第二章 实数的初步认识 单元测试 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 第二章实数初步认识单元卷，全面覆盖平方根、立方根、数轴表示等核心知识点，梯度设计合理，适配单元复习，注重运算能力与几何直观培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|平方根、立方根、近似数|结合数轴考查实数表示（如第5题）| |填空题|6|平方根性质、比较大小|融入数学文化（如第15题华罗庚猜数）| |解答题|8|新定义、实际应用|创新设计“完全数组”（第23题）与长方形空地问题（第24题），体现应用意识|

第二章实数的初步认识单元测试卷 一、单选题 1．计算8的立方根与的平方根之和是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题需先分别求出8的立方根和的平方根，再分情况计算二者的和，即可得到结果，解题关键是注意的平方根是9的平方根，不是81的平方根. 【详解】解：∵， ∴8的立方根为， 又∵，且， ∴的平方根为， 当的平方根取时，； 当的平方根取时，， 因此和为或． 2．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出a的值，进而求出x的值，再根据立方根的定义求出y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； ∵实数的立方根是， ∴， ∴． 3．下列命题中，是真命题的为（     ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．如果，那么 D．若，则 【答案】D 【分析】根据对顶角定义、平行线性质、乘方性质和不等式的基本性质，逐一判断各命题的真假． 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不是对顶角，故A是假命题； B．只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，选项未说明两直线平行，故B是假命题； C．若，可得或，故C是假命题； D．∵， ∴， ∴当时，，故D是真命题． 4．已知，则实数的值应在（     ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】先将化简为最简二次根式，再通过比较被开方数的大小估算的取值范围，即可得到结果． 【详解】∵ ， 又∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ 实数的值在和之间． 5．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再结合顶点在数轴上，且表示的数为，计算即可得出结果． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∴， ∵顶点在数轴上，且表示的数为， ∴点表示的数为． 6．如图，若数轴上的点，，，表示数，，，，则表示数的点应在（     ）． A．，之间 B．，之间 C．，之间 D．，之间 【答案】C 【分析】先求出的取值范围，再进一步求出的取值范围即可求解． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴表示数的点应在，之间． 7．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 8．下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 【答案】A 【分析】将科学记数法或带“万”的近似数，还原为数后再判断最后一位所在数位得到精确度，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：对于A：，最后一位有效数字在百位，精确到百位，正确； 对于B：精确到十分位时，看百分位数字为，四舍五入得，错误； 对于C：万，最后一位有效数字在百位，万精确到百位，错误； 对于D：精确到个位，四舍五入的近似数为，错误． 9．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 10．如图，大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面积为2，则正方形的边长可能是（     ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义，求出大小正方形的边长，从而得出正方形的边长取值范围，再用估算无理数大小的方法求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，中正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据题意，得， 故， ， ， ， 即， ∴选项中正方形边长的可能值为． 二、填空题 11．一个正数x的平方根是与，则的立方根为______． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出的值，再计算的值，进而求出的立方根． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴的立方根为． 12．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【分析】由数轴得被墨迹覆盖的数，再估算出各无理数的取值范围即可求解． 【详解】解：由数轴得，被墨迹覆盖的数， ∵，，，， ∴能被墨迹覆盖的数是． 13．若是方程组的解，则的平方根为________． 【答案】 【分析】将代入方程组中，得到关于与的方程组，解出方程组，然后将与的值代入，计算即得到答案． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴把代入方程组，可得：， 解得：， ∴， 的平方根为， ∴的平方根为． 14．比较大小：________．（填写“”或“”） 【答案】 【分析】利用作差法进行大小比较即可． 【详解】， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①∵，，又∵， ∴，∴能确定的立方根是个两位数． ②的个位数是，又∵，∴能确定的立方根的个位数是． ③如果划去后面的三位319得到数，而，则，可得，由此能确定的立方根的十位数是，因此的立方根是．按这种方法求立方根，请求出的立方根是_______． 【答案】 【分析】先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【详解】①∵，， 又∵， ∴，∴能确定的立方根是个两位数． ②的个位数是，又∵，∴能确定的立方根的个位数是． ③如果划去后面的三位得到数，而，则，可得，由此能确定的立方根的十位数是，因此的立方根是． 16．关于x的方程的解为正实数，则k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先解关于的一元一次方程，得到的表达式，再根据方程的解为正实数得到，列出不等式求解即可. 【详解】解：， 移项可得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： ∵方程的解为正实数， ∴， ∴， 解得. 三、解答题 17．已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据算术平方根的定义和立方根定义列方程求解即可； （2）将a、b代入中求值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， 解得， 的立方根是2， ，即， 解得； （2）解：由（1）知，， ， 的平方根是． 18．已知、是a的两个平方根，且是的一组解． (1)求a的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的定义和二元一次方程的解的定义计算； （2）根据算术平方根的定义计算． 【详解】（1）解：设的平方根为和， 则， 解得， ∴； （2）解：， ∴的算术平方根为． 19．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先联立并求解，可得两个二元一次方程的公共解为，然后代入并求解，即可确定，的值； （2）将，代入并求解，然后根据平方根的定义和性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：与的解相同， 可联立得， 解得两个二元一次方程的公共解为， 将代入， 可得，解得， ，． （2）将，代入，得， 的平方根为， 的平方根为． 20．已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 当时，． ∴． （2）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 由题意可得，． 解得． ∵， ∴． 21．（1）比较和0.6的大小，并说明理由． （2）若，用<号连接、、、四个数的大小，不用说明理由． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了二次根式、无理数的大小比较、平方根、立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据作差法进行解题即可； （2）结合作差法和作商法解题即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，即， ，即， ∵， ∴的立方根一定大于的算术平方根，即； 综上，． 22．将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 23．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完全数组”．这些算术平方根称为“完全子集”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数是“完全数组”，而，，称为“完全子集”． (1)，，这三个数是“完全数组”吗？请说明理由． (2)若，，这三个数是“完全数组”，且“完全子集”中有一个数为，求的值． 【答案】(1)解：是，理由如下： ， ， ， ∵其结果、、都为整数， ，，这三个数是“完全数组” (2)的值为或 【分析】（1）根据题中所给新定义进行求解即可； （2）根据题意可分当和，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵“完全子集”中有一个数为， ∴当， 解得， 当， 解得， 经检验，或时均符合题意， 综上，的值为或． 24．按照国际标准，A系列纸为长宽之比等于的长方形．某中学有一块面积为平方米长方形空地，它的长宽比恰好与A系列纸相同，为美化校园环境，学校计划在该空地正中间沿着边的方向修建面积为50平方米的花圃草坪，四周留至少1米宽的走道． (1)求学校这块空地的长与宽． (2)如图1，若修建的花圃草坪区域为正方形，学校的计划能否实现？试通过计算说明． (3)如图2，学校为了实现计划，改为修建长方形花圃草坪，当花圃草坪区域的长边与短边之比最小时，这块空地左右走道的宽是______米（直接写出答案）． 【答案】(1)8米，米 (2)不能实现，理由见解析 (3) 【分析】（1）设空地的宽为x米，则长为米，根据面积相等列出方程，求出解； （2）设正方形的边长为a米，根据面积相等求出正方形的边长为米，再根据花圃的边长超过了空地宽方向上允许的最大长度，无法满足走道宽度的要求，即可得出答案； （3）设左右走道的宽为a米，上下走道的宽为b米，其中，根据面积相等可得，再根据长与宽的比最小，即最大，然后令可得答案． 【详解】（1）解：设空地的宽为x米，则长为米，根据题意，得 ， 则， 解得，（负值舍去） 所以宽为8米，长为米； （2）解：不能实现，理由如下： 设正方形的边长为a米，根据题意，得 ， 解得（米）， 因为空地的宽为8米，要在宽方向上留出至少1米宽的走道， 则花圃的边长为（米）， 由，且， 所以， 花圃的边长超过了空地宽方向上允许的最大长度，无法满足走道宽度的要求， 所以学校计划不能实现； （3）解：设左右走道的宽为a米，上下走道的宽为b米，其中，根据题意，得 ， 可得． ∵长与宽的比最小，即最大， ∴当时，， 解得． 所以左右的走道的宽为米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第二章实数的初步认识单元测试卷 一、单选题 1.计算8的立方根与8T 的平方根之和是() A.5 B.11 C.5或-1 D.11或-7 2.已知一个正数x的两个平方根分别是a+3和2a-12,实数y的立方根是-2，则x+y的 值为() A.11 B.16 C.28 D.44 3.下列命题中，是真命题的为() A.相等的角是对顶角 B.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C.如果a2=b2,那么a=b D.若a>b,则a(c+小>b(e2+） 4.已知m=54-V6 则实数m的值应在(). A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 5.如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为-1，若点E在数轴上， (点E在点A的右侧)且AB=AE,则点E所表示的数为() D A 二3-2-10123 A.v5 BV5-1 c.5+1 D.3-V5 6如图，若数轴上的点，8，C,D表示数1,23 6-√21 ,则表示数 的点应在 () AO B C D 321012房→ A.A,O之间B.O,B之间 C.B,C之间 D.C,D之间 试卷第1页，共3页 7.下列说法正确的是() A.0.318精确到百分位 B.3.6万精确到个位 C.5.07×103精确到十位 D.3000精确到千位 8.下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是() A.近似数2.36×10精确到百位 B.3.254精确到十分位是3.2 C.近似数6.32万精确到百分位 D.4.701的近似数是4 2.37≈1.33323.7≈2.872 2370 9.如果 那么 约等于() A.28.2 B.0.2872 C.13.33 D.0.1333 10.如图，大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面 积为2，则正方形ABCD的边长可能是() D B A.1 B.V② C.v5 D.3 二、填空题 11.一个正数x的平方根是4m-1与2m+7,则64m的立方根为 12.将四个数5,5.丽V2 表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数 是 101234K678g→ [x=2 4x-3y=a+b 13.若y=1是方程组5x-7y=a-b的解，则3a+4b的平方根为 试卷第2页，共3页 v2-1 14.比较大小： 2 (填写“>”或“<”) 15.跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机 上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希 望求它的立方根.华罗庚脱口而出：39，邻座的乘客十分惊 奇，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出 来的吗？请按照下面的问题试一试： ① ,1000=101000000=100 又.1000<59319<1000000 :10<5319<100 ∴能确定5931 的立方根是个两位数. ②59319的个位数是9，又：9=729，“能确定59319的立方根的个位数是9. ③如果划去9319后面的三位319得到数59，而迈<9<，则3x5<4,可得 ,则 30<59319<40 由此能确定59319， 的立方根的十位数是3，因此5931 的立方根是39 按这种方法求立方根，请求出54872的立方根是 16.关于x的方程c-1=2x的解为正实数，则k的取值范围是 三、解答题 17.己知2a+1的算术平方根是3,3a-b-1的立方根是2. (1)求a,b的值： (2)求20b+a-51的平方根. 18.己知x、y是a的两个平方根，且是2x+3y=2的一组解. (1)求a的值： (2)求a的算术平方根 试卷第3页，共3页 2x+5y=-26 mx+ny=8 19.已知关于x,y的方程组mx-y=4与3x-y=12的解相同. (1)求m,n的值： (2)求m-3n的平方根. 20.己知正数x的两个不相等的平方根为m和m+n. (1)当n=8时，求x的值： (2若mx+(m+m)x=32 ,求x的值. 5-1 21.(1)比较2和0.6的大小，并说明理由. (2)若0<m<1,用<号连接m,、历、Vm四个数的大小，不用说明理由。 22.将棱长为6cm的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块， 且长方体铁块的长、宽、高的比为1：1：8，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少cm? 23.我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术 平方根都是整数，则称这三个数为“完全数组”，这些算术平方根称为“完全子集”，例 如：-2，-8，-18这三个数，2x(-8)=4.2)x(18=6、-8)x(-18)=12 其结果4,6,12都是整数，所以-2，-8，-18这三个数是“完全数组”，而4,6,12 称为“完全子集”， (1)-9,-1,4这三个数是“完全数组”吗？请说明理由. (2)若-4，a,-16这三个数是“完全数组”，且“完全子集”中有一个数为12，求a的值. 24,按照园圆际标准，A系列纸为长宽之比等于5的长方形.某中学有块面积为 642平 方米长方形空地，它的长宽比恰好与A系列纸相同，为美化校园环境，学校计划在该空地 正中间沿着边的方向修建面积为50平方米的花圃草坪，四周留至少1米宽的走道. 左 右 图1 图2 (1)求学校这块空地的长与宽. 试卷第4页，共3页 (2)如图1，若修建的花圃草坪区域为正方形，学校的计划能否实现？试通过计算说明， (3)如图2，学校为了实现计划，改为修建长方形花圃草坪，当花圃草坪区域的长边与短边 之比最小时，这块空地左右走道的宽是 米（直接写出答案）. 试卷第5页，共3页