形内角和定理可求出的度数，在中，根据直角三角形的性质可求出的度数，根据可求出的度数，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作延长线于点，作的垂直平分线得到中点，连接，        ∴即为边上高，即为边的中线． （2）解：在中，，， ∴， 由（1）的作图可知，是直角三角形，，即， 在中，，， ∴， ∴． 【题型四 角平分线的性质定理的应用】 1．如图，为的角平分线，于点，，则的长不可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质，可知，再根据垂线段最短，可知，从而得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 为的角平分线，于点，， ， ， ， 的长度不可能为1， 故选：D． 2．如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵的面积是10，若， ∴， ∴， ∴，即点到的距离是4， 故选：C． 3．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【题型五 角平分线的性质在实际中的应用】 1．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点． 故选：C． 2．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 证明，可得，根据角平分线的性质，即可得C村到公路的距离． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∵C村到公路的距离为， ∴C村到公路的距离是． 故选：D． 3．如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（   ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找加油站的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴加油站可选择的点共有四处． 故选：D． 4．如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等成为解题的关键． 由角平分线的交点到角边的距离相等，则两同旁内角平分线的交点满足条件；据此作图即可解答． 【详解】解：如图所示： ∵和的平分线的交点到距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵和的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个． 故选：C． 5．如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可． 【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F， ∵点是三条角平分线的交点， ∴． ∵， ， ， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出是解题关键． 【题型六 角平分线的性质的判定】 1．如图，，垂足分别为，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质和判定， 先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线的判定定理得出答案. 【详解】证明：， ． 在和中， ， ． ， ∴平分． 2．已知，于点，于点，交点，，．求证：    (1)点在的平分线上； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，证明，根据性质可得，然后通过角平分线的判定方法即可求证； （）由（）可知，得，又，然后通过线段和差即可求证． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上； （2）证明：由（）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．如图，在四边形中，，，平分交于点E，连接，若点E是边的中点，求的度数． 【答案】 【分析】过点E作于点F，利用角的平分线的性质和判定解答即可． 本题考查了角的平分线的性质和判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如解图，过点E作于点F， ∵，平分， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． 4．如图，，是的中点，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、平行线的判定和性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质系．过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证平分． 【详解】证明：如图所示，过点作， 平分，， ， ， 是的中点， ， ， 平分． 5．如图，在四边形中，，，平分，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)若的面积是，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）过点作于点，由， 平分，得到，，推出，即可得到结论； （2）由（1）知，得到，证明，得到，推出，求出． 【详解】（1）证明：过点作于点， ，垂足为，且平分， ，， ， ， ， ，即， 平分； （2）解：由（1）知， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 6．如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积为15 【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点作于点，作于点，利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可． （3）设，利用，求出，从而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ，， ， ， 又点在的内部， 平分； （3）解：如上图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴的面积为． 【题型七 角平分线的性质的判定和性质综合】 1．如图，在四边形中，，为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）作，垂足为，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明． （2）证明得，同理可证，则题目可证． 【详解】（1）证明：作，垂足为， 平分，，， ， ， ， ，， 平分； （2）证明：由（1）可知：， 在和中， ， ， ，同理可证： ，即． 2．如图，、两点分别在射线、上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的判定． （1）证明，可得，结合已知即可证得结论； （2）由，可得，从而可得，证明，可得，从而可得的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． （2）解：由（1）得， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 3．如图，四边形中，，，于D． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）如图：作于E，易得；再证明可得，最后根据角平分线的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质以及已知条件可得，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：如图：作于E， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型八 尺规作图-角平分线】 1．如图，地块中，边． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)过点D作，则___________（填“”“”“”） (3)若地块的面积为，求地块的面积． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据角平分线的性质作答即可； （3）根据三角形的面积公式和角平分线的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵是的角平分线，， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，请用尺规作图法在边上确定点，连接，使得．保留作图痕迹，不写作法 【答案】见解析 【分析】本题考查作图：复杂作图、三角形内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作的平分线交于点，可得，则，则点即为所求． 【详解】解：如图，作的平分线交于点， ，， ， ， ， 则点即为所求． . 3．如图，在中，点D为边上一点，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处． (1)用无刻度的直尺和圆规作出直线与点E； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查折叠的性质，尺规作图—作角平分线和线段，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键： （1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，得到直线即可； （2）折叠得到，三角形的外角求出的度数，再根据折叠的性质，平角的定义，求出的度数即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）由折叠可得，，， ∵，， ∴， ∴． 4．如图，在中，是高，，． (1)画出的角平分线，分别交，于点，．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查作图—作角平分线及三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题关键在于根据题意作出图形． （1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作平分即可； （2）先求，再根据角平分线求出，进而利用三角形外角的性质根据求出结论． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）∵，， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∵是边上的高 ∴ ∴． 1．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．过作于，证，得到，，；而点是的中点，得到，则可证得，得到，，也可得到，，即可判断出正确的结论． 【详解】解：过作于，如图， ，平分， ，， 在和中， ， ， ，，； 而点是的中点， ，所以③错误，不符合题意； ， ，，所以②正确，符合题意； ，所以④正确，符合题意； ，所以①正确，符合题意； 故选：A． 2．如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，平行线间的距离等等，掌握角平分线的性质是解题的关键．如图所示，过点P作于F，延长交于G，先证明，由角平分线的性质得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于F，延长交于G， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P到与的距离之和为， 故选：D． 3．如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】B 【分析】先证明平分，则，再证明，即可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，，， 平分， ， 在与中， ， ， ，故①正确， ， ， ， ， ，故②正确， 在与中，只能得到，不能判断三角形全等； 综上所述，正确的结论是①②， 故选：B 4．如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．则对于以下结论：①②③．④，其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质，解题的关键是熟练运用角平分线的性质、全等三角形的判定定理来分析各个结论． 依次对每个结论进行分析，通过角平分线的性质、三角形内角和以及全等三角形的判定与性质，判断结论的正确性． 【详解】解：在中，， ∵分别平分， ， ， ， ． 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴（ASA），故结论①正确； 由，得，无法确定，故结论②错误； 由，得，， 又∵． 在和中， ∵， ∴， ∴又∵， 即，故结论③正确； 由， ∴， ∴，故结论④正确． ∴正确的个数是3． 故选：C． 5．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，，可判断④正确． 【详解】解：①∵平分，，， ∴， 故结论①正确； ②过点D作于点H，如图所示： ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴平分， 故结论②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故结论③正确； ④在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， 即， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 6．下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据SSS证明三角形全等． 【详解】解：连接，， 由作图得：，，， ≌， ． 故选：． 7．如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证： ； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由，利用，即可证明； （2）由，可得，继而求得； （3）首先作于M，于N，由，可得，即可证得平分 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， ； （3）证明：过点C作于M，于N， ， ，， 平分 8．如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定定理和三角形的面积计算，由角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得出是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据补角的定义计算，得到答案； （2）过点E作，垂足分别为G，H，根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ； （2）证明：如图，过点E作，垂足分别为G，H． ∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∴． ∵， ∴平分． （3）解：， 即 ， 解得 ， ∴的面积． 9．如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质 （1）过点作于点，过点作于点，证明即可； （2）过点作于点，过点作于点，证明即可； （3）过点作于点，过点作于点，证明即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ∵，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 垂直平分线和角平分线的性质和判定 （八大题型） 【题型一 线段垂直平分线的性质】......................................................................................1 【题型二 作已知线段的垂直平分线】..................................................................................3 【题型三 作垂线(尺规作图】................................................................................................5 【题型四 角平分线的性质定理的应用】...............................................................................5 【题型五 角平分线的性质在实际中的应用】........................................................................6 【题型六 角平分线的性质的判定】.......................................................................................7 【题型七 角平分线的性质的判定和性质综合】....................................................................10 【题型八 尺规作图-角平分线】..............................................................................................11 【题型一 线段垂直平分线的性质】 1．如图，在中，垂直平分，交边于点D，交边于点E，连接．若，的周长为10，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 3．如图，，，是某景区临近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台．要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是（ ） A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长 为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．24 5．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为点E，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，点在线段的垂直平分线上．若，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【题型二 作已知线段的垂直平分线】 1．如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A．B．C． D． 2．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，已知，，完成以下问题： (1)利用尺规作图，作出的中线；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)过点M与垂直的直线交于点 D，求的周长． 4．为了迎接九十校庆，学校要修建一处公共设施，使它到校史馆、办公楼、体育馆的距离相等，若、、的位置如图①所示，请你在图中确定这处公共设施（用点表示）的位置．（不写作法，仅保留作图痕迹） 5．如图，在中． (1)作边的垂直平分线，分别与相交于点D、E（尺规作图，保留痕迹）． (2)若，求的周长． 6．如图，已知． (1)利用尺规作图作出的边上的中线（其中点在边上，只保留作图痕迹，不必写出作法）； (2)若，且中线恰好将的周长分成16和11的两部分，求边的长． 【题型三 作垂线(尺规作图】 1．按要求画图． (1)过点画出直线的平行线； (2)过点画出直线的垂线，垂足为． 2．如图，已知中，，请利用尺规作图法，在上求作一点，使得是中边上的高．（保留作图痕迹，不写作法）    3．如图所示，在中： (1)画出边上的高和中线． (2)若，，求和的度数． 【题型四 角平分线的性质定理的应用】 1．如图，为的角平分线，于点，，则的长不可能是（      ） A． B． C． D． 2．如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【题型五 角平分线的性质在实际中的应用】 1．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 2．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（   ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 4．如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 5．如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【题型六 角平分线的性质的判定】 1．如图，，垂足分别为，．求证：平分． 2．已知，于点，于点，交点，，．求证：    (1)点在的平分线上； (2)． 3．如图，在四边形中，，，平分交于点E，连接，若点E是边的中点，求的度数． 4．如图，，是的中点，平分，求证：平分． 5．如图，在四边形中，，，平分，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)若的面积是，，求长． 6．如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 【题型七 角平分线的性质的判定和性质综合】 1．如图，在四边形中，，为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 2．如图，、两点分别在射线、上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 3．如图，四边形中，，，于D． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【题型八 尺规作图-角平分线】 1．如图，地块中，边． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)过点D作，则___________（填“”“”“”） (3)若地块的面积为，求地块的面积． 2．如图，在中，，，请用尺规作图法在边上确定点，连接，使得．保留作图痕迹，不写作法 3．如图，在中，点D为边上一点，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处． (1)用无刻度的直尺和圆规作出直线与点E； (2)连接，若，求的度数． 4．如图，在中，是高，，． (1)画出的角平分线，分别交，于点，．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)求的度数． 1．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 2．如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 4．如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．则对于以下结论：①②③．④，其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 7．如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证： ； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 8．如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 9．如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $