数列 测试题（一）-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 覆盖数列核心概念与综合应用，分层考查数学抽象、逻辑推理与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-4|定义辨析（等和数列）、基本量运算|从数列定义出发，构建等差/等比核心公式体系| |性质应用|单选5-8、多选9-11|性质综合（前n项和性质）、充要条件判断、新定义（二进制）|结合函数思想，深化数列性质的逻辑推导与应用| |综合探究|填空12-14、解答15-19|递推数列、不等式恒成立、几何与数列结合、新定义证明|融合数学建模，实现从知识应用到创新探究的能力提升|

一轮复习课数列测试题（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在数列中，，则（    ） A．6072 B．6073 C．6074 D．6075 【答案】B 【难度】0.88 【详解】由题可知数列为公差为3的等差数列， 所以， 所以 2．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为等和数列的公和．已知等和数列的前项和为，若，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【难度】0.75 【分析】先根据等和数列的概念，探索等和数列的性质，再根据已知条件，求等和数列的通项公式即可. 【详解】因为数列为等和数列，所以， 所以，. 所以.所以. 故选：D 3．若等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.7 【详解】利用等差数列前项和公式， 代入得：， 代入已知条件：， 化简得：， 展开并整理：， 解得，即：， 因此：， 故. 4．已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.68 【分析】首先写出数列的通项公式，然后根据指数函数的单调性确定充分性，再根据通项公式及单调性确定必要性不成立. 【详解】由题意可得， 且，则，且单调递增， 则数列为递增数列，充分性成立； 若数列为递增数列，， 则或，必要性不成立； “且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件. 5．公差不为0的等差数列的前n项和为，若 且成等比数列，则（    ） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】A 【难度】0.65 【分析】由等差数列前项的性质求得，再根据等差数列通项公式的变形表示出，由等比数列的性质求得，从而可得数列的项． 【详解】设的公差为， 由得，所以，， 又成等比数列，所以，所以， 因为，所以，所以． 6．正数数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（    ） A．180 B．112 C．16 D．48 【答案】B 【难度】0.62 【分析】利用等差等比数列通项，建立方程组可求解，即可作出判断． 【详解】设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，，80，，． 于是得，解方程组，得或， 所以这个正数数列是20，40，80，96，112或180，120，80，16，（舍）， 所以这个数列的第五项为112. 7．设数列满足，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2026项和为（） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【分析】根据题意，由递推关系可得数列的通项公式，然后结合的定义得到数列的通项公式，进而求和即可. 【详解】由，得， 故数列是公差为2的等差数列，首项为， 所以， 则 ，，显然满足上式，则， 故，故， 当时，，故， 所以数列的前2026项和为，故A正确. 故选：A 8．已知等差数列的公差为.若，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】B 【难度】0.4 【分析】根据等差数列性质以及三角恒等变换可得，再将所求和式化简为，接着推导，利用数列的周期性求得，即可求得结果. 【详解】因为等差数列的公差为，所以； 所以 ， 即， 故 , 由上可得 ，则 故 故 . 所以. 故选：B 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知数列的前项和为，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.6 【分析】利用等比数列的定义可判断A选项；求出数列的通项公式，代值计算可得的值，可判断B选项；利用作差法可判断C选项；当时，放缩得出，结合等比数列的求和公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为数列的前项和为，且，， 则，所以， 且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，A对； 对于B选项，由A选项可知，故， 所以，B错； 对于C选项， 对任意的恒成立，所以，C对； 对于D选项，当时，， 所以 ，D对. 10．是等差数列的前项和，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．当时，取最大值 C． D． 【答案】AD 【难度】0.4 【分析】对于A，根据等差数列的前项和公式和性质求解判断即可；对于B，设等差数列的公差为，求出，利用二次函数的性质进行判断；对于CD，利用B选项求出的进行判断即可. 【详解】对于A，因为，所以， 根据等差数列的性质，若，则， 所以，即，故，A正确； 对于B，设等差数列的公差为，由A选项可知，， 则，所以，所以， 所以， 当时，无最大值，故B错误； 对于C，， 又，所以，C错误； 对于D，， ，所以，故D正确； 故选：AD 11．二进制是一种使用0和1两个数码的数制，是现代电子计算机技术的基础.对于整数可理解为逢二进一，比如：在十进制中的自然数5在二进制中就表示为表示为.自然数可表示为二进制表达式，则，其中当时，或，记为整数的二进制表达式中0的个数，则以下说法中正确的是（    ） A． B．对任意 C．存在 D． 【答案】ABD 【难度】0.15 【分析】写出35的二进制即可判断A选项，理解二进制的进位法则即可判断B，C选项，计算出值，代入计算即可判断D选项. 【详解】对于选项A，，，，A选项正确. 对于选项B，的二进制是的二进制左移一位（末尾加0），. 的二进制是的二进制末尾加1，，B选项正确. 对于选项C，二进制加法中，进位会减少1的个数，，故C选项错误. 对于选项D，，. ，D选项正确. 故选：ABD 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式恒成立，则实数的最小值______. 【答案】/ 【难度】0.65 【分析】利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质求得，用裂项相消法求得的和，进而求出最小值 【详解】是等差数列，则，， 所以， 所以， 所以， 即对任意恒成立， 所以，即的最小值是． 13．已知数列的前项和为，且，则_________. 【答案】 【难度】0.65 【分析】通过已知条件推导出为等差数列，进而求出. 【详解】根据数列前项和的性质，对任意， 有，代入得： ，因为，故， 由可得：， 若存在使得，则， 依此类推可得，与矛盾，故对任意都有， 等式两边同除以，整理可得： ，因此是以首项为，公差为的等差数列， 由等差数列通项公式可得：， 因此. 14．平面直角坐标系中，曲线上有一系列点，，…．对，以为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切．若，且，记数列的前项的和为，则使得恒成立的最小正整数为______． 【答案】507 【难度】0.42 【分析】曲线上的点 满足 ，根据圆与外切，可得等式，两式联立可得，求得数列的通项，从而可得数列的通项，利用裂项相消法可得，最后由数列单调性分析和恒成立条件即可求出最小正整数 . 【详解】根据题意，曲线 上的点 满足 ； 因为圆 与轴相切，圆心纵坐标为，故半径 ； 圆与的圆心距， 半径之和为 ， 因为圆与外切， 所以，化简得：， 将 代入上式可得： 又因为，所以，即， 所以数列为等差数列，首项： ，公差 ； 通项： 所以 所以， ，随 增大递增，极限为 ， 即 对所有 成立； 恒成立条件： 恒成立，需 ，即； 故最小正整数 结论：满足条件的最小正整数为 507. 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，． (2) 【难度】0.67 【分析】（1）根据等量关系建立方程，求解出和，进而得到两个数列的通项公式；（2）使用错位相减法求解即可. 【详解】（1）依题意可知，，解得， 所以，． （2）由（1）可知，，则 ， ， 两式作差得 ， 所以． 16．（15分）设为正项数列的前项和，，当时，． (1)求的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【分析】（1）找出，的关系，作差即可； （2）用裂项相消法得到的表达式即可. 【详解】（1）正项数列的前项和为，，当时，， 当时，，解得， 时，，解得， 由时，由，可得， 两式相减可得，化为， 由，可得（对也成立）， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列，则； （2）∵，∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故． 17．（15分）已知数列的前项和为，，设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列的前项和为，若数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.59 【分析】（1）根据之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可. （2）根据（1）的结论，结合错位相减法进行求解即可；运用裂项相消法进行运算证明即可. 【详解】（1）由，得， ，得， 故，所以数列是等比数列； （2）由， 由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 因为， 所以， ， ，得， ； 故， 则. 18．（17分）已知函数，，记的零点为. (1)求；(2)求数列中的最小项； (3)证明： 【答案】(1)1 (2)最小项为 (3)证明见解析 【难度】0.4 【分析】（1）对求导，确定单调性即可求解； （2）由通过作差得到，构造函数利用其单调性，确定数列单调性即可求解； （3）令，求导确定单调性，得到，化简计算即可证. 【详解】（1）当时，，定义域为， 在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以有唯一零点1， 即； （2）由的零点为， 得， 两式相减得：， 即， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以由，得到， 所以，所以数列是递增数列， 所以数列中的最小项是； （3）令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，即， 因为，所以, 所以， 所以， 所以， 所以. 19．（17分）对于一个项递增正整数列，如果对任意不全为的，均有，则称是一个“数列”，如果一个数列的每一项都不大于常数，则称该数列为“数列”． (1)求“数列”的个数； (2)若数列是“数列”，求的最小值； (3)若常数，证明：对任意的“数列”，（2）中的最小值无法取到． 【答案】(1)6个 (2) (3)证明见解析 【难度】0.15 【分析】（1）3数列对任意，有．对于三元递增正整数列，这等价于：，利用枚举法逐项判断即可； （2）条件等价于数列的所有子集和互不相同．设，进而分析可得，可求得的最小值； （3）法1：若上一问取等，则对于不全为0的（下不赘述），，即非空子集和必然覆盖1到的每一项．进而通过证明引理：若递增正整数列是数列，且满足对某个，.若，则：．可证结论.法2：利用数学归纳法可证得结论. 【详解】（1）数列是指项数，每一项的递增正整数列， 且满足：对任意，有．对于三元递增正整数列， 这等价于：. 从1，2，3，4，5中任选三个数构成递增序列，共有种可能．逐一检验： ，不满足．：满足． ：满足．，不满足． ：满足．，不满足． ：满足．，不满足． ：满足．：满足． 因此，满足条件的数列共有6个． （2）条件等价于数列的所有子集和互不相同．设． 考虑前项的所有子集和，它们均在0到之间，且互不相同，故共有个不同的子集和． 因此．特别地，. 另一方面，取，则数列递增，且容易验证所有子集和互不相同（事实上，子集和恰好覆盖0到的所有整数）， 此时和．因此，和的最小值为． （3）若上一问取等，则对于不全为0的（下不赘述） 即非空子集和必然覆盖1到的每一项． 法1： 引理：若递增正整数列是数列，且满足对某个， . 若，则． 引理证明：由于数列是数列，故， , 由于， 故．又由于，故， 即．引理得证． 由于，又，故．由引理得． 反复使用引理得对任意．取知，与数列递增矛盾． 法2： 我们将证明该数列必为． 首先，最小的正子集和即为，故．其次，考虑第二小的正子集和． 由于是除外最小的数，而子集和必须包含2，故． 现在用归纳法．假设对于某个， 假设已经证明， 并且它们的所有子集和恰好为. 我们要证明． 若，则本身已出现在前项的子集和集合中（因为该集合已包含1到的所有数）， 这与所有子集和互异矛盾． 若，则不含及后继项的子集和最大为前项的和，即， 而含的子集和最小为，因此无法表示为任何子集的和， 与子集和必须包含1到的每一项矛盾． 因此必有．归纳完成，故对所有，有．特别地，． 但已知数列是“-数列”，即每一项不超过，而， 于是，与矛盾． 因此假设不成立，即不存在这样的“-数列”，从而（2）中的最小值无法取到． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一轮复习课数列测试题（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在数列中，，则（    ） A．6072 B．6073 C．6074 D．6075 2．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为等和数列的公和．已知等和数列的前项和为，若，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 3．若等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D．2 4．已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．公差不为0的等差数列的前n项和为，若 且成等比数列，则（    ） A．22 B．20 C．18 D．16 6．正数数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（    ） A．180 B．112 C．16 D．48 7．设数列满足，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2026项和为（） A． B． C． D． 8．已知等差数列的公差为.若，则（    ） A． B．16 C． D．8 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知数列的前项和为，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C． D． 10．是等差数列的前项和，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．当时，取最大值 C． D． 11．二进制是一种使用0和1两个数码的数制，是现代电子计算机技术的基础.对于整数可理解为逢二进一，比如：在十进制中的自然数5在二进制中就表示为表示为.自然数可表示为二进制表达式，则，其中当时，或，记为整数的二进制表达式中0的个数，则以下说法中正确的是（    ） A． B．对任意 C．存在 D． 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式恒成立，则实数的最小值______. 13．已知数列的前项和为，且，则_________. 14．平面直角坐标系中，曲线上有一系列点，，…．对，以为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切．若，且，记数列的前项的和为，则使得恒成立的最小正整数为______． 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 16．（15分）设为正项数列的前项和，，当时，． (1)求的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，证明：． 17．（15分）已知数列的前项和为，，设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列的前项和为，若数列的前项和为，求证：. 18．（17分）已知函数，，记的零点为. (1)求； (2)求数列中的最小项； (3)证明： 19．（17分）对于一个项递增正整数列，如果对任意不全为的，均有，则称是一个“数列”，如果一个数列的每一项都不大于常数，则称该数列为“数列”． (1)求“数列”的个数； (2)若数列是“数列”，求的最小值； (3)若常数，证明：对任意的“数列”，（2）中的最小值无法取到． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $