第32章 32.2.1 解直角三角形（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年九年级全一册数学分层练同步课件（人教版·新教材 广西专版）

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”核心知识点，系统梳理概念及直角三角形五个元素的关系，包括勾股定理、两锐角互余和边角关系，课堂导入通过关联勾股定理与锐角三角函数旧知，以已知元素求未知元素为线索搭建学习支架。 其亮点是分层设计母题变式与课堂练习，从已知两边、一边一锐角到一边和三角函数值逐步提升，方法总结培养推理能力，课堂10分钟即时巩固运算能力，用符号语言精准表达边角关系发展数学语言，助力学生提升应用意识，为教师提供结构化教学资源。

数 学 教材知识梳理 第三十二章 锐角三角函数 32.2 解直角三角形及其应用 32.2.1 解直角三角形 教材母题变式 课堂10分钟 1.解直角三角形的概念：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素：①_____条边和②_____个锐角.由直角三角形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三 角形. 三 两 2.直角三角形中五个元素之间的关系 如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B， ∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角∠C外 的五个元素之间有如下关系： (1)三边之间的关系：③____________(勾股定理)； (2)两锐角之间的关系：④__________________； a2＋b2＝c2 ∠A＋∠B＝90° (3)边角之间的关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB ＝⑤，tanA＝⑥，tanB＝⑦ . 利用这些关系，知道其中的两个元素(至少有一个 是⑧____)，就可以求出其余三个未知元素. 边 教材母题1 已知两边解直角三角形 例1 (教材P51例1改编)在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝2，解这个直角三角形. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得c＝＝4. ∵sinA＝＝＝，∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－60°＝30° . 已知两边解直角三角形的步骤： (1)由勾股定理求出第三边； (2)求出其中一个锐角的某一个三角函数值； (3)由三角函数值求角度(一般题目设置的是30°，45° 和60° 的特殊角，如果是非特殊角，需要借助计算器)； (4)另一锐角＝90°－ 该锐角. 教材母题2 已知一边和一锐角解直角三角形 例2 (教材P51例2改编)如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，求∠B的度 数及b，c的值. 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5， ∴∠B＝60°，c＝2a＝10，∴b＝＝＝5. 已知一边和一锐角解直角三角形的步骤： (1)由直角三角形中两锐角互余求出另一锐角； (2)利用三角函数或特殊三角形的边角关系或勾股定理求出其余两边长. 教材母题3 已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形 例3 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝2，解这个直角三角形. 解：∵cosA＝，∴∠A＝60° . ∵∠C＝90°，∴∠B＝90°－∠A＝30°， ∴AC＝AB＝1，∴BC＝＝. 已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形的步骤： (1)由三角函数值得出该锐角的度数，进而求出另一锐角的度数； (2)利用锐角三角函数的概念列式求得一条边的长，然后利用三角函数或勾股定理求出第三边的长. 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝4，则AB的长为(　　) A.4 B.8 C.8 D.12 B 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°，解这个直角三角形. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30° . ∵c＝8，∴b＝c•sin30°＝4， ∴a＝＝＝12. 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝30°，sinC＝，AC＝10，求AB，BC的长. 解：在Rt△ACD中，∵sinC＝＝，AC＝10， ∴AD＝AC＝6，∴CD＝＝8. 在Rt△ABD中，∠B＝30°， ∴AB＝2AD＝12，∴BD＝＝6， ∴BC＝BD＋CD＝6＋8. $