13.1.1直角三角形的三边关系 教学设计 2025--2026学年华东师大版八年级数学上册

学科 课题 讲课教师 讲课时间 讲课地点 数学 13.1.1 直角三角形的三边关系 课标要求 结合教材中的生活实例，探索在正方形瓷砖铺成的地面中所形成的等腰直角三角形的三边关系，进而利用网格作图探索一般直角三角形的三边关系，并结合赵爽弦图总结勾股定理。 学习目标 1.通过探索网格作图了解直角三角形的三边关系。 2.利用赵爽弦图推导勾股定理。 3.理解并掌握勾股定理。 4.利用勾股定理解决简单的实际问题。 重点 利用勾股定理解决简单的实际问题。 难点 理解勾股定理的两种推导方法。 教学过程 导入 我们已经学过直角三角形内角之间的特殊关系，即直角三角形的两锐角互余，那么直角三角形的三条边之间是否也存在着某种特殊关系？ 新授课 探究一： 我们首先观察正方形瓷砖铺成的地面，如图13.1.1，观察图中三种不同颜色的正方形，试着判断他们的面积有什么关系？ 两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积，即 这说明，在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. （总结方法：当需要寻找某一条线段长度的平方时，可利用正方形的面积） 思考：在一般的直角三角形中，是否也具备上述特征？ 探究二： 引导学生类比图13.1.1中的网格，在网格中试着画出一般的直角三角形，并利用上述方法画出每条边长的平方所表示的正方形面积。如图13.1.2 13.1.2 如果每一小方格表示1， 那么可以得到: 正方形P的面积=_________ 正方形Q的面积=_________ 正方形R的面积=_________ 我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是_________________. 由此，我们得出的三边长之间存在的关系是___________________. 试着画出两条直角边分别为5cm，12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系是否成立。 探究三： 观察图13.1.4，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形组成，记直角三角形的两条直角边长分别为a、b（b > a），斜边长为c 试着用不同方法写出图中大正方形的面积： 我们可以得到如下等式： 化简可得： 总结：由上述探究，可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边为别为a、b，斜边为c，那么一定有： 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 典型例题 例1.在中，，,.求的长. 解析：根据勾股定理，可得： 所以 练习：1.在中， （1）若，求b （2）若，求b 2.如果一个直角三角形的两条边长分别是3cm和4cm，那么这个三角形的周长是多少厘米？（精确到0.1cm） 例2.如图13.1.5，的斜边比直角边长2cm，另一条直角边BC的长为6cm.求AC的长. 解：由已知，根据勾股定理，可得 解得： 例3.如图13.1.6，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C处设桩，使恰好为直角三角形.通过测量，得到AC的长为160m，BC的长为128cm，问：从点A穿过湖到点B有多远？ 解：在中， 根据勾股定理可得： 答：从点A穿过湖到点B有96m. 注意: （1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边就没有这种关系。 （2）勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系:两直角边的平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等于第三边的平方。 小结 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言：在中，，则 2.勾股定理的推导：网格法，赵爽弦图 板书设计 一、概念 例1 例2 例3 1.勾股定理 2.几何语言 学科网（北京）股份有限公司 $