第25章 25.2.2 第1课时 一元二次方程根的判别式（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年九年级全一册数学分层练同步课件（人教版·新教材 广西专版）

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，系统梳理Δ=b²-4ac的定义及根的三种情况，通过教材知识梳理导入，结合母题变式构建从基础定义到参数应用的学习支架，衔接降次解法与方程根的关系。 其亮点在于分层设计与易错点突破，以母题及变式训练培养数学思维（推理能力），通过二次项系数分类讨论强化数学语言（应用意识）。学生能巩固基础并提升解题逻辑，教师可依托系统练习高效开展分层教学。

数 学 教材知识梳理 第二十五章 一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.2 公式法 第1课时 一元二次方程根的判别式 教材母题变式 课堂10分钟 1.一元二次方程根的判别式：式子①__________可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用希腊字母“②______”表示，即③_______________. b2－4ac Δ Δ＝b2－4ac 2.一元二次方程的根有三种情况： 对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有④___________的实数根；当Δ＜0时，方程⑤_____实数根. 两个相等 无 教材母题1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 例1 (教材P17T4改编)利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况： (1)2x2＋3x－4＝0； 解：∵a＝2，b＝3，c＝－4， ∴Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根. (2)x2－2x＋3＝0； 解：∵a＝1，b＝－2，c＝3， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝0， ∴此方程有两个相等的实数根. (3)5(x2＋1)－7x＝0. 解：原方程可化为5x2－7x＋5＝0. ∵a＝5，b＝－7，c＝5， ∴Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×5×5＝－51＜0， ∴此方程没有实数根. 教材母题2 利用根的判别式确定参数的值或取值范围 例2 关于x的一元二次方程2x2＋x－k＝0有实数根，则k的取值范围是__________. 变式1 关于x的一元二次方程2x2＋x－k＝0无实数根，则k的取值范围为__________. 变式2 关于x的一元二次方程2x2＋x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为_______. 变式3 关于x的一元二次方程2x2＋x－k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________. k≥－ k＜－ － k＞－ 易错点 用一元二次方程根的判别式时忽略二次项系数不为0 例3若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是______________. 变式 关于x的方程kx2＋x－2＝0有实数根，求k的取值范围. 解：当k＝0时，方程为一元一次方程x－2＝0，此时方程有实数根，符合题意； 当k≠0时，方程为一元二次方程kx2＋x－2＝0，Δ＝12－4k×(－2)＝1＋8k. k＞－1且k≠0 由题意，得Δ≥0，即1＋8k≥0， 解得k≥－ ，∴k≥－ 且k≠0. 综上所述，k的取值范围为k≥－ . 用一元二次方程根的判别式时，一定不要忽略二次项系数不为0.若未说明原方程为一元二次方程，则一定要对二次项系数进行分类讨论，不要遗漏所给方程为一元一次方程的情况. 1.一元二次方程x2－x－2＝0的根的情况是(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 A 2.若方程x2－3x－k＝0有实数根，则常数k的值可以是(　　) A.－10 B.－5 C.－3 D.－1 D 3.若关于x的一元二次方程kx2－6x＋9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　) A.k＜1且k≠0 B.k≠0 C.k＜1 D.k＞1 A 4.利用一元二次方程根的判别式，判断下列方程根的情况： (1)4x2－3x－1＝0； 解：∵Δ＝(－3)2－4×4×(－1)＝25＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2－2x＋2＝0； 解：∵Δ＝(－2)2－4×1×2＝0， ∴方程有两个相等的实数根. (3)2x2－2x＋1＝0； 解：∵Δ＝(－2)2－4×2×1＝－4＜0， ∴方程没有实数根. (4)16x2＋8x＝－3. 解：将方程整理，得16x2＋8x＋3＝0. ∵Δ＝82－4×16×3＝－128＜0， ∴方程没有实数根. $