广东河源市2025-2026学年普通高中供题训练高二数学

2025—2026学年普通高中供题训练 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、考生号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设，则（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 2.经过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3.如图，在正方体中，与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 4.已知等差数列前项和为，若，，则（ ） A.110 B.55 C.25 D.13 5.某中学高二（1）班筹备校园文化展演，安排了2名男生和2名女生作为班级方阵的领演，4人随机排 成一列走在队伍最前方，则两位女生相邻的不同排法种数是（ ） A.12 B.16 C.20 D.24 6.展开式中的系数为（ ） A.15 B.20 C.30 D.40 7.已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数，若函数存在唯一的零点，则实数的值为（ ） A. B. C.或 D.或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.一个袋子中有4个大小相同的球，其中有1个红球，3个黑球，每次抽取1个球，有放回地随机抽取2次，设为两次抽取中取到红球的次数，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10.已知正项数列前项和为，，，下列选项正确的是（ ） A.若是等差数列，则 B.若是等比数列，公比 C.若是等差数列，则 D.若是等比数列，则 11.如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（ ） A.若为的中点，则平面 B.存在点，使得平面 C.的最小值为 D.若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.曲线在点处的切线方程为______． 13.已知随机变量，且，则______． 14.已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且，则面积的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知数列的前项和为，且（）． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16.（15分）如图，在三棱锥中，，，平面平面，． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 17.（15分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得分，负方得分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望． 18.（17分）已知抛物线：（）的焦点为，准线为，过准线上一点作平行于轴的直线交抛物线于点，当点的横坐标为时，． （1）求抛物线的方程． （2）直线交抛物线于，两点， （i）若，求点的坐标； （ii）求的面积的最小值． 19.（17分）已知函数，记的最小值为． （1）求； （2）证明：； （3）证明：函数有且只有一个零点． 2025—2026学年普通高中供题训练 高二数学答案与评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B B A C D D 8.解：显然不是函数的零点，将问题转为，即直线与曲线恰有一个交点．，令，解得或．由得或，由得或，因此在和单递增，在和单调递减．画出图像大致如图，由此可得或．故选D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABD 11.解：对于选项A：如图1，若P为中点，则平面PAC，故A正确； 对于选项B：如图2，当P为平面AMNC与的交点时，连接MA，此时，平面PAC，平面PAC，故平面PAC，所以B正确； 对于选项C：连接，易得，，取BC中点Q，连接，QA分别与，BD相交，取交点分别为F，E，此时，得，故EF为，BD的公垂线段，且，所以C不正确； 对于选项D：设，，则，作，垂足为T，连接ET，可得，，，故，当且仅当时“＝”成立，即当E，F分别为BD，中点时EF取得最小值．取EF中点R，连接RB，RC，则为二面角的平面角，而，得，即此时平面BEF与平面CEF夹角的余弦值为，所以D正确．综上，答案为ABD． （另法：建立空间直角坐标系求解） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13.0.1 14. 14.解：当OA、OB所在直线与两坐标轴重合时，原点O到直线l的距离为； ②当直线OA、OB的斜率存在且都不为零时，设直线OA的方程为，则直线OB的方程为，联立可得，所以，同理可得，所以原点O到直线l的距离为， 综上所述，原点O到直线l的距离为定值．当OA、OB所在直线与两坐标轴重合时， ； 当直线OA、OB的斜率存在且都不为零时， 则，令，则，因为，所以，则，所以，所以，所以，所以． 特殊值法：OB斜率不存时，最大值，对称当且仅当最小值，． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.解：（1）因为，当时，， 当时，， 检验，当时，，也满足．所以． （2）因为，， ， ． 16.（1）证明：因为平面平面ABC，平面平面， 又，所以平面ABC，平面ABC，故， 又因为，，平面BCD，平面BCD， 故平面BCD． （2）解：取BD的中点M，连接CM， 由（1）知平面BCD，平面BCD，所以， 又因为，M为BD中点，所以， ，所以平面ABD， 所以就是CD与平面ABD所成角，， 所以，CD与平面ABD所成角的正弦值． （方法二，等体积法求高；方法三，建系求线面角．） 17.解：（1）记甲在三个项目中获胜的事件依次为A，B，C，“甲学校获得冠军”，所以甲学校获得冠军的概率为 ． （2）依题可知，X的可能取值为0，10，20，30， 所以，， ， ， ． 即X的分布列为 X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 期望． 18.解：（1）由题意知：，解得， 所以抛物线C的方程为． （2）（i）设，则直线NF为，即， 设，，联立方程：，消元得， ，由韦达定理得，， 则， 将韦达定理代入得：，解得或， 因此N点的坐标为，和，． （ii）由（i）可得， 故， 令，则，因此， 设，，， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为，即的最小值为． 19.（1）解法1：，其中，，所以，即． 解法2：因为，故为的周期；现在一个周期内研究函数：，若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，所以． （2）令，则，当，，单调递减， 所以，故时，成立． 由（1）知，；所以，即，因此，证毕． （3）对于，考虑一个周期，令，解得，，，，，，，且，，，，因此． 若，则，所以，没有零点； 若，，．下证，即证，即证，显然成立． 因此，没有零点． 若，，单调递减，而，，故存在一个零点． 综上所述，函数在有且只有一个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $