4.5 整式的加减 同步测试 2026-2027学年 浙教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦整式加减，分层设计基础巩固、能力提升、培优拓展三阶路径，通过运算、几何应用、规律探究递进培养运算能力、几何直观与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一整式加减运算|如17题化简求值，强化合并同类项与去括号法则，落实运算能力| |能力提升|几何与代数综合应用|如5题图形剪拼求周长，结合长方形边长关系，体现几何直观| |培优拓展|规律探究与创新思维|如4题“回头差”游戏，通过整式串规律推导，发展创新意识|

4.5 整式的加减 培优测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知多项式若A-B中不含mn项，则a等于（　　） A．-4 B．4 C．3 D．-3 2．若，，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 3．若是正整数，且，，，设的最大值为，最小值为，则=（　　） A． B． C． D． 4．在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（　　） A． B．m C． D． 5．如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将①号、②号、③号正方形按图2方式叠放入④号正方形内部，若需求出阴影部分的周长和，只需知道下列哪个正方形的边长（　　） A．①号 B．②号 C．③号 D．④号 6．图1是长为 ，宽为 的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形 内，已知 的长度固定不变， 的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为 ， ，若 ，且 为定值，则 ， 满足的关系是（　　） A． B． C． D． 7．如图，将图1中的长方形纸片前成（1）号、（2）号、（3）号、（4）号正方形和（5）号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，若需求出没有覆盖的阴影部分的周长， 则下列说法中错误的是（　　） A．只需知道图 1 中大长方形的周长即可 B．只需知道图 2 中大长方形的周长即可 C．只需知道（3）号正方形的周长即可 D．只需知道（5）号长方形的周长即可 8．将1，2，3，4...，60这60个自然数，任意分成30组，每组两个数，将每组的两个数中的任意一个数记做a，另一个数记做b，代入代数式(|a-b|+a+b)中进行计算，求出结果，30组分别代入后可求出30个结果，则这30个值的和的最大值是（　　） A．1365 B．1565 C．1735 D．1830 9．为求1+2+22+23+…+22015的值，可令S=1+2+22+23+…+22015，则2S=2+22+23+…+22016，因此2S﹣S=22016﹣1.仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52015的值为（　　） A．52015﹣1 B．52016﹣1 C． D． 10．将1，2，3，4，5，6六个数随机分成2组，每组各3个，分别用 ， ， 和 ， ， 表示，且 ， ，设 ，则 的可能值为（　　）. A． B． C． D． 二、填空题（每空4分，共24分） 11．如图长方形由图1、2、3、4、5拼成，设图1、2、3是边长分别为a，b，c的正方形，图4是长方形，图5是正方形．对于判断：①；②图4的周长为；③；④长方形的周长为，其中正确的是　 　（填编号）． 12．已知多项式，且的值与字母x的取值无关，则的值为 　 　． 13．中国空间站“T”字基本构型在轨组装完成，“T”寓意：睿智，卓越．图1是用长方形纸板做成的四巧板(已知线段长度如图所示)，用它拼成图2的“T”字型图形，则“T”字型图形的周长为　 　．(用含m，n的式子表示) 14．已知实数m，n，a，b满足，若，则k的取值范围是　 　． 15．如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积与（2）图长方形的面积的比是　 　. 16．点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为，利用数轴上两点间距离，可以得到的最大值是　 　． 三、解答题（共6题，共66分） 17．已知A=2x2+3xy﹣2x﹣1，B=x2﹣xy﹣1. （1）化简：4A﹣（2B+3A），将结果用含有x、y的式子表示； （2）若式子4A﹣（2B+3A）的值与字母x的取值无关，求y3+ A﹣ B的值. 18．阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简．解：原式．参照本题阅读材料的做法解答： （1）把看成一个整体，合并的结果是　 　． （2）已知，求的值． （3）已知，，，求的值． 19．定义：若，则称A与B是关于数n的伴随数.比如4与3是关于1的伴随数，与是关于-3的伴随数. （1）填空： 2022与　 　是关于-1的伴随数， 　 　与是关于2的伴随数. （2）若a与2b是关于3的伴随数，2b与c是关于-5的伴随数，c与d是关于10的伴随数，求 的值. （3）现有与(k为常数)始终是数n的伴随数，求n的值. 20．有7张如图1规格相同的小长方形纸片，长为a，宽为b（），按如图2、3的方式不重叠无缝隙地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示． （1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，那么矩形ABCD的面积为　 　．（用含a、b的代数式表示） （2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，． ①用a、b、x的代数式直接表示AE ②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？ 21．已知口，⋆、△分别代表1∼9中的三个自然数． （1）如果用⋆△表示一个两位数，将它的个位和十位上的数字交换后得到一个新的两位数Δ⋆，若⋆Δ与Δ⋆的和恰好为某自然数的平方，则该自然数是 　 　； （2）如果在一个两位数⋆Δ前揷入一个数口后得到一个三位数口⋆△，设⋆△代表的两位数为x，口代表的数为y，则三位数口⋆Δ用含x，y的式子可表示为 　 　； （3）设a表示一个两位数，b表示一个三位数，把a放在b的左边组成一个五位数m，再把b放在a的左边、组成一个新五位数n．试探索：m-n能否被9整除？并说明你的理由． 22．阅读材料： 在数轴上点表示的数为，点表示的数为，则点到点的距离记为．线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点，再向左移动2个单位长度到达点，然后向右移动7个单位长度到达点． （1）点表示的数是　 　；点表示的数是　 　；点表示的数是　 　； （2）点到点的距离　 　；若数轴上有一点，且，则点表示的数为　 　； （3）若将点向右移动，则移动后的点表示的数为　 　；（用代数式表示） （4）若点以每秒2个单位长度的速度向左移动，同时、点分别以每秒1个单位长度.4个单位长度的速度向右移动．设移动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而改变？请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】整式的加减运算；多项式的项、系数与次数 【解析】【解答】解：∵ ∴A-B=2（m2-3mn-n2）-（m2+2amn+2n2） =2m2-6mn-2n2-m2-2amn-2n2 =m2-（6+2a）mn-4n2 ∵ A-B中不含mn项 ， ∴6+2a=0， 解得a=-3. 故答案为：D. 【分析】根据整式加减法法则计算出A-B的值，由A-B中不含mn项可得6+2a=0，再求解即可得出答案. 2．【答案】C 【知识点】整式的加减运算；偶次方的非负性 【解析】【解答】解：S-T=3x2-2xy+y2-（x2+2xy-y2） =3x2-2xy+y2-x2-2xy+y2 =2x2-4xy+2y2 =2（x-y）2， ∵2（x-y）2≥0， ∴S≥T； 故答案为：C. 【分析】 求出S-T的差，判断S-T的差与0的大小即可得到答案． 3．【答案】D 【知识点】整式的加减运算 【解析】【解答】解：∵a+b=20，a＋c=24，a＋d=22， ∴b=20-a，c=24-a，d=22-a， ∴a+b+c+d=a+20-a＋24-a＋22-a=66-2a， ∵a、b、c、d都是正整数，且a＋b=20， ∴0<a<20， ∵a，b为正整数， ∴a的最小值为1，a的最大值为19， ∴当a=1时，a＋b＋c＋d的最大值M=66-2=64， 当a=19时，a＋b＋c＋d的最小值M=66-2×19=28， ∴M-N=64-28=36. 故答案为：D. 【分析】根据题意可得b=20-a，c=24-a，d=22-a，再将其代入a＋b＋c＋d中进行化简，然后根据a、b、c、d都是正整数，可即可得出答案. 4．【答案】C 【知识点】整式的加减运算；利用整式的加减运算化简求值 【解析】【解答】解：第3次操作后得到的整式串为m，n，n-m，-m，-n， 第4次操作后得到的整式串为m，n，n-m，-m，-n，-n+m 第5次操作后得到的整式串为m，n，n-m，-m，-n，-n+m，m， ...... ∴整式串以四次操作为一次循环，第四次操作后的整式和为0， ∵2023÷4=505...3， ∴第2023次操作后得到的整式中各项之和是m+n+n-m-m-n=n-m， 故答案为：C 【分析】运用整式的加减运算即可代数式的规律，进而结合题意即可求解。 5．【答案】A 【知识点】列式表示数量关系；整式的加减运算 【解析】【解答】解：设①号正方形边长为x，②号正方形边长为y，则③号正方形边长为 x+y ，④号正方形边长为 2x+y ，⑤号长方形长为 3x+y ，宽为 y-x ． 左上角阴影部分长为2x+y-y=2x ，宽为2x+y-(x+y)=x 右下角阴影是一个边长为x的正方形，所以两个阴影周长和为10x，跟①号周长有关． 故答案为：A. 【分析】设①号正方形边长为x，②号正方形边长为y，观察图1，分别表示出图③、④两个正方形的边长，图⑤长方形的长与宽，再观察图2，分别表示出左上角阴影部分长与宽，右下角阴影的边长，进而利用正方形及长方形周长的计算方法算出两个阴影部分的周长和即可得出答案. 6．【答案】A 【知识点】列式表示数量关系；整式的加减运算 【解析】【解答】解：设BC=n， 则S1=a（n-4b），S2=2b（n-a）， ∴S=S1-S2=a（n-4b）-2b（n-a）=（a-2b）n-2ab， ∵当BC的长度变化时，S的值不变， ∴S的取值与n无关， ∴a-2b=0， 即a=2b． 故答案为：A． 【分析】设BC=n，则S1=a（n-4b），S2=2b（n-a），再根据图形可得S=S1-S2=a（n-4b）-2b（n-a）=（a-2b）n-2ab，结合“当BC的长度变化时，S的值不变”可得a-2b=0，即可得到答案。 7．【答案】B 【知识点】列式表示数量关系；整式的加减运算 【解析】【解答】解：设①号正方形的边长为a，②号正方形的边长为b，则③号正方形的边长为a+b，④号正方形的边长为2a+b，⑤号长方形的长为3a+b，宽为b-a， 如图， ， ∴矩形ABCD的周长为 图1中大长方形的周长为： 图2中大长方形的周长为 ③号正方形周长为 ⑤号正方形周长为 所以，只有 不能得出 的值， 故答案为：B. 【分析】取点A、B、C、D，设①号正方形的边长为a，②号正方形的边长为b，则③号正方形的边长为a+b，④号正方形的边长为2a+b，⑤号长方形的长为3a+b，宽为b-a，观察图形可得没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，即2 (AB+AD)，然后用含a、b的代数式将此周长表示出来即可. 8．【答案】A 【知识点】绝对值及有理数的绝对值；列式表示数量关系；有理数的加法 【解析】【解答】解：设这两个数的较大数为a，较小数为b，即a>b， 则(|a-b|+a+b)=(a-b+a+b)=a， ∴30组的和最大值等于30个较大数的和， 则这30个值的和的最大值=31+32+···+60= =1365. 故答案为：A. 【分析】设这两个数的较大数为a，较小数为b，即a>b，然后将原式去绝对值并化简，结果为a，则可得出30组的和等于30个较大数的和，最后列式计算，即得结果. 9．【答案】D 【知识点】整式的加减运算；有理数的乘方法则 【解析】【解答】设a =1+5+52+53+…+52015，则5a=5（1+5+52+53+…+52015）=5+52+53+…+52015+52016， ∴5a-a=（5+52+53+…+52015+52016）-（1+5+52+53+…+52015）=52016-1， 即a= . 故答案为：D. 【分析】设a =1+5+52+53+…+52015①，可得5a=5（1+5+52+53+…+52015）=5+52+53+…+52015+52016②，利用②-①即可求出结论. 10．【答案】C 【知识点】绝对值的非负性；利用整式的加减运算化简求值 【解析】【解答】当a1>b1时，则有a3>a2>a1>b1 ， ∴ = + + =（a3+a2+a1）-（b1 ） =（6+5+4）-（3+2+1） =9； 当b3>a3时，则有b1 a3>a2>a1 ∴ = + + =（b1 ）-（a3+a2+a1） =（6+5+4）-（3+2+1） =9. 故答案为：C. 【分析】分a1>b1、b3>a3分别化简绝对值，计算可得结论. 11．【答案】①③ 【知识点】整式的加减运算 【解析】【解答】解：由题意得DA=CB=a+b＞c，①正确； 图4的周长为2（a+b-c+b+c-a）=4b，②错误； ∵图5是正方形， 又∵图5的一条边长为b-a，一条边长为c-b， ∴b-a=c-b， ∴，③正确； 长方形的周长为2（a+b+b+c）=2（a+2b+c），④错误； 故答案为：①③ 【分析】根据整式的加减结合边长进行分析即可求解。 12．【答案】0 【知识点】整式的加减运算；合并同类项法则及应用 【解析】【解答】解：∵， ∴ ， ∵结果与x的取值无关， ∴， 解得：， 则 故答案为：0． 【分析】先求出A-2B，再求出，最后计算求解即可。 13．【答案】2m+8n 【知识点】列式表示数量关系；整式的加减运算 【解析】【解答】解：“T”字型图形的周长为 （m+2n+2m）×2=2m+8n 故答案为：2m+8n 【分析】根据图1和图2，利用平移法可得到“T”字型图形的周长. 14．【答案】 【知识点】偶次方的非负性；利用整式的加减运算化简求值 【解析】【解答】解：∵m2+a=b+1，∴m2=b+1-a ∵n2+2b=2a+4 ∴n2=2a+4-2b ∴2n2=4a+8-4b ∴k=m2-2n2+3=（b+1-a）-（4a+8-4b）+3=5b-5a-7=5（b-a）-4 又∵m2=b+1-a≥0 ∴b-a≥-1 ∴k=5（b-a）-4≥-9 又∵n2=2a+4-2b≥0 ∴2a-2b≥-4 ∴a-b≥-2 ∴b-a≤2 ∴k=5（b-a）-4≤6 综上所述，故答案为-9≤k≤6 【分析】先通过移项，得到用含a、b的代数式表示出m2和n2，然后代入k的代数式中，消去m和n，变成用含a和b的代数式表示k的等式k=5（b-a）-4：.再根据平方的非负性，即m2=b+1-a≥0，n2=2a+4-2b≥0，得到b-a的取值范围，从而最后得到k的取值范围. 15．【答案】 【知识点】整式的加减运算 【解析】【解答】解：设图（1）中长方形的长为acm，宽为bcm，图（2）中长方形的宽为xcm，长为ycm， 由两个长方形ABCD的AD＝3b＋2y＝a＋x， ∴图（3）阴影部分周长为：2（3b＋2y＋DC−x）＝6b＋4y＋2DC−2x＝2a＋2x＋2DC−2x＝2a＋2DC， ∴图（4）阴影部分周长为：2（a＋x＋DC−3b）＝2a＋2x＋2DC−6b＝2a＋2x＋2DC−2（a＋x−2y）＝2DC＋4y， ∵两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样， ∴2a＋2DC＝2DC＋4y，a＝2y， ∵3b＋2y＝a＋x， ∴x＝3b， ∴S1：S2＝ab：xy＝2yb：3yb＝， 故答案是：. 【分析】设图（1）中长方形的长为acm，宽为bcm，图（2）中长方形的宽为xcm，长为ycm，结合图形分别求出图（3）、图（4）阴影部分周长，利用“两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样”建立等式，可得a＝2y，x＝3b，根据长方形的面积公式求其比值即可； 16．【答案】4 【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；整式的加减运算 【解析】【解答】解：根据题意，表示x到-1和3的距离之差，又-1和3的距离为，则 当时，； 当时，，则，此时无最大值； 当时，， 综上，的最大值为4， 故答案为：4． 【分析】|x+1|-|x-3|表示的意义是x到-1和3的距离之差，-1和3的距离为4；再分情况讨论：当x≤-1时，可求出|x+1|-|x-3|的值；当-1＜x＜3时，|x+1|-|x-3|无最大值；当x≥3时，可求出|x+1|-|x-3|的值为4，综上所述可得到|x+1|-|x-3|的最大值. 17．【答案】（1）解：∵A＝2x2＋3xy－2x－1，B＝x2－xy－1， ∴4A－(2B＋3A)=A-2B=2x2＋3xy－2x－1-2（x2－xy－1）=5xy-2x+1 （2）解：根据（1）得4A－(2B＋3A)=5xy-2x+1； ∵4A－(2B＋3A)的值与字母x的取值无关， ∴4A－(2B＋3A)=5xy-2x+1=（5y-2）x+1， 5y-2=0，则y= . 则y3+ A- B=y3+ （A-2B）=y3+ ×1= + = = . 【知识点】整式的加减运算 【解析】【分析】（1）由题意把A、B的值代入代数式，用去括号法则和合并同类项法则计算即可求解； （2）由（1）中的结果合并同类项，把含x的项合并在一起，根据代数式的值与字母x的值取值无关可得含x的项的系数为0可得关于y的方程，解方程可得y的值，则所求代数式的值可求解. 18．【答案】（1）5（a-b）6 （2）解：∵ ∴ （3）解：，， 则 【知识点】代数式求值；整式的加减运算；合并同类项法则及应用 【解析】【解答】解：（1）3（a-b）6-5（a-b）6+7（a-b）6 =（3-5+7）（a-b）6 =5（a-b）6， 故答案为：5（a-b）6； 【分析】（1）将(a-b)6看作整体，然后合并同类项即可； （2）待求式可变形为3(x2-2y)-2021，然后将已知条件代入进行计算； （3）将已知条件的前两个等式相加可得a-c的值，将已知条件的后两个等式相加可得2b-d的值，然后代入待求式中进行计算即可. 19．【答案】（1）2023； （2）解：由定义知，，，， （3）解： 与(k为常数)始终是数n的伴随数， ， 的值与x无关， ，解得， 即. 【知识点】代数式求值；整式的加减运算；多项式的项、系数与次数 【解析】【解答】解：（1）根据定义得：， ， 故2022与2023是关于-1的伴随数，与是关于2的伴随数， 故答案为：2023，； 【分析】（1）直接根据伴随数的定义列式计算即可； （2）根据伴随数的定义可得 ，，， 进而将待求式子去括号并利用加法的交换律和结合律重新组合后整体代入即可算出答案； （3）首先根据整式的减法求出A-B的值，进而根据伴随数的定义可得 ， 从而可得A-B的值与x的值无关，即含x项的系数为0，据此可求出k的值，进而即可求出n. 20．【答案】（1） 或（a+4b）（a+3b） （2）解：① ； ②∵右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S， ∴ ， ∵当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变， ∴当x的值变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变， ∴ ． 【知识点】列式表示数量关系；整式的加减运算；用字母表示数 【解析】【解答】（1）解：由题意得： ， 矩形ABCD的面积= = ， 故答案为： 或（a+4b）（a+3b）； 【分析】（1）根据拼图，得出矩形的长、宽，进而表示出面积即可； （2） ①根据矩形的对边相等，即AD=BC，再利用拼图中边长之间的关系得出答案；②用含x、a、b的代数式表示出S，由当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变， 得出 当x的值变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变， 即可得解。 21．【答案】（1）11 （2）100y+x （3）解：∵a表示一个两位数，b表示一个三位数， ∴把a放在b的左边组成一个五位数m＝1000a+b， 把b放在a的左边100b+a， ∴m-n＝（1000a+b）-（100b+a） ＝1000a+b-100b-a ＝999a-99b ＝9（111a-11b）， ∴m-n能被9整除． 【知识点】整式的加减运算 【解析】【解答】解：（1）设⋆＝a，Δ＝b， ∴10a+b+10b+a＝11a+11b＝11（a+b）， 由题意可知，a+b=11，该自然数为11. （2）∵x是两位数，y是一位数， ∴该三位数为：100y+x， 故答案为：100y+x； 【分析】（1）设⋆＝a，Δ＝b，用十位上的数字乘以10加上个位上的数字可以表示出这两个两位数，由整式加法法则算出这两个两位数的和，并将和由乘法分配律逆用进行变形为11（a+b），由两个两位数的和恰好为某自然数的平方即可得出答案； （2）根据放在两位数的左边就扩大100倍，故用百位上的数字y乘以100加上 ⋆△代表的两位数为x即可得出答案； （3） 根据放在三位数的左边扩大1000倍，放两位数的左边九扩大100倍， 故用a×1000＋b可表示出m，用100×b＋a可表示出n，进而根据整式加法法则算出m-n，将结果逆用乘法分配律变形得 9（111a-11b）即可判断得出答案. 22．【答案】（1）；；4 （2）5；或3 （3） （4）解：的值不会随着的变化而变化，理由如下： 根据题意得：，， ， 的值不会随着的变化而变化． 【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；整式的加减运算 【解析】【解答】解：（1）A点表示的数是；B点表示的数是；C点表示的数是． 故答案为：-1，-3，4； （2）； 设D表示的数为， ， ， 解得：或3， 点D表示的数为-5或3． 故答案为：5，-5或3； （3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为． 故答案为：； 【分析】（1）在数轴上将一个点若向左移动，则用减法，若向右移动，则用加法，利用各点的运动方向及单位长度，可得到点A，B，C表示的数； （2）利用点A表示的数是-1，点C表示的数是4，可求出AC的长；数轴上有点D，DA=4，可得到点D可能在点A的左边，也可能在点A的右边，列式计算，可求出点D表示的数； （3）利用点A表示的数是-1，向右移动x，可得到移动后表示的数； （4）根据点B，A，C的运动方向和速度，可表示出CA，AB的长，再求出CA-AB的值，若CA-AB的值为常数，则不变化，即可作出判断. 1 学科网（北京）股份有限公司 $