重难专题3 巧用勾股定理解决问题-【初中必刷题】2026-2027学年八年级上册数学同步课件（华东师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件聚焦勾股定理的综合应用，系统整合最短距离、折叠变换、实际问题三大类型，通过典型例题解析建立“问题情境—模型构造—定理应用”的知识网络，串联几何直观与逻辑推理的内在联系。 其亮点在于以“构造图形—分类讨论—实际建模”为主线，如蚂蚁爬行最短路径问题通过展开圆柱构造直角三角形培养几何直观，折叠三角形分类求面积发展推理意识，学校噪声影响问题用勾股定理解决实际问题强化应用意识。分层设计中、较难题目，助力学生巩固知识，教师可精准开展针对性复习。

数 学 八年级上册 HS 1 2 3 第13章 勾股定理 4 重难专 题3 巧用勾股定理解决问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 解决最短距离问题 1.【2026江苏苏州期末，中】如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的 点 爬到内侧的点寻找食物.已知点到桶口的距离厘米， 点到桶 口的距离厘米，圆弧 长15厘米，则蚂蚁爬行的最短路程是____ 厘米. 39 【解析】如图,过作交的延长线于点，连结 ，则 厘米，厘米，所以 （厘米）.在直角三角形中, （厘米）,所以蚂蚁爬行的最短路程是39厘米. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 2.【2026河南新乡期末，较难】某校数学兴趣小组在学习完勾股定理和实数后， 进行了问题探究. 【提出问题】已知，求 的最小值. 【分析问题】构造直角三角形，利用勾股定理来分别表示长度为 和 的线段，将代数求和转化为求线段长度的问 题. 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，为 边上的动点，设 ,则，则____ ____； 【解】根据题意得.故答案为, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求 的最小值； 图（1） 【解】如图（1），作点关于的对称点，连结，与 交于点 ，则，此时 的值最小，且 ，即的最小值为 的长.在 中，由勾股定理得 ， 的最小值为，的最小值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 【应用拓展】 （3）直接写出 的最小值为___. 7 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 图（2） 【解析】如图（2），构造一个长方形，使 ， ，点为边上一动点，设，则 , 则.作点关于 的对称 点，连结，与交于点，则，此时 的值最小，且，即 的最小值 为的长.在 中，由勾股定理得 ， 的最小值 为7， 的最小值为7.故答案为7. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 关键点拨 （3）本题的解题关键是构造出符合题意的图形，再结合勾股定理及轴对称的性质 求解即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 类型2 解决折叠问题 3.［中］如图，在中， ，于点，为线段 上一点， 连结，将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上．若 ， ，则 的面积为___． （第3题图） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 【解析】 ，， ， ， ，即 ，， .由折叠的性质可得 ，， ，即 ，， ， ，故答案为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 4.【2025广东深圳期中，较难】如图，长方形中， ， .点为射线上一动点，将沿折叠，得到 点的对应点为点，连结，，当为等腰三角形时， 的长为 _ ____________. 8或或或10 （第4题图） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 【解析】设与交于点.由折叠知，， 是线段 的垂直平分线，，当 为等腰三角形时，分 三种情况讨论:①当时，如图（1）， .设 ，则. ， ，解得（负值已舍去），即 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 ②当，且在长方形内部时，如图（2），过点作交 于点 ，交于点，， ， .在中，由勾股定理得 ， .设，则,.在 中，由勾股定 理得，解得，即 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ③当，且在长方形外部时，如图（3），过作于点 ，交 于点，则,, , ，.设，则 ， .在中， ，即 ，解得， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ④当时，如图（4），易知点在线段的垂直平分线上. 点 在线段 的垂直平分线上， 点，重合，此时，.综上，的长为8或或 或 10，故答案为8或或 或10. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 思路分析 根据题意分类讨论：①当时;②当，且 在长方形内部时；③ 当，且在长方形外部时；④当 时，分别画出图形，设未知数， 利用勾股定理建立方程求解即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 类型3 解决实际问题 5.［较难］如图，有一辆环卫车沿公路由点向点行驶，已知点 为一所学校， 且点与公路上两点，的距离分别为和， ，环卫车 周围以内包括 为受噪声影响区域. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 （1）学校 会受噪声影响吗？为什么？ 【解】学校 会受噪声影响.理由如下： 如图，过点作于 . ，，， , 是直角三角形， , ， ，即 ， . 环卫车周围以内包括为受噪声影响区域， 学校 会受噪声影响． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 （2）若环卫车噪声影响该学校持续的时间为 ，求环卫车的行驶速度为多少. 【解】如图，当， 时， ， 环卫 车噪声影响该学校持续的时间为， 环卫车的行驶速度为 . 关键点拨 （2）理解题意，作图得到 为受噪声影响路段是本题解题关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 $