13.1.1 直角三角形三边的关系 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，从2002年国际数学家大会会标（赵爽弦图）切入，结合中外数学史，通过正方形面积探索（从等腰直角三角形到一般直角三角形），构建从特殊到一般的学习支架，引导学生发现直角三角形三边关系。 其亮点在于融入数学文化（赵爽弦图、商高定理等），通过拼图法（割补法、赵爽弦图证明）培养几何直观和推理意识，结合“做一做”动手验证和多种证法展示，发展抽象能力与应用意识。学生能激发探究兴趣，教师可利用丰富资源提升教学效果。

华东师大版·八年级上册 第13章 勾股定理 13.1.1直角三角形三边的关系 学科：数学 年级：八年级上 1 新课导入 2002年国际数学家大会会标 会标采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图. 它标志着我国古代数学的成就！ 　这个图形里 到底蕴涵了什么样博大精深的知识呢？ 勾 股 世 界 毕达哥拉斯（毕达哥拉斯，前572-前497），西方理性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年． 为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 相传毕达哥拉斯在公元前500多年时发现了勾股定理。他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝，因此勾股定理在西方又叫做“百牛定理”或“毕达哥拉斯”定理．　 SA+SB=SC A B C 探索 思考：如图所示是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，P、Q、R的面积有什么关系？ P Q R A C B （1）正方形P的面积是 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 平方厘米； （3）正方形R的面积是 平方厘米. 2 1 SP+SQ=SR Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ AC2+BC2=AB2 1 （图中每一格代表一平方厘米） 探索 P Q R A C B 等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？ 我们发现： SP+SQ=SR AC2+BC2=AB2 发现 试 一 试 观察右图，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到： P Q R A B C 正方形P的面积=______平方厘米； 正方形Q的面积=______平方厘米； 正方形R的面积=______平方厘米. 9 16 如何计算正方形R的面积？请同学们思考一下. 把R看作是四个直角三角形 的面积+小正方形面积. Q P R Q P R S正方形R 方法一： 把R看作是大正方形面积 减去四个直角三角形的面积. S正方形R Q P R Q P R 割补法求图形面积 方法二： 试 一 试 观察右图，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到： P Q R A B C 正方形P的面积=______平方厘米； 正方形Q的面积=______平方厘米； 正方形R的面积=______平方厘米. 9 16 25 P Q R A B C 我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是____________. SP+SQ=SR 由此，我们得出Rt△ABC的三边长度之间存在的关系是： AC2+BC2=AB2 总结 对于其它直角三角形，是否还能存在这样的关系呢？ 做 一 做 画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 5cm 12cm 13cm 52+122=132 思考：是否对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，都有: a2+b2=c2 a b c 也就说是否对于任意 直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？如何验证？ 猜想 c b a 用赵爽弦图证明勾股定理 b a 证法一： 图1 图2 以直角三角形的两条边a,b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子，你能做到吗？试试看. a2+b2=c2 a b 验证 b S大正方形＝c2 S小正方形＝(b-a)2 S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形 证明： a b c b-a 验证 总结 由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2， a b c 这种关系我们称为勾股定理. 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）. a A B C b c ∟ 文字语言： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 概括 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 勾股定理 朱实 黄实 这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.它标志着中国古代的数学成就. 数学文化 勾股定理的证明方法 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 勾股定理和人类文明 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。在我过勾股定理也叫“商高”定理. 勾 股 股 a b c 勾 弦 c b a c2 b b a a ＝ c c c c c2 b2 a2 c2＝a2＋b2 证法二： 毕达哥拉斯证法 做 一 做 同一个图形的面积用不同的表示方法 证法二： 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . (a+b)2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴ a2+b2=c2 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理. 做 一 做 ∵ (a+b)2 = 24 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 证法三： 总统证法 总统的证法 证法三： a a b b c c 总统证法 ∴ a2 + b2 = c2 　　勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。 c b a c2=a2 + b2 a2=c2－b2 b2 =c2-a2 公式变形 例1 在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8.求AC. 解：根据勾股定理，可得AB2+BC2=AC2. 所以 应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可以求出第三边的长度. 应用 1、求出下列直角三角形中未知边的长度 6 8 x 5 x 13 解：（1）由勾股定理得： x2=62+82 x=10 ∵ x2+52=132 x=12 （2）由勾股定理得： 练习 2、求下图中字母所代表的正方形的面积。 225 400 A 81 225 B 625 144 练习 A B C D 7cm 3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。 49 1 1 通过这种方法可以把一个正方形的面积分成若干个小正方形的面积的和，不断的分下去，就可以得到一颗美丽的勾股树。 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）. a A B C b c ∟ 1.勾股定理（直角三角形三边关系） 文字语言： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 课堂小结 课堂小结 P Q R A C B a b c b-a 2.特殊到一般的探究过程和研究方法 3. 用拼图的方法证明勾股定理， 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 课堂小结 a b c b-a 课后作业 1.必做 （1）整理课堂中所提到的勾股定理的证明方法； （2）完成课后作业中的题目. 2.选做： 上网查阅了解有关勾股定理的趣事及其他证明方法。 即c2=4× EQ \F(1,2) ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2 所以 a2+b2=c2 $