四川乐山市2025-2026学年高二下学期教学质量监测数学试题

2024级高二下学期教学质量监测 数 学 （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．复数的共轭复数是 A． B． C． D． 3．已知函数的导函数的图象如图所示，则 A．有3个零点 B．是的极小值点 C．函数在区间上单调递减 D．的最大值是 4．已知，是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，则实数 A．-6 B．-3 C．3 D．6 5．已知是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则 A． B． C． D． 6．已知，，则 A． B． C． D． 7．如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 A．48种 B．72种 C．96种 D．108种 8．已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则 A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知女儿身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程，则 A．与具有正的线性相关关系 B．当父亲身高为时，女儿身高一定为 C．若父亲身高每增加，则女儿身高平均增加 D．若残差越小，说明模型的拟合效果越好 10．已知且，指数函数，对数函数，则 A．若的图象过点，则 B．函数的图象过定点 C．若，则 D．当时，对任意，，都有 11．我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做“优美曲线”的顶点．对于“优美曲线”：，则 A．曲线围成的图形面积为 B．曲线上任意两个顶点间的最大距离为 C．若点在曲线上，则最小值为 D．若直线与曲线有公共点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 13．已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为________． 14．为测量某海岛主峰的海拔高度，勘测船在海平面上的点测得主峰顶点的仰角为，沿北偏东方向航行后到达点，测得的仰角为，且此时主峰位于点的正北方向，则该海岛主峰的海拔高度为________（海平面海拔视为0，结果保留最简根式）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 15．（13分） 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16．（15分） 已知椭圆：（）的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求的面积． 17．（15分） 如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求平面角与平面夹角的余弦值． 18．（17分） 已知函数，． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若在恒成立，求的取值范围； （3）若有三个零点，求的取值范围． 19．（17分） 一场电影观影中，影院内有（）个座位，且每个座位都有人坐，现在观众依次检票进入影院．已知第一位进场的观众不慎将电影票落在了检票处且无法取回，该观众忘记了自己的座位号，他将在个座位中随机选择一个位置坐下．后面进场的观众，若位置未被占据，则将在自己的位置上坐下；若位置被占据，则将在剩余的位置中随机选一个坐下． （1）若，求第3位进场的观众选对位置的概率； （2）若，记为电影院内最终坐错位置的人数，求的数学期望； （3）证明：无论取何值，最后一位进场的观众坐错位置的概率都相等． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二下学期教学质量监测 数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 2．A 3．C 4．A 5．B 6．A 7．B 8．D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．AC 10．BCD 11．ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．6 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 15．（13分） 【答案】（1）设数列的公比为， ，， ． 2分 解得（舍去）或． 4分 因此数列的通项公式为． 7分 （2）由（1）得． 9分 当时，，故是首项，公差为-2的等差数列． 11分 则． 13分 16．（15分） 【答案】（1）∵椭圆：（）的离心率为，焦距为2， ． 2分 ． 4分 ． 5分 ∴椭圆的方程为：． 7分 （2）由（1）可知． 8分 直线的方程为． 9分 由得 设， 则，． 11分 ． 12分 点到直线的距离为． 14分 的面积为． 15分 17．（15分） 【答案】（1）以为原点，分别以射线、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设，由已知得，，，． 1分 由是中点，得． 2分 是中点，故． 3分 由，得，因此． 5分 平面的法向量为． 6分 因为，且平面，因此平面． 7分 （2）设平面的法向量为， 已知，． 8分 由得，令，解得，，即． 11分 因为平面的法向量为． 12分 故． 14分 所以平面角与平面夹角的余弦值为． 15分 解法2：（1）取的中点，连结、，由是的中点可得． 1分 由平面，平面，因此平面． 2分 由是的中点得，又． 3分 所以，而平面，平面，因此平面． 由得，平面平面． 4分 因为平面，所以平面． 5分 （2）以为原点，分别以射线、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 不妨设，由已知得，，，． 6分 由是中点，得；是中点，故． 7分 由，得，因此． 设平面的法向量为， 已知，． 8分 由得，令，解得，，即． 11分 因为平面的法向量为． 12分 故． 14分 所以平面与平面夹角的余弦值为． 15分 18．（17分） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）若，， ． 1分 又． 2分 ． 3分 ∴函数在处的切线方程为：． 5分 （2）， ，． 即证． 7分 令，， ． 令，， ∴当，递增；当，递减． 9分 ． 10分 ． 11分 （3），∴0是的一个零点． 12分 ∴当时，令， 则方程有两个不同的非零解． 13分 可转化与有两个非零交点． 14分 由（2）可知在递减，在递增， ，又． 且当，；，． 16分 当时，的解，不满足非零条件． ． 17分 19．（17分） 【答案】 【解析】（1）设第位观众的本座位为，记“第一位进场的观众选1号位”，“第一位进场的观众选2号位”，“第二位进场的观众选1号位”． 1分 ． 2分 ． 3分 又与互斥，． 4分 （2）解法1：的可能取值为0，2，3，4． 5分 ． 6分 ． 7分 ． 8分 ． 9分 ． 10分 解法2：设“第位进场的观众选错位置”， ． 5分 ． 6分 ． 7分 ． 8分 ， ． 10分 （3）证明：最后一位观众坐错位置，则最后一号位置一定被占据． 解法1： 有0人坐错：则． 11分 有2人坐错：则． 12分 有3人坐错： 则． 13分 以此类推，可发现，，，，…，中的项可视为多项式 中的系数． 14分 构造多项式，记作式． 要求的和，即求式中系数的和． 15分 令式中，则． 16分 ∴无论取何值，最后一位进场的观众坐错位置的概率都相等，均为． 17分 解法2：设为个座位时，最后一位观众坐对的概率． ①当时，观众2选对位置的概率． 11分 ②当时，， 那么，当时，有以下3种情况： ．观众1选座位1，后续观众都选对； 12分 ．观众1选座位，最后一位观众一定坐错； 13分 ．观众1选座位（），此时观众相当于新的观众1，问题转化为个座位后的情况． 14分 ， 16分 ∴由数学归纳法，对任意，． 即最后一位观众坐错的概率恒为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $