第01讲 数列的基本知识与概念（专项训练）（全国通用） 2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦数列通项与性质，构建“基础方法-创新应用-真题实战”三阶训练体系，系统提炼周期判定、单调分析及累加累乘构造等通法，强化推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模拟·基础演练|31题（6题型）|周期/单调性判定、累加/累乘/构造求通项、an与Sn互化|从概念（周期/单调性）到方法（三类递推模型），形成“性质-递推-通项”逻辑链| |重难·创新演练|9题（新定义/情景）|数阵解读、等积数列转化、最优值模型构建|融合函数思想与分类讨论，实现方法向复杂情景迁移| |真题·实战演练|3题（高考真题）|退位求通项、实际情境建模|紧扣高频考点，强化式子变形与逻辑推理，对接高考命题|

第01讲 数列的基本知识与概念 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 数列的周期性 2 题型02 数列的单调性 2 题型03 递推公式求通项公式（累加法） 3 题型04 递推公式求通项公式（累乘法） 3 题型05 递推公式求通项公式（构造法） 4 题型06 利用an与Sn的关系求通项公式 4 重难·创新演练 5 真题·实战演练 7 模拟·基础演练 考查重点：、本模块围绕数列通项与性质展开，重点研究数列周期、单调性判定方法；熟练运用累加、累乘、构造三类递推模型求通项，掌握an与Sn互化通法；侧重式子变形、等价转化、分类讨论，综合考查代数运算与逻辑推理能力。 题型01 数列的周期性 1．已知数列满足，，则数列的前2026项和为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 2．设数列满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 3．已知数列满足，，则数列的前7项和为__________. 4．若数列 满足 ，则 _____. 5．已知数列满足，且对于任意的，都有，则除以5的余数为________． 题型02 数列的单调性 6．已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．在等比数列 中，命题 ： 数列 的首项 且公比 ，命题 ： 数列 是递增数列. 则命题 是命题 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（多选）已知等比数列的公比，则（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 9．已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列为单调递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型03 递推公式求通项公式（累加法） 11．已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 12．已知数列满足，，则的个位数字为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 13．若，且，则（    ） A．5 B． C． D． 14．将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字不是“拐弯数”的是（    ） A．37 B．58 C．67 D．79 15．已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 题型04 递推公式求通项公式（累乘法） 16．已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 17．已知，，求数列的通项． 18．已知数列中，，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D． 19．数列中，满足，，则______． 20．已知数列中，，则______． 题型05 递推公式求通项公式（构造法） 21．已知数列满足，则的值为___________． 22．在数列中，，则通项公式（    ） A． B． C． D． 23．已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 24．已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 25．已知数列满足，，则_________ 题型06 利用an与Sn的关系求通项公式 26．记为数列的前n项和，已知，，则______． 27．（多选）已知数列的前项和为，且满足，，则（     ） A． B． C． D． 28．已知数列中，，对任意正整数，均有，则的值为_____. 29．已知正项数列，其前项和为，且( )．则数列的通项公式为 ______． 30．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且.求的通项公式； 31．已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； 重难·创新演练 设题创新:依托数阵、等积数列、最优值等全新定义与生活情景命题，突破常规通项套路，融合数列单调性、恒成立求参、递推累加、an​与Sn​转化，侧重考查材料解读、模型转化、分类讨论与函数结合的综合推理能力。 1．（2026·贵州铜仁·二模）已知数列的前项和，若，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．【新角度】（2025·辽宁大连·模拟预测）下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列. 2 3 4 5 6 7 ⋯ 3 5 7 9 11 13 ⋯ 4 7 10 13 16 19 ⋯ 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 ⋯ 7 13 19 25 31 37 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 表中对角线上的一列数构成数列，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西太原·一模）已知为数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 4．【新考法】（2026·江苏南通·三模）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．【新定义】（2026·广西百色·二模）对于数列，定义为数列的“最优值”，现已知数列的“最优值”，记数列的前项和为，则（   ） A．2027 B． C．2028 D． 6．【新定义】（2026·湖北孝感·一模）（多选）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，，则（     ） A． B． C． D． 7．【新考法】（2026·辽宁铁岭·一模）在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是________. 8．（2026·四川乐山·二模）已知数列的前项和为，且，则_________. 9．【新情景】（2026·湖北武汉·三模）一辆快递车从地往地运送快递，沿途（包括，）共有站.从地出发时，装上发往后面站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列. (1)求，，并写出与的递推关系式； (2)求数列的通项公式，并求出的最大值. 真题·实战演练 高频考点：数列周期性、单调性判断，an与Sn退位求通项，累加累乘构造递推求通项；结合充分必要条件、实际情境命题，选填基础判断、解答求通项为主，式子变形是高频考查方向。 1．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为___________． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 数列的基本知识与概念 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 数列的周期性 2 题型02 数列的单调性 3 题型03 递推公式求通项公式（累加法） 5 题型04 递推公式求通项公式（累乘法） 8 题型05 递推公式求通项公式（构造法） 10 题型06 利用an与Sn的关系求通项公式 11 重难·创新演练 14 真题·实战演练 19 模拟·基础演练 考查重点：、本模块围绕数列通项与性质展开，重点研究数列周期、单调性判定方法；熟练运用累加、累乘、构造三类递推模型求通项，掌握an与Sn互化通法；侧重式子变形、等价转化、分类讨论，综合考查代数运算与逻辑推理能力。 题型01 数列的周期性 1．已知数列满足，，则数列的前2026项和为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】A 【详解】，可以发现数列是周期为3的周期数列， 可以发现数列是周期为3的周期数列， 因为 所以数列的前2026项和为. 2．设数列满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为，且， 所以 ，， 所以数列的周期为2，故 故选：A 3．已知数列满足，，则数列的前7项和为__________. 【答案】5 【详解】因为，，所以，，，所以数列的周期为3， 则数列的前7项和. 4．若数列 满足 ，则 _____. 【答案】 【详解】由得，， 所以数列周期为3，故. 5．已知数列满足，且对于任意的，都有，则除以5的余数为________． 【答案】2 【详解】由题目的条件可以知道,即， 所以有,且除以5的余数为2， ;除以5的余数为3， ;除以5的余数为1， ;除以5的余数为2， ;除以5的余数为3， 显然,余数呈现2,3,1的周期循环，所以，即除以5的余数与的相同为2. 故答案为：2 题型02 数列的单调性 6．已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】由题意得，，又因为， 所以， 解得，又因为，所以． 7．在等比数列 中，命题 ： 数列 的首项 且公比 ，命题 ： 数列 是递增数列. 则命题 是命题 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若命题成立，即，公比. 由等比数列通项， 得， 因为，，所以，即， 所以数列是递增数列，因此能推出，充分性成立； 若数列是递增数列，不一定满足命题. 举反例：取，公比，数列各项为，满足， 确实是递增数列，但不满足且，因此命题不能推出命题，必要性不成立. 综上，命题 是命题 的充分不必要条件. 8．（多选）已知等比数列的公比，则（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】BCD 【详解】由等比数列的公比，得， 对于A，，当时，，数列是递减数列，A错误； 对于B，，，数列是递增数列，B正确； 对于C，，，数列是递增数列，C正确； 对于D，，，数列是递增数列，D正确. 9．已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列为单调递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若，满足，此时，，不满足数列为单调递增数列，充分性不成立； 若，此时，满足数列为单调递增数列，但不成立，必要性不成立； 所以“”是“数列为单调递增数列”的既不充分也不必要条件. 10．已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为数列为递增数列， ， 所以对恒成立， 化简整理得，对恒成立， 由二次函数性质知当时，有最小值，即， 所以，故实数的取值范围是. 题型03 递推公式求通项公式（累加法） 11．已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 【答案】 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 12．已知数列满足，，则的个位数字为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】由题设，则， 令，得，则， ， 显然也满足上式， ，则，显然个位数字为2. 13．若，且，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 则 ， 由，，可得， 又，则， 所以. 14．将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字不是“拐弯数”的是（    ） A．37 B．58 C．67 D．79 【答案】B 【详解】不妨设第n（）个“拐弯数”为， 不难发现，，，，…， 所以（）， 利用累加法得， 因而，当时，也符合上式， 所以（）． 令可得，，即， 解得或（舍去），故是“拐弯数”； 令可得，，即， 解得（舍去）或（舍去），故不是“拐弯数”； 令可得，，即， 解得或（舍去），故是“拐弯数”； 令可得，，即， 解得或（舍去），故是“拐弯数”. 15．已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 题型04 递推公式求通项公式（累乘法） 16．已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 当时， ， 显然，对于时也成立， 所以， 则的前6项和为. 故选：C. 17．已知，，求数列的通项． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故， 18．已知数列中，，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D． 【答案】D 【详解】由，，得， 有，，，，， 所以，则， 故，，故，，是等比数列， ，故A、B、C正确，D错误. 故选：D. 19．数列中，满足，，则______． 【答案】/ 【详解】因为，所以. 所以，，，…，（）. 各式相乘，可得：， 显然满足上式，则， 所以数列的前项和为， 所以. 故答案为：. 20．已知数列中，，则______． 【答案】1024 【详解】由题意得． 故， 且经检验满足该通项公式， 故． 故答案为：1024. 题型05 递推公式求通项公式（构造法） 21．已知数列满足，则的值为___________． 【答案】/ 【详解】由题意得，而， 故是以1为首项，5为公比的等比数列， 故；故；可得． 22．在数列中，，则通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以，所以. 23．已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 【答案】 【详解】对两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列， 故，得． 24．已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 令，得． 25．已知数列满足，，则_________ 【答案】 【详解】由题意可得， 则，即，易知， 所以数列是以为首项，以为公比的等差数列， 则，故. 故答案为：. 题型06 利用an与Sn的关系求通项公式 26．记为数列的前n项和，已知，，则______． 【答案】 【详解】当时，，将其代入，可得， 即，又，则数列是首项为、公比为的等比数列， 从而，解得. 27．（多选）已知数列的前项和为，且满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意知 ，则当时， ， 两式相减可得 ，整理得，故正确； 当时， ，因为 ，所以，故错误； ，故错误； ， ，，故正确. 28．已知数列中，，对任意正整数，均有，则的值为_____. 【答案】 【详解】设数列的前项和为，由可得，， 当时，有，两式相减，， 化简得， 则当时， 解得，当时，，符合；当时，由求得，也符合. 所以. 29．已知正项数列，其前项和为，且( )．则数列的通项公式为 ______． 【答案】 【详解】当时，，因此， 则，则， 同时，当时，， 因此， 所以， 而因为，所以， 即， 所以是首项，公差的等差数列， 因此， 当时，满足条件， 因此数列的通项公式为. 30．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且.求的通项公式； 【答案】 【详解】当时，，解得或（舍）； 当时，由，得， 所以， 即，整理得， 又的各项均为正数，所以， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以. 31．已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1)； 【分析】 【详解】（1）由题可知，，所以有， 即 因为数列是正项数列，所以. 即数列是以1为公差的等差数列 令，有 ，所以解得，（负舍）. 所以. 重难·创新演练 设题创新:依托数阵、等积数列、最优值等全新定义与生活情景命题，突破常规通项套路，融合数列单调性、恒成立求参、递推累加、an​与Sn​转化，侧重考查材料解读、模型转化、分类讨论与函数结合的综合推理能力。 1．（2026·贵州铜仁·二模）已知数列的前项和，若，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为①， 所以当时，，解得， 当时，②， 由①-②可得，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 故由，可得，其中③． 令，则， 由二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 当时，，故③式最大值为120，则， 则实数的取值范围为. 2．【新角度】（2025·辽宁大连·模拟预测）下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列. 2 3 4 5 6 7 ⋯ 3 5 7 9 11 13 ⋯ 4 7 10 13 16 19 ⋯ 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 ⋯ 7 13 19 25 31 37 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 表中对角线上的一列数构成数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，数列的递推公式为， 所以 当时， 累加得， 所以，即. 满足上式，所以. 故. 3．（2026·山西太原·一模）已知为数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，因为，所以. 当时，由，得， 两式相减可得，即. 因为，所以，又，所以. 因此数列是公差为0，首项为的等差数列， 可得，所以. 4．【新考法】（2026·江苏南通·三模）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为时，，而要满足， 故要单调递减，所以，解得， 时，，要满足，则， 从而， 还需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 5．【新定义】（2026·广西百色·二模）对于数列，定义为数列的“最优值”，现已知数列的“最优值”，记数列的前项和为，则（   ） A．2027 B． C．2028 D． 【答案】C 【详解】由已知，所以， 所以， 时，， 两式相减得， 所以，也适合，所以是等差数列， 所以 所以. 6．【新定义】（2026·湖北孝感·一模）（多选）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项A：由题可知，对任意的，， 则对任意的，， 则，所以，故A正确； 对于选项B：因为，，即， 由选项A可知：，所以，故B正确； 对于选项C：因为， 所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确. 7．【新考法】（2026·辽宁铁岭·一模）在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】对任意，成立，且， 令，则，即当时，， 当时， ，而满足上式，因此， 由为单调递增数列，得对成立， 则，化简得， 于是，而当时，，则，解得， 所以的取值范围是. 8．（2026·四川乐山·二模）已知数列的前项和为，且，则_________. 【答案】 【详解】根据数列前项和的性质，对任意， 有，代入得： ，因为，故， 由可得：， 若存在使得，则， 依此类推可得，与矛盾， 故对任意都有， 等式两边同除以，整理可得： ，因此是以首项为，公差为的等差数列， 由等差数列通项公式可得：， 因此. 9．【新情景】（2026·湖北武汉·三模）一辆快递车从地往地运送快递，沿途（包括，）共有站.从地出发时，装上发往后面站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列. (1)求，，并写出与的递推关系式； (2)求数列的通项公式，并求出的最大值. 【答案】(1)，，， (2)，. 【分析】 【详解】（1）由题意可知，. 在第个快递站卸下件快递，同时装上件快递， 则，所以，. （2）由（1）知，. 可得 ，， 也符合上式，所以. 因为，故当时，的最大值为. 真题·实战演练 高频考点：数列周期性、单调性判断，an与Sn退位求通项，累加累乘构造递推求通项；结合充分必要条件、实际情境命题，选填基础判断、解答求通项为主，式子变形是高频考查方向。 1．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为___________． 【答案】 【详解】因为，则， 可知数列为等差数列， 则，解得， 所以c的取值范围为. 故答案为：. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $