河北省文安县第一中学2025-2026学年高一下学期期末数学试卷

**基本信息** 高中数学期末试卷以核心素养为导向，通过梯度化问题设计覆盖函数、几何等模块，强化数学思维与现实问题的关联，体现运算能力与模型意识的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6/70|函数性质、立体几何、概率统计|结合科技数据情境，需抽象数量关系构建模型，考查推理能力与数据意识|

数 学 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．九棱台共有 A．10条棱 B．18条棱 C．27条棱 D．29条棱 2．已知向量， ，且，则 A． B． C． D． 3．若空间中三条不同的直线两两相交，则这三条直线最多可以确定 A．一个平面 B．两个平面 C．三个平面 D．四个平面 4．一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，从中任取2个球，记事件“取出的2个球的颜色相同”，事件“取出的球中有黄球”，则 A．A与B是对立事件 B．A与B是互斥但不对立事件 C．A与B是相等事件 D．A与B不是互斥事件 5．已知球M与球N的半径分别为2，3，且这两个球外切，P，Q分别为球M与球N球面上一点，则P与Q之间距离的最大值为 A．8 B．10 C．5 D．12 6．若，则的虚部为 A． B． C． D． 7．已知某圆柱的侧面积为，设O为该圆柱上底面的中心，A为下底面圆周上一点，若与 底面所成角的正切值为2，则该圆柱的体积为 A． B． C． D． 8．设，现有一组数据2，3，4，4，m，n的平均数为4，则这组数据的方差的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．复数在复平面内对应的点不可能位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知球O为正方体的内切球，，球O与平面，，，分别切于点，，，则 A．球O的表面积为 B．平面平面 C． D．异面直线与所成角的大小为 11．在中， ，，，过点A作的垂线，垂足为H，则 A． B． C． D．内切圆的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．样本数据4，6，9，6，7，6的众数与极差的和为            ． 13．若z为方程的虚数根，则            ． 14．正三棱柱的棱长均为2，M，N分别是棱，的中点，过点A，M，N的平面分别交直线，于点 D，E，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为            ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （13分） 如图，几何体为正四棱柱，E为的中点，F为上一点，且平面 ． （1）证明：平面． （2）设正四棱柱、三棱锥的体积分别为，，求的值． 16．（15分） 为丰富校园文化生活，某学校随机抽取了m名学生，统计他们每周校园图书的借阅时长（单位：分钟），将所得数据分成，，，，五组，并按上述分组方式绘制如图所示的频率分布直方图，且第二组的频数为50． （1）求 a，m的值； （2）估计该校学生每周校园图书借阅时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）按比例采用分层随机抽样的方法从第一组和第五组学生中选取5人，再从这5人中随机选取2人进行问卷调查，求这2人来自不同组的概率． 17．（15分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，且，求的周长． 18．（17分） 如图，在平面直角坐标系中，点．初始时刻某质点位于原点，每经过1秒，该质点仅向右或向上移动1个单位长度，且向右移动1个单位长度的概率为，向上移动1个单位长度的概率为．该质点的移动选择相互独立，设第秒末该质点位于点． （1）求的概率； （2）求的概率； （3）求的概率． 19．（17分） 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ，且 ，． （1）当时，证明：平面平面． （2）当时，求点B到平面的距离． （3）设直线l过点P且与平行，当二面角的正弦值取得最大值时，求． 学科网（北京）股份有限公司 $