11.3.1 两数和乘以这两数的差-【初中必刷题】2026-2027学年八年级上册数学同步课件（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦八年级上册“11.3乘法公式”中的平方差公式，通过基础题（如公式识别）导入，逐步过渡到变形应用（如多项式变形）和实际问题（如面积计算），构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如班徽面积问题引导学生用数学眼光观察现实，阴影面积计算培养逻辑推理的数学思维，用符号公式表达规律强化数学语言。分层设计“刷基础”“刷提升”，助力学生提升应用能力，为教师提供丰富教学资源。

数 学 八年级上册 HS 1 2 3 第11章 整式的乘除 4 11.3 乘法公式 1.两数和乘以这两数的差 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 两数和乘以这两数的差（平方差公式） 1.【2026江苏扬州期末】下列各式中，能用平方差公式计算的是( ) A A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 【解析】 选项 分析 结论 A 能用平方差公式 B 不能用平方差公式 C 不能用平方差公式 D ，与 次数不同 不能用平方差公式 故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 关键点拨 口诀：一同一反平方差，一项完全相同，另一项互为相反数. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 2.在运用乘法公式计算 时，下列变形正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 ．故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 3.若，则 的值为____. 【解析】原式，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 4.计算： （1） . 【解】 . （2） . 【解】 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 知识点2 两数和乘以这两数的差（平方差公式）的应用 5.【2026山东青岛期末】某校组织了班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先 设计了一个正方形的班徽图形，准备进一步优化改造，加一些文字，需要将原正 方形的其中一组对边各增加，另一组对边各减少 ，改造以后的图形面积 与原来的图形面积相比( ) B A.不变 B.减少了 C.增加了 D.增加了 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 【解析】设原正方形的边长为，所以原正方形的面积为 .由题意得改造 后的图形是长为，宽为 的长方形，所以改造后的图形面积为 ，所以改造前后的面积差为 ，所以改造以后的图形面积与原来的图 形面积相比减少了 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 6.如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为 的小正方形后所得到 的图形，将阴影部分通过割、拼的方式形成新的图形，给出4种割拼方法，其中能 够验证平方差公式的有( ) D A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 【解析】题图（1）拼接前的面积为 ，拼接后的面积为 ，能验证平方差公式；题图（2）拼接前的面积为 ，拼接后的面积为 ，能验证平方差公式；题图 （3）拼接前的面积为，拼接后的面积为 ，能验 证平方差公式；题图（4）拼接前的面积为 ，拼接后的面积为 ，能验证平方差公式.综上，4种方法都能验证平方差公 式.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 7.【2026安徽安庆期末】如图，两个正方形不重叠且无间隙地拼 接在一起，点，， 在同一直线上，若大正方形与小正方形的 面积之差为10，则图中阴影部分的面积是___. 5 【解析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则， ， ，, ， 则题图中阴影部分的面积是 大正 方形与小正方形的面积之差为10，， ，故答案为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 8.【2025山东德州陵城区期末】若，则 ___. 6 【解析】 ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 9.已知，则 ___． 1 【解析】， ， ，故 答案为1． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 10.若，则 ___． 0 【解析】 , ，， ．故答案为0． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 11.利用乘法公式有时能进行简便计算. 例： . 请参考给出的例题，利用简便方法计算： （1） ； 【解】 . （2） . 【解】 . 关键点拨 （1）把31写成，把29写成 ，然后利用平方差公式计算； （2）把195写成，把205写成 ，然后利用平方差公式计算. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 提升 1.【2026河南郑州期末，中】如图，四边形 是长方形，四 边形是面积为21的正方形，点，分别在， 上，点 ，在上，点，在上，且四边形 是正方形，连结 ，，，，若正方形 的面积为3，则图中阴影部分 的面积和为( ) D A.12 B.11 C.10 D.9 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 【解析】设正方形的边长为，正方形的边长为 ，则阴影部分的面积 和为 正方形的面积为21,即，正方形的面积为3，即， 阴 影部分的面积和为 .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 2.［中］某同学在计算时，把3写成 后，发现可以连续运用 平方差公式计算： . 请借鉴该同学的经验，计算： ( ) D A. B. C.1 D.2 【解析】原式 .故选D． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 3.【2025湖南长沙期末，中】如果一个正整数能表示成两个正整数的平方差，那 么这个正整数就称为“智慧数”，例如： ， 7就是一个“智慧数”； ，8也是一个“智 慧数”，则下列各数不是“智慧数”的是( ) B A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 【解析】 ，故 2 021是“智慧数”，A选项不符合题意；2 022不能表示成两个正整数的平方差， 故2 022不是“智慧数”，B选项符合题意； ，故 2 023是“智慧数”，C选项不符合题意； ，故2 024是“智 慧数”，D选项不符合题意.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 根据题意，把数拆凑成平方差的形式是解本题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 4.【2026四川绵阳期末，中】已知，若 是整数， 则 _______. 1 600 【解析】 , 是整数， ， ，故答案为1 600. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 5.【2025北京海淀区期中，中】在月历中，我们可以发现其中某些数满足一定的规律. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （1）图（2）是2024年8月份的月历，我们用如图（1）所示的“ ”字形框架任意 框住月历中的5个数（如图（2）中的阴影部分），将“ ”字形框架位置B，D上的 数相乘，位置A， 上的数相乘，再相减. 例如：， ，不难发现，结果都等于____. 15 【解】， ，不难发现，结果都是15，故 答案为15. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （2）设“”字形框架中位置C上的数为 ，请利用整式的运算对（1）中的规律加 以验证. 【解】“”字形框架中位置C上的数为，则A，B，D， 四个位置上的数依次为 ，，，，由题意得 . （3）如图（3），在某月历中，用正方形方框框住9个数（阴影部分），如果最小 的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数 ____. 11 【解析】中间位置上的数为，则最小的数为，最大的数为 .由题意得 ，，即，解得或 （舍去）， ，故答案为11. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 6.【2025北京海淀区期中，中】在学习“整式的乘除”这一章时，我们经常利用 图形面积得到关于整式乘法的等式. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （1）如图（1），在边长为 的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余 下的部分按图（1）中的虚线剪开后，拼成如图（2）所示的长方形，根据两个图 形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为_______________________； 【解】由题图（1）得阴影部分面积为 ，由题图（2）得阴影部分面积为 ， 根据面积相等，可得，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 （2）小明用四个如图（3）所示的小长方形 ，拼成如图（4）所示的大正方形. ①根据图（4）的图形面积，可以得到的等式是__________________________； 【解析】四个小长方形的面积为 ，由题图（4）可得四个小长方形的面积为 ，根据面积相等，可得 ，故答案 为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 ②利用①中的等式，解决问题：若, ，求如图（3）所示的小长 方形的周长. 【解】，, ， ，， 小长方形的周长为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 $