第13章勾股定理综合训练-【初中必刷题】2026-2027学年八年级上册数学同步课件（华东师大版·新教材）
2026-10-15
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教辅
摘要：
该初中数学单元复习课件系统梳理了勾股定理及其逆定理的核心知识，通过“考点分类-中考真题-章测训练”的结构，将定理应用、逆定理判定及综合问题串联，构建从基础概念到实际应用的知识网络。
其亮点在于采用“真题解析-思维建模-分层练习”模式，如通过赵爽弦图面积计算培养几何直观，结合旋转问题推理发展逻辑思维，章测题分选择、填空、解答分层设计。这种设计既巩固知识又提升数学眼光与思维，助力教师精准教学。
内容正文：
数 学
八年级上册 HS
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第13章 勾股定理
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全章综合训练
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中考
考点1 勾股定理及其应用
1.【2024四川眉山中考】如图，图（1）是北京国际数学家大会的会标，它取材于
我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图（1）中
大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图（2），
则图（2）中大正方形的面积为( )
D
A.24 B.36 C.40 D.44
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【解析】设直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，斜边长为 题
图（1）中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4， ，
，， 题图（2）中大正方形的面积为
.故选D.
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（第2题图）
2.【2025天津中考】如图，在中， ，将
绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为， ，
的延长线与边相交于点，连结．若， ，
则线段 的长为( )
D
A. B. C.4 D.
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【解析】如图，连结，交于点.由旋转得 ，
， ．在和
中，，，
垂直平分， ，， ，
，
， ．故选D．
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（第3题图）
3.【辽宁抚顺中考】如图，在中， ，
点为的中点，过点作交的延长线于点 ，
若，，则 的长为__.
【解析】， 点为的中点， .又
，， 中，
，，， .
故答案为 .
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4.【2025广西中考】如图，点,在同侧， ,
,则 _______.
【解析】，是等边三角形，点在 的垂
直平分线上.， 点在的垂直平分线上.如图，取 的中
点，连结,则，，三点共线，且垂直平分 ，
， .在中，， ，根据勾股定
理得.在中，， ，由勾
股定理得， .
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5.【2024陕西中考】如图，在中，，是边 上一点，
连结，在的右侧作，且，连结.若 ，
，则四边形 的面积为____.
60
【解析】，，，
，平分.如图，过点作于点 ，
于点，则, ，且
，， 四边形 的面积为
，.设 ，则
.
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由勾股定理，得， ，
解得 ，
，， 四边形
的面积为60.故答案为60.
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关键点拨
将四边形的面积转化为 的面积求解是解题关键.
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6.【2024江苏常州中考】如图，在 中，
，，，是边的中点，是边
上一点，连结，.将沿翻折，点落在 上的点
处，则 __.
【解析】，是边的中点， ,
将沿翻折，点落在上的点 处，
，, ，, .
设，则,.在 中，由勾股定理，得
，解得,.故答案为 .
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思路分析
先由勾股定理求出的长，再由翻折的性质得到， ,
.设，在中，利用勾股定理列出关于 的方程，求解
即可.
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考点2 勾股定理的逆定理及其应用
7.【2025吉林长春中考】图（1）、图（2）、图（3）均是 的网格，其中每
个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点.只用无刻度的直尺，分别在给
定的网格中按下列要求作，使 的顶点均在格点上.
图（1）
图（2）
图（3）
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（1）在图（1）中， 是面积最大的等腰三角形；
【解】如图（1）所示， 即为所求.
图（1）
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（2）在图（2）中， 是面积最大的直角三角形；
【解】如图（2）所示， 即为所求.
图（2）
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（3）在图（3）中， 是面积最大的等腰直角三角形.
【解】如图（3）所示， 即为所求.
图（3）
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章测
一、选择题（每小题5分，共30分）
1.【2025四川内江期中】若的三边长分别是，， ，则下列条件能判定
是直角三角形的是( )
D
A.
B.
C.，，
D.，，
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【解析】A选项，，且 ，
， ，不是直角三角形，故不符合题意 选
项，， ， 不是直角三角
形，故不符合题意选项，，，，， 不
是直角三角形，故不符合题意选项，， ，
，，即 ，
是直角三角形，故符合题意.故选D.
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（第2题图）
2.【2025江苏盐城调研】如果正整数，，满足 ，
那么正整数，， 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程
列成下表，观察表中每列数的规律，可知 的值为( )
C
A.47 B.62 C.79 D.98
【解析】观察题表可得，，， ；
，,；， ，
； ，，，
且为正整数， 当 时，
,，，， .故选C.
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（第3题图）
3.【2025四川绵阳期末】如图，在中， ,
,，是上一动点，则 的长度不可能为
( )
D
A.5 B.12 C.13 D.15
【解析】 在中， ,, ，
是上一动点， ，
的长度不可能为15.故选D.
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4.【2026山西长治期末】一艘船由港沿北偏东 方向航行至 港，然后
再沿北偏西 方向航行至港，则， 两港之间的距离为( )
A
A. B. C. D.
（第4题图）
【解析】如图，由题意得 ， ，
， ，
.在 中，
， ，
，， 两港之间的
距离为 .故选A.
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5.【2025浙江嘉兴质检】如图，在中， ，按下列步骤作图：
（第5题图）
①分别以点，为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点
，，作直线交于点；②连结，以为圆心， 长为
半径画弧交于点.若，，则线段 的长为
( )
B
A. B. C. D.
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（第5题图）
【解析】连结,过点作于点 ，如图所示.由作图知
是线段的垂直平分线， ，
，
， ，
，，，
， .
， .由作图知
， .故选B.
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（第6题图）
6.【2025浙江舟山期末】如图，在和 中，
，点是边的中点，若 ，
，连结，则 的值为( )
D
A.14 B.15 C.16 D.17
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【解析】延长到，使得，连结， ，如图所
示. ， ，
，， ，
， ，
,
， ，
，， ， ，
点为的中点，， ，
.故选D.
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二、填空题（每小题5分，共15分）
（第7题图）
7.【2026四川宜宾期末】如图，某监控区域的警示图标中，摄像
头的支架由水平、竖直方向的,两段构成，若 段长度为
，点，之间的距离比段长，则 段的长度为____
.
15
【解析】由题意可知， ，.设 ，
则.由勾股定理，得 ，
，解得， .故答案为15.
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（第8题图）
8.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,连结， ，
则 ____度.
45
【解析】如图，取格点，，，，连结，， .由勾股
定理，得， ，
，则， 为等腰直
角三角形， ，
.易证 ,
， ,故答案为45.
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关键点拨
取格点，，，，连结，， .根据勾股定理求出各边长的平方，得到
是等腰直角三角形是解题关键.
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9.如图，长方形中，，，点是边上一点，连结，把
沿折叠，使点落在点处.当为直角三角形时， 的长为_ _____.
或3
（第9题图）
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【解析】当 为直角三角形时，有以下两种情况：
①当 时，如图（1）所示，连结.在中，， ，
所以，则.因为沿折叠，使点落在点 处，所以
.又因为 ，所以点，，共线，即沿 折
叠，使点落在对角线上的点处，则， ，所以
.设，则.在 中，因为
，所以，解得，即 .
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②当 时，如图（2）所示.易知此时点落在边上，四边形
为正方形，所以 .
综上所述，的长为或3.故答案为 或3.
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关键点拨
当为直角三角形时，分 和 两种情况，分别求解即可.
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三、解答题（共55分）
10.如图，在中，是边的中点，是边的中点，连结， .
（1）若，，，求证： ；
【证明】是边的中点，是边的中点，， ，
， ，
， ，
，是直角三角形， .
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（2）若 ，，，求 的面积.
【解】是边的中点，，.在 中，
，，， 由勾股定理得
是边的中点， ，
的面积为 .
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11.【2026福建厦门期末】综合与实践
【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯 ，如
图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端到墙脚的距离, .
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（1）【独立思考】这架云梯顶端到地面的距离 是多少米？
【解】在中，根据题意得 .
答：这架云梯顶端到地面的距离是 .
（2）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑到 位置上
（云梯长度不改变），，那么云梯的底端移动的距离 是多少米？
【解】， ，
，
.
答：云梯的底端移动的距离是 .
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（3）【问题解决】在演练中，高 的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援
被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，云梯底端到墙的距离不小于云梯长度的 ，
则云梯和消防员相对安全.在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达 高的墙
头去救援被困人员？
【解】能.理由： 云梯底端到墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相
对安全， 云梯底端到墙的距离应不小于 .
高的墙头有求救声，云梯的长为， 云梯的顶端刚好在高 的墙头
位置时，云梯底端到墙的距离为， 云梯的顶端能
到达 高的墙头去救援被困人员.
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12.【2025河南洛阳期末】如图，在中， .
（1）若为的中点，求证： .
图（1）
【证明】如图（1）所示，
，是的中点，，.在 中，
，.又 ，
， .
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（2）若为 上的任意一点，（1）中的结论是否还成立？请说明理由.
图（2）
【解】成立．理由：如图（2）所示，作于 ，
，.在中， ，在
中， ，
.又
， ，
，
.
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（3）若为延长线上一点，请直接写出，，， 之间的数量关系．
图（3）
【解】．如图（3），作 于
，，.在 中，
，在中， ，
.又
， ，
，
．
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13.如图，中，于，且，且 .
动点从点出发以的速度沿线段向点运动，同时动点从点 出发以
相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点 运
动的时间为 .
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（1）当的边与平行时，求 的值.
【解】， 设，, ,则
.， ，
，，，，, 由勾股定理得
,，.当 时，
，， ，
,,，.当 时，
同理可得，.综上所述，当的边与平行时， 的
值为5或6．
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（2）在点的运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出 的值；若
不能，请说明理由.
【解】能成为等腰三角形.分三种情况：当时， .当
时，， ，
，， ，
， .
当时，过作于点，则 ，
， ，
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， ，
，.综上所述，的值为5或6或时， 是等腰三
角形．
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思路分析
（2）分三种情况：当时，；当时， ，
证明，则，得，则 ；当
时，过作于点，则，由 的面
积求出，再由勾股定理得，则 ，即可得
出结论．
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