第01讲 数列的基本知识与概念（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦数列核心考点，涵盖定义、分类、通项公式、递推公式及前n项和，按“命题透视-知识解构-题型破译-真题溯源”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导（如累加法、构造法）、真题训练等环节，帮助学生构建系统思维，突破单调性、周期性等难点。 讲义创新采用“方法技巧+变式训练”模式，如用列举寻周期法培养数学思维，配凑构造新数列法提升数学语言表达能力。设置分层练习（自主检测、变式训练）和真题溯源环节，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第01讲 数列的基本知识与概念 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1数列的定义与相关概念 知识点2数列的分类 知识点3数列的通项公式 知识点4数列的递推公式 知识点5数列的前n项和Sn 题型破译 (含超链接） 题型1 数列的周期性 【方法技巧】列举寻周期法 题型2 数列的单调性 【方法技巧】三类判单调法 题型3 递推公式求通项公式（累加法） 【方法技巧】逐项相消累加法 题型4 递推公式求通项公式（累乘法） 【方法技巧】约分消元累乘法 题型5 递推公式求通项公式（构造法） 【方法技巧】配凑构造新数列法 题型6 利用an与Sn的关系求通项公式 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 递推公式求通项 _______ 全国一卷T16（1）（6分） _______ 利用与关系求通项 _______ _______ 全国甲卷T18（1）（5分） 考情分析 高考单独考查数列基础概念的题目占比不高，考情长期稳定，题型、难度、出题频次波动很小。命题更侧重将数列视作特殊函数综合出题，常围绕单调性、周期性、最值三大核心性质设置考题，也是小题与大题高频命题方向。 复习目标 1.理解、掌握数列基本概念，分清与的区别； 2.熟练判断数列类型，明晰数列作为特殊函数的图像与性质； 3.熟记通项公式、递推公式含义，牢记前项和分段公式； 4.学会借助函数单调性、最值分析数列，夯实基础小题解题能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1数列的定义与相关概念 1.数列定义：按照一定次序排列的一列数称为数列。 2.数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项，第一项称为_________。 3.数列通用表示：数列一般形式可简写为。 4.数列项的三大性质（对比集合元素） （1）确定性：任意数字能否作为数列中的项可以明确判断，和集合元素性质一致。 （2）可重复性：数列内数字允许_________，集合元素具有互异性，二者存在区别。 （3）有序性：数字相同但_________不同属于不同数列；集合不受元素顺序影响。 自主检测 1．已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 知识点2数列的分类 分类标准 数列名称 定义说明 按项的总个数划分 有穷数列 项数_________，存在最后一项 无穷数列 项数无限，无末尾项 按项数值大小变化划分 递增数列 从第二项起，每一项都_________前一项 递减数列 从第二项起，每一项都_________前一项 常数列 数列中每一项数值全部_________ 摆动数列 项的数值大小交替起伏，忽大忽小 自主检测 2．（多选）下列叙述不正确的有（    ） A．数列1，3，5，7与7，5，3，1不是同一数列 B．数列0，1，2，3，…的通项公式是 C．，1，，1，…是常数列 D．，，，，…是递增数列，也是无穷数列 3．（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 知识点3数列的通项公式 1.定义：若数列第项与序号的对应关系能用式子表达，该式为数列通项公式。 2.区分要点 （1）代表_________，仅指数列的第项，二者含义不同。 （2）项与项数区分：项是具体数字（函数值），项数是数字所在_________（自变量）。 3.补充说明：同一个数列可以写出多种形式不同、实质等价的通项公式。 自主检测 4．已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 5．已知数列的通项公式为，则下列各数是数列中的项的是（    ） A． B． C． D． 知识点4数列的递推公式 1.定义：已知数列_________（或_________），任意一项与其前一项（前几项）的关系式称为递推公式。 2.构成：递推公式包含两部分，一是_________，二是项与项之间的_________。 自主检测 6．若数列满足，且对于任意的都有，则__________. 7．数列满足，则（   ） A．2 B．0 C． D．1 知识点5数列的前项和 1.定义：表示数列前项相加的_________，。 2.通项与前项和转换公式 推导说明 时，前1项和直接等于_________； 时，用前项和减去前项和，即可得到第项。 自主检测 8．已知数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 数列的周期性 例1-1（2025·山东泰安·二模）在数列中，，，，则的前100项和为_________. 例1-2（2025·山东聊城·一模）已知数列，若，且（为正整数）， 则数列的第35项为________________． 方法技巧 列举寻周期法 1.由已知条件写出数列前若干项，观察数字重复出现的规律，确定周期。 2.求第项时，计算，根据余数判断该项与周期内对应位置数值相等，余数为0则取周期最后一项。 3.求和类题型：先算出一个周期内所有项的和，统计完整周期个数，再加上余下几项的数值。 4.常结合递推式、与关系式推导周期，计算时注意准确罗列前几项，避免漏项看错周期。 【变式训练1-1】（2026·黑龙江绥化·一模）已知数列满足则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2026·广东云浮·一模）已知数列的前n项和为，且满足，，则_________． 【变式训练1-3】（2025·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，且对任意，则____________． 题型2 数列的单调性 例2-1（2025·河北沧州·三模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2-2（2026·湖北襄阳·三模）设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 方法技巧 三类判单调法 1.作差法：计算，差值恒大于0为递增数列；恒小于0为递减数列。 2.作商法：数列各项恒正时，计算，比值大于1递增，小于1递减。 3.函数法：将通项看作关于的函数，结合函数单调性，注意取离散正整数。 4.求最值：递增数列最小项为首项；递减数列最大项为首项；摆动数列通过解不等式找最值项。 【变式训练2-1】（2025·甘肃平凉·二模）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为__________ 【变式训练2-2】（2026·湖南岳阳·一模）已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】（2026·广东潮州·二模）已知数列满足，，则的最大项为（     ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 题型3 递推公式求通项公式（累加法） 例3-1（2026·江苏徐州·一模）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 例3-2（2026·四川自贡·一模）（1）在数列中，，，求数列的通项公式； （2） 若数列满足：，，求数列的通项公式. 方法技巧 逐项相消累加法 1.适用形式：，后项减前项为关于的可求和代数式。 2.步骤：依次列出时，左右全部累加，中间项相互抵消。 3.化简得到，代入首项整理出通项，最后检验是否满足式子。 4.常为一次式、指数式、分式，求和时灵活运用等差、等比求和公式。 【变式训练3-1】（2025·河南商丘·二模）在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 【变式训练3-2】（2025·湖南株洲·二模）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； 【变式训练3-3】（2026·吉林通化·二模）已知数列满足，且. (1)求的通项公式； 题型4 递推公式求通项公式（累乘法） 例4-1（2026·广西百色·三模）已知数列中，，，则________. 例4-2（2025·辽宁大连·模拟预测）已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 约分消元累乘法 1.适用形式：，后项与前项的比值为关于的可化简代数式。 2.步骤：写出时，左右累乘，中间分式约分消去。 3.化简得到，代入首项求出，验证是否符合通项表达式。 4.多为一次因式、指数式，约分过程注意准确拆分因式，防止计算失误。 【变式训练4-1】（2026·江苏宿迁·二模）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； 【变式训练4-2】（2026·山西阳泉·一模）已知数列满足，则数列的通项公式为___________． 【变式训练4-3】（2025·湖南郴州·一模）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 题型5 递推公式求通项公式（构造法） 例5-1（2026·甘肃兰州·一模）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 例5-2（2026·吉林四平·二模）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 方法技巧 配凑构造新数列法 1.一阶线性递推：构造等比数列，解出常数，求出新数列通项再反推。 2.：配凑同结构形式，构造等差或等比数列；含指数式时两边同除指数构造新数列。 3.分式型递推：取倒数转化为一次递推，再用构造法求解。 4.求出构造数列通项后，还原原式得到，务必检验首项。 【变式训练5-1】（2025·海南儋州·三模）已知数列满足，，，则通项公式______ 【变式训练5-2】（2025·四川南充·一模）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】（2026·河南平顶山·模拟预测）已知数列中，，则数列的通项公式______． 题型6 利用an与Sn的关系求通项公式 例6-1（2026·广东江门·一模）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 例6-2（2026·湖北十堰·模拟预测）已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______. 【变式训练6-1】（2026·江西上饶·二模）已知数列的前项和，第项满足，则正整数（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式训练6-2】（2026·江苏扬州·二模）已知为数列的前项和，若，则________. 【变式训练6-3】（2026·湖北荆州·三模）已知数列的前n项和为，； (1)求的通项公式； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围； 【变式训练6-4】（2026·河北承德·一模）已知数列满足 (1)求数列的通项公式； 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2022·全国乙卷·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式. 2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数． (1) (2) (3) 3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数､正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项. 4．已知数列的前项和公式为，求的通项公式. 6．已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 数列的基本知识与概念 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1数列的定义与相关概念 知识点2数列的分类 知识点3数列的通项公式 知识点4数列的递推公式 知识点5数列的前n项和Sn 题型破译 (含超链接） 题型1 数列的周期性 【方法技巧】列举寻周期法 题型2 数列的单调性 【方法技巧】三类判单调法 题型3 递推公式求通项公式（累加法） 【方法技巧】逐项相消累加法 题型4 递推公式求通项公式（累乘法） 【方法技巧】约分消元累乘法 题型5 递推公式求通项公式（构造法） 【方法技巧】配凑构造新数列法 题型6 利用an与Sn的关系求通项公式 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 递推公式求通项 _______ 全国一卷T16（1）（6分） _______ 利用与关系求通项 _______ _______ 全国甲卷T18（1）（5分） 考情分析 高考单独考查数列基础概念的题目占比不高，考情长期稳定，题型、难度、出题频次波动很小。命题更侧重将数列视作特殊函数综合出题，常围绕单调性、周期性、最值三大核心性质设置考题，也是小题与大题高频命题方向。 复习目标 1.理解、掌握数列基本概念，分清与的区别； 2.熟练判断数列类型，明晰数列作为特殊函数的图像与性质； 3.熟记通项公式、递推公式含义，牢记前项和分段公式； 4.学会借助函数单调性、最值分析数列，夯实基础小题解题能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1数列的定义与相关概念 1.数列定义：按照一定次序排列的一列数称为数列。 2.数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项，第一项称为首项。 3.数列通用表示：数列一般形式可简写为。 4.数列项的三大性质（对比集合元素） （1）确定性：任意数字能否作为数列中的项可以明确判断，和集合元素性质一致。 （2）可重复性：数列内数字允许重复，集合元素具有互异性，二者存在区别。 （3）有序性：数字相同但排列顺序不同属于不同数列；集合不受元素顺序影响。 自主检测 1．已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 【答案】10 【详解】因为数列，，，，， 则该数列的通项公式为， 由，解得， 所以是这个数列的第项. 知识点2数列的分类 分类标准 数列名称 定义说明 按项的总个数划分 有穷数列 项数有限，存在最后一项 无穷数列 项数无限，无末尾项 按项数值大小变化划分 递增数列 从第二项起，每一项都大于前一项 递减数列 从第二项起，每一项都小于前一项 常数列 数列中每一项数值全部相等 摆动数列 项的数值大小交替起伏，忽大忽小 自主检测 2．（多选）下列叙述不正确的有（    ） A．数列1，3，5，7与7，5，3，1不是同一数列 B．数列0，1，2，3，…的通项公式是 C．，1，，1，…是常数列 D．，，，，…是递增数列，也是无穷数列 【答案】BC 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列与是两个数列，故A正确； 对于B选项，数列的通项公式是，故B错误； 对于C选项，数列是摆动数列，故C错误； 对于D选项，数列是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 3．（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】选项C、D既是无穷数列又是递增数列， 而选项A是递减数列，选项B是摆动数列． 故选：CD. 知识点3数列的通项公式 1.定义：若数列第项与序号的对应关系能用式子表达，该式为数列通项公式。 2.区分要点 （1）代表整个数列，仅指数列的第项，二者含义不同。 （2）项与项数区分：项是具体数字（函数值），项数是数字所在位置（自变量）。 3.补充说明：同一个数列可以写出多种形式不同、实质等价的通项公式。 自主检测 4．已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：当为奇数时，；当为偶数时，，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于B：当时，；时，；时，，以此类推，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于C：根据余弦函数性质，，与B相同，所以是该数列的通项公式； 对于D：，与数列的对应项不符，故不是该数列的通项公式． 5．已知数列的通项公式为，则下列各数是数列中的项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若为偶数，则，故B不符合题意，D符合题意； 若为奇数，则，故AC均不符合题意. 知识点4数列的递推公式 1.定义：已知数列首项（或前几项），任意一项与其前一项（前几项）的关系式称为递推公式。 2.构成：递推公式包含两部分，一是初始项数值，二是项与项之间的递推关系式。 自主检测 6．若数列满足，且对于任意的都有，则__________. 【答案】253 【详解】由题意可知：，当时， 又因为，所以 . 7．数列满足，则（   ） A．2 B．0 C． D．1 【答案】C 【详解】由递推公式，将代入，得． 知识点5数列的前项和 1.定义：表示数列前项相加的和，。 2.通项与前项和转换公式 推导说明 时，前1项和直接等于首项； 时，用前项和减去前项和，即可得到第项。 自主检测 8．已知数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 所以. 题●型●破●译 题型1 数列的周期性 例1-1（2025·山东泰安·二模）在数列中，，，，则的前100项和为_________. 【答案】235 【详解】因为，所以，所以，所以是周期为6的数列. 因为，，，， 所以的前100项和为. 例1-2（2025·山东聊城·一模）已知数列，若，且（为正整数）， 则数列的第35项为________________． 【答案】 【详解】由条件可知，， 即，则， 所以数列的一个周期为， 所以. 方法技巧 列举寻周期法 1.由已知条件写出数列前若干项，观察数字重复出现的规律，确定周期。 2.求第项时，计算，根据余数判断该项与周期内对应位置数值相等，余数为0则取周期最后一项。 3.求和类题型：先算出一个周期内所有项的和，统计完整周期个数，再加上余下几项的数值。 4.常结合递推式、与关系式推导周期，计算时注意准确罗列前几项，避免漏项看错周期。 【变式训练1-1】（2026·黑龙江绥化·一模）已知数列满足则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的周期为4， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由递推式可知， 当为偶数时，，故； 当为奇数时，， 归纳可得，， 是偶数，故， 是奇数，，故． 【变式训练1-2】（2026·广东云浮·一模）已知数列的前n项和为，且满足，，则_________． 【答案】或 【详解】当是奇数时，，解得，舍去， 当是偶数时，，解得； 当是奇数时，，解得， 的项依次是，即是周期为3的周期数列， ； 当是偶数时，，解得， 的项依次是， 即是首项为8，从第二项起是周期为3的周期数列， ． 【变式训练1-3】（2025·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，且对任意，则____________． 【答案】 【详解】已知，根据递推式可知 ， ， ， ， 因此是周期为4的周期数列，. 由于，故. 题型2 数列的单调性 例2-1（2025·河北沧州·三模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列是单调递增数列， 所以，， 即， 化简得，， 当时，有最大值， 所以. 例2-2（2026·湖北襄阳·三模）设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 又数列为递增数列，得，解得.即：. 方法技巧 三类判单调法 1.作差法：计算，差值恒大于0为递增数列；恒小于0为递减数列。 2.作商法：数列各项恒正时，计算，比值大于1递增，小于1递减。 3.函数法：将通项看作关于的函数，结合函数单调性，注意取离散正整数。 4.求最值：递增数列最小项为首项；递减数列最大项为首项；摆动数列通过解不等式找最值项。 【变式训练2-1】（2025·甘肃平凉·二模）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为__________ 【答案】 【详解】因，在上单调递增，则为递增数列. 注意到， 则该数列前项为负值，从第4项起为正值，从而. 【变式训练2-2】（2026·湖南岳阳·一模）已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，数列单调递减，， 所以，即，解得. 【变式训练2-3】（2026·广东潮州·二模）已知数列满足，，则的最大项为（     ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】B 【详解】已知递推关系， 因此， 所以， 令，则， 是一个公差为1的等差数列，首项， 所以， 因此，原数列的通项公式为， 因此， 当，即时，，数列递增； 当，即时，，数列递减， 因此，数列在时取得最大值. 题型3 递推公式求通项公式（累加法） 例3-1（2026·江苏徐州·一模）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，， 令，得， 又可得， 所以 ， 当时也符合上式，所以，则， 所以. 例3-2（2026·四川自贡·一模）（1）在数列中，，，求数列的通项公式； （2）若数列满足：，，求数列的通项公式. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）由题意，得，由累加法可得： 当时，. 也适合上式， 即 （2）由题意知， 当时，由累加法可得： ， 也适合上式， 即. 方法技巧 逐项相消累加法 1.适用形式：，后项减前项为关于的可求和代数式。 2.步骤：依次列出时，左右全部累加，中间项相互抵消。 3.化简得到，代入首项整理出通项，最后检验是否满足式子。 4.常为一次式、指数式、分式，求和时灵活运用等差、等比求和公式。 【变式训练3-1】（2025·河南商丘·二模）在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 【答案】B 【详解】由可得， 则 . 【变式训练3-2】（2025·湖南株洲·二模）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，所以，                        当时， ，                           当时，也满足上式，                             故数列的通项公式为．              （2）由（1）知，，              ． 即 【变式训练3-3】（2026·吉林通化·二模）已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)若，求证：； (3)已知，求的值.（结果用表示） 【答案】(1) (2)由（1）可得， 则由 ， 可得 ， 即， 整理得，因，则， 所以，故 . (3) 【分析】 【详解】（1）由 可得： ，由累加法得： ， 又因为，所以，故. （2）略. （3）因为 ，所以有， 取， 得， 所以 已知， 则，因此原式的计算结果为. 题型4 递推公式求通项公式（累乘法） 例4-1（2026·广西百色·三模）已知数列中，，，则________. 【答案】/4.375 【详解】由，得， 所以，， 则. 故答案为：. 例4-2（2025·辽宁大连·模拟预测）已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，得， 所以， 所以，即①． 又因为②， ①②两式相乘，得． 故选：A． 方法技巧 约分消元累乘法 1.适用形式：，后项与前项的比值为关于的可化简代数式。 2.步骤：写出时，左右累乘，中间分式约分消去。 3.化简得到，代入首项求出，验证是否符合通项表达式。 4.多为一次因式、指数式，约分过程注意准确拆分因式，防止计算失误。 【变式训练4-1】（2026·江苏宿迁·二模）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：由，得， 所以， 将以上各式相乘，可得， 因为，所以， 又因为满足上式，所以数列的通项公式为． （2）解：由（1）知，可得， 设的前项和为，可得， 则， 以上两式相减得， 所以，所以的前项和为． （3）证明：由（1）知， 可得， 所以 ， 因为，所以，所以． 【变式训练4-2】（2026·山西阳泉·一模）已知数列满足，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【详解】当时，有，故， 则有，． 上述个式子累乘得． 因为，所以， 而当时，，也满足上式， 故数列的通项公式为． 故答案为：. 【变式训练4-3】（2025·湖南郴州·一模）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 当时，， 因为，所以，又，所以； 由，，得对恒成立； 当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则； 当为偶数时，恒成立，易知为减函数， 则； 故的取值范围为. 故选：A 题型5 递推公式求通项公式（构造法） 例5-1（2026·甘肃兰州·一模）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 【答案】B 【详解】由题意得，两边同时加得，又， 则，即是以为公比，为首项的等比数列， 即，则， 则. 例5-2（2026·吉林四平·二模）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 【答案】 【详解】 又 是以2为首项，2为公比的等比数列 ， . 故答案为：. 方法技巧 配凑构造新数列法 1.一阶线性递推：构造等比数列，解出常数，求出新数列通项再反推。 2.：配凑同结构形式，构造等差或等比数列；含指数式时两边同除指数构造新数列。 3.分式型递推：取倒数转化为一次递推，再用构造法求解。 4.求出构造数列通项后，还原原式得到，务必检验首项。 【变式训练5-1】（2025·海南儋州·三模）已知数列满足，，，则通项公式______ 【答案】 【详解】因为变形为 所以数列是等比数列，首项为，公比为3， 因此①， 又因为变形为 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 因此②， ① ②两式相减可得. 故答案为：. 【变式训练5-2】（2025·四川南充·一模）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， 故选：D. 【变式训练5-3】（2026·河南平顶山·模拟预测）已知数列中，，则数列的通项公式______． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为： 题型6 利用an与Sn的关系求通项公式 例6-1（2026·广东江门·一模）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知， 当时，， 当时，， 时，， ， ，故是首项为3，公比为2的等比数列， 的前7项和为：． 例6-2（2026·湖北十堰·模拟预测）已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意可知，当时，，即， 当时，由，得， 两式相减得，所以，当时，也满足此式， 故. 所以， 若数列为单调递增数列，则恒成立， 所以，即，对恒成立， 设，则， 当时，，故，当时，数列为递减数列，即， 可得为最大值，且，所以. 所以的取值范围为. 【变式训练6-1】（2026·江西上饶·二模）已知数列的前项和，第项满足，则正整数（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【详解】当时,， 当时，， 当也满足，于是(), ,即，得，(),则. 【变式训练6-2】（2026·江苏扬州·二模）已知为数列的前项和，若，则________. 【答案】11 【详解】当时，，即， 解得； 当时，， 所以， 即， 整理得， 所以， 所以数列为常数列， 所以， 所以， 所以． 【变式训练6-3】（2026·湖北荆州·三模）已知数列的前n项和为，； (1)求的通项公式； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 则， 又，不符合上式， 所以. （2）若，则成立，即，得； 若，则，，则恒成立， 即恒成立， 因为在上单调递增，所以， 则的最大值为，则， 综上，实数的取值范围为. 【变式训练6-4】（2026·河北承德·一模）已知数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求使的最小的正整数n的值. 【答案】(1) (2)8 【分析】 【详解】（1）由，可得， 当时，有， 两式作差得，所以时，， 时，符合上式， 所以数列的通项公式为. （2）， 所以， ， 两式相减得 ， 所以，随着正整数的增大而增大， 由，得， 时，， 时，， 所以使的最小的正整数n的值为8. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意， ，是无穷数列， 验证充分性： 当存在常数，使时， ，， 显然成立， 验证必要性： 当，时，此时满足, 假设存在常数，使成立， 当时，，， 此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， 但不存在这样的固定常数， ∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立， ∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件. 2．（2022·全国乙卷·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】[方法一]:常规解法 因为， 所以，，得到， 同理，可得， 又因为， 故，； 以此类推，可得，，故A错误； ，故B错误； ，得，故C错误； ，得，故D正确. [方法二]：特值法 不妨设则 故D正确. 3．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 【答案】C 【详解】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式. 【答案】，，，，. 【详解】，，，. 猜想. 2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数． (1) (2) (3) 【答案】(1)第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 (2)第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 (3)第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 【分析】 【详解】（1）解：设第项的点数为， ，，，，该数列的第项为， 数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示： （2）解：设第项的点数为， ，，，，该数列的第项为， 数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示： （3）解：设第项的点数为， ，，，，该数列的第项为， 数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示： 3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数､正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项. 【答案】三角形数：第五个数15，第六个数21. 正方形数：第五个数，第六个数.五边形数：第五个数，第六个数. 【详解】三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10， 第五个数1+2+3+4+5=15，第六个数1+2+3+4+5+6=21. 正方形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，第六个数. 五边形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，第六个数. 4．已知数列的前项和公式为，求的通项公式. 【答案】 【详解】当时，； 当时，，满足， 故的通项公式为. 5．（22-23高二·全国·随堂练习）已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出. （1）写出这个数列的前5项； （2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. 【答案】（1）a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8；；（2）b12，b2，b3，b4，b5． 【分析】 【详解】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2， 得a3＝a2+a1＝2+1＝3， a4＝a3+a2＝2+3＝5， a5＝a4+a3＝3+5＝8； （2）依题意有：b12， b2， b3， b4， b5． 6．已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ 【答案】（1）证明见解析；（2）递增数列，证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由题意得，因为为正整数，所以，所以； （2）是递增数列， 证明：因为，所以， 所以，所以是递增数列. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $