13.1.1 直角三角形三边的关系-【初中必刷题】2026-2027学年八年级上册数学同步课件（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦八年级上册“勾股定理”核心内容，涵盖定理及其逆定理、应用、验证等知识点，通过“刷基础—刷提升—刷易错”分层训练，构建从概念理解到综合应用的学习支架，帮助学生逐步深化对直角三角形三边关系的认知。 其亮点在于结合机器零件、秋千等现实情境培养数学眼光，通过分类讨论（如直角边与斜边辨析）和推理（全等、面积法）发展数学思维，融入赵爽弦图等传统文化提升数学语言表达。题型分层且同步教材，助力学生夯实基础、强化能力，为教师提供系统教学资源。

数 学 八年级上册 HS 1 2 3 第13章 勾股定理 4 13.1 勾股定理及其逆定理 1.直角三角形三边的关系 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 勾股定理 （第1题图） 1.【2025安徽合肥期末】如图所示，在数轴上，点， 所 表示的数分别是，1，垂直于数轴，且，以 为 圆心，长为半径画弧，交数轴于点（在点 左侧），若 点所表示的数为，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得，， 由勾股定理得 ， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 （第2题图） 2.【2026河南驻马店期中】如图，在中， , ,，点是边上的一个动点（不与点， 重 合），连结，当时， 的面积为( ) D A. B. C.2 D. 【解析】 ,,， ， ， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 3.【2025四川宜宾期中】直角三角形两条直角边长之和为，面积为 ，则斜边 长为_____. 2.5 【解析】设一条直角边长为，另一条直角边长为，斜边长为 .由题意可得 ，, ， ， ，故 答案为2.5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.如图，在中， ，是的角平分线，于点 ， ，，则 的长是__． 【解析】在中， ，， ，则 是的角平分线， ， ， ， ，解得，故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 思路分析 先根据勾股定理求出的长，再根据角平分线的性质得到 ，最后根据三 角形的面积公式计算即可得到答案. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 知识点2 勾股定理的简单应用 （第5题图） 5.【2026山东潍坊期中】一个外轮廓为长方形的机器零件剖 面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： ）， 可得出两圆孔中心， 之间的距离为( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题意得 ， ， ，则 ，即两圆孔中心， 之间的距离为 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 （第6题图） 6.【2026福建福州质检】如图（1），小明按照体育老师教 的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠 近身体，小臂转向身体两侧且与地面平行，两手将绳拉直， 绳长即为合适长度.将图（1）抽象成图（2）（忽略脚底所 踩的绳长），若两手握住的绳柄两端距离约为 ，小臂到 地面的距离约为，则适合小明的绳长为_____ . 2.6 【解析】如图，过作于， . 在中， ， ， 绳长为 .故答案为2.6. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 知识点3 勾股定理的验证 7.若，为直角三角形的两直角边， 为斜边，则下列选项中不能用来证明勾股定 理的是( ) A A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 【解析】选项A不能用来证明勾股定理，故符合题意；选项B，大正方形的面积为 ，能证明勾股定理，不 符合题意；选项C，大正方形的面积为 ，化简得 ，能证明勾股定理，不符合题意；选项D，梯形的面积为 ，化简得 ，能证明勾股定理，不符 合题意.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 刷易错 易错点 没有明确已知边是哪条边而忽略分类讨论致错 8.若直角三角形的两边长分别为，，且满足 ，则该直角三 角形的第三边长的平方为_______. 25或7 【解析】，，，， .当 为直角边长时，第三边长的平方为；当 为斜边长时，第三 边长的平方为 .故答案为25或7． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 易错警示 已知直角三角形的两边长求第三边长的平方时，如果题中没有说明这两条边长是 直角边长还是斜边长，则要分两种情况讨论，要避免由于忽略分类讨论而漏掉解 的情况. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 提升 1.【2026福建龙岩质检，中】如图，在中， ， , ，以为圆心，适当长为半径画弧分别交,于， 两点，再分别以 ，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点 ， 则 的长为( ) B A.4 B. C.3 D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 【解析】过点作于点，如图., , ， .由作图痕 迹得平分， , .在和 中， , , ,.设，则 , .在中， ，即 ，解得, .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 2.【2025山东枣庄期中，中】有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在 它的左右“肩”上生出两个小正方形，此时这三个正方形的边围成的三角形是直 角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图（1）所示的图形.如果照此 规律继续“生长”下去，它将变成如图（2）所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你 算出“生长”了2 025次后形成的图形中所有正方形的面积和是( ) C A.2 024 B.2 025 C.2 026 D.2 027 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 【解析】如图，由题意得，正方形A的面积为1，A，B，C三个正方 形的边围成的三角形是直角三角形， 由勾股定理得，正方形B的 面积正方形C的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有 的正方形的面积和为 .同理可得，“生长”了2次后形成的 关键点拨 根据勾股定理分别求出“生长”了1，2次后形成的图形中所有的正方形的面积和， 从而推出“生长”了 次后的规律，再进一步求解即可. 图形中所有的正方形的面积和为，可推得“生长”了 次后形成的图形中 所有的正方形的面积和为， “生长”了2 025次后形成的图形中所有的正 方形的面积和为 ，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 3. 传统文化 【2025河南信阳期中，中】我国汉代数学家 赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦 图”.弦图由四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形 ，然后分别过较长直角边的中点作垂线，围成面积为 的小 正方形.已知为 较长的直角边，若 ，则正方形 的面积为( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】如图，设,，则 ， ， 正方形的面积为.由题意易得 ， ，即 小正方形的面积为，， 正方形 的面积为 .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 4.【2025江苏盐城期中，中】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板 离地的垂直高度，将它往前推出 （即水平距离 ）时，秋千踏板离地的垂直高度 ，秋千的绳索始 终拉得很直，则绳索长为_____ . 2.5 【解析】设秋千的绳索长为 ，则 .在 中，，，解得，即绳索 的长 度是 .故答案为2.5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 （第5题图） 5.【2025山东青岛市北区期中，中】如图，在由若干个边长为1的 小正方形组成的网格中，的顶点，， 均在小正方形的顶 点上，于点，则 的长为___. 【解析】如图，， 的面积为 .由勾股定理得 , ，解得，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （第6题图） 6.【2026浙江金华期中,较难】如图，在和 中，.连结，，若与 的面 积之比为，则 的长为_____. 【解析】过点作交的延长线于点，过点 作 于点，如图，则 .依题意得 ， 又 ，.在 和 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 中， ， ，，与 的面积之 比为，,.在 中， ，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 过点作交的延长线于点，过点作于点 ，利用“角角边” 证明，根据全等三角形的性质可得 ，由 ，，与的面积之比为 ，得 ，即可求得 的长，最后根据勾股定理即可得解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 7.［较难］如图，已知中， ， ， ，，是边上的两个动点，点从点开始沿 方向运动，且速度为，点从点开始沿 方向运动， 且速度为，它们同时出发，设运动的时间为 . （1）当时，求 的长. 【解】当时，，，． 在中，，即 的长为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （2）当运动几秒时， 是等腰三角形？ 【解】如图（1），当时，是等腰三角形，此时 ， 则．在中，由,得 ， 解得．故运动时， 是等腰三角形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （3）当点在边上运动时，求能使 成为等腰三角形的运动时间. 【解】当点在边上运动时， . ①如图（2），当 时， ， ， ，.在 中， ， ， ，解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 ②如图（3），当时，，解得 . ③当时，如图（4），过点作，垂足为 ，则 ，， ， ， ， ，解得 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 综上所述，当运动时间为或或时， 是等腰三角形． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 （1） （2） （3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 $