第25章 25.3 第1课时 数字、面积问题（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年九年级全一册数学分层练同步课件（人教版·新教材 广西专版）

该初中数学课件聚焦第二十五章一元二次方程中“实际问题与一元二次方程”第1课时，核心知识点为数字问题与面积问题的求解。通过教材知识梳理构建学习支架，先引导学生掌握数字问题中连续正整数直角三角形的设元与勾股定理应用，再梳理不同图形空白面积的表达式，帮助学生从基础概念过渡到实际问题解决。 其亮点在于以教材母题变式为核心，结合数字问题（两位数个位与十位数字关系、连续整数乘积求和）和面积问题（矩形铁丝围框、封面边衬设计、垂钓鱼塘通道宽度、靠墙养鸡场面积）等实例，培养学生用数学眼光抽象数量关系，用数学思维进行推理运算（如用判别式判断面积是否可围成），用数学语言构建方程模型。学生能提升应用能力，教师可借助分层练习素材提高教学效率。

数 学 教材知识梳理 第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 数字、面积问题 教材母题变式 课堂10分钟 1.数字问题：若存在三边长是三个连续正整数的直角三角形，设三边长分别为x，①_______，②_______，其中x为正整数，由勾股定理，得③_________________________. x＋1 x＋2 x2＋(x＋1)2＝(x＋2)2 2.面积问题：设阴影部分的宽为x，则图1中S空白＝④________ _________，图2中S空白＝⑤_______________，图3中S空白＝⑥_______________. (a－2x) (b－2x) (a－x)(b－x) (a－x)(b－x) 教材母题1 数字问题 例1 (教材P24T1改编)(1)一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是____； (2)三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是__________. 98 8，9，10 教材母题2 规则图形问题 例2 (教材P20例2改编)有一根长为40 cm的铁丝，用它围成一个矩形. (1)当矩形的面积为75 cm2时，求矩形的长和宽； 解：设矩形的长为x cm，则宽为(20－x)cm， 依题意，得x(20－x)＝75，解得x1＝5，x2＝15， ∴矩形的长为15 cm，宽为5 cm. (2)能围成面积为120 cm2的矩形吗？请说明理由. 解：不能围成面积为120 cm2的矩形，理由如下： 设矩形的长为y cm，则宽为(20－y)cm. 依题意，得y(20－y)＝120，整理，得y2－20y＋120＝0. ∵Δ＝(－20)2－4×120＝－80＜0，∴该方程无实数根，∴不能围成面积为120 cm2的矩形. 教材母题3 边框与甬道问题 例3 (教材P24T6改编)如图，要设计一本画册的 封面，封面长40 cm，宽30 cm，正中央是一个 与整个封面长、宽比例相同的矩形画.如果要 使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下 边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周 边衬的宽度？ 解：封面的长、宽之比为4∶3，则中央的矩形的长、宽之比也应为4∶3，设中央的矩形的长和宽分别是4x cm和3x cm，要使四周的边衬所占面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的.于是可列方程4x•3x＝×40×30，整理，得x2＝80，解得x＝4或x＝－4(不符合题意，舍去)，则上、下边衬的宽分别为＝(20－8)cm，左、右边衬的宽分别为＝(15－6)cm. 变式 如图，某农家乐老板计划在一块长130米、宽60米的空地开挖两块形状、大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5 750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为(　　) A.4.5米 B.5米 C.5.5米 D.6米 B 教材母题4 围墙问题 例4 (教材P28T9改编)某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33 m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15 m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示). (1)若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求养鸡场的长(AB)和宽(BC)； 解：设BC＝x m，则AB＝(33－3x)m， 依题意，得x(33－3x)＝90，解得x1＝6， x2＝5. 当x＝6时，33－3x＝15，符合题意； 当x＝5时，33－3x＝18，18＞15，不符合题意，舍去. 答：养鸡场的长(AB)为15 m，宽(BC)为6 m. (2)该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由. 解：不能，理由如下：设BC＝y m， 则AB＝(33－3y)m， 依题意，得y(33－3y)＝100，整理，得3y2－33y＋100＝0. ∵Δ＝(－33)2－4×3×100＝－111＜0， ∴该方程无实数根，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场. 1.一个两位数，十位数字比个位数字大2，把由这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为____. 31 2.如图，在一个长为60 m、宽为40 m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2 204m2，那么道路的宽为___m. 2 3.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，当所围矩形猪舍的长为____m、宽为___m时，猪舍面积为80m2. 10 8 $