第17讲 对数（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第17讲 对数 预习目标 知识回顾 1．理解对数定义，分清底数、真数，掌握指数对数互化，熟记常用对数与自然对数记法。 2．牢记对数三条基础性质，明确零与负数无对数，能完成指数、对数形式相互转换计算。 3．熟练掌握对数加减、数乘运算性质，注意对数式有意义的前提条件，规范化简求值。 4．熟记对数换底公式及衍生推论，灵活换底简化对数运算，解决不同底数对数计算题型。 1．牢记指数函数标准解析式特征，掌握底数取值要求，能准确辨别指数函数，理解底数限制的原因。 2．分清a>1与0<a<1两种图像，掌握定义域、值域、定点、单调性及底数大小图像规律。 3．会分类讨论指数函数，借助图像性质比较指数式大小，熟练绘制简易指数函数图像。 新知导图 预习精讲 想一想 ①已知，如何求？我们引入减法 ②已知，如何求？我们引入除法 ③已知，如何求？我们引入开方 那已知，如何求？ 知识点01 对数的概念 1．对数的定义 一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2．常用对数与自然对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 3．指数与对数的互化 当时，. 4．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 【即学即练】 1．对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 知识点02 对数的运算 1．对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）； （3）． 注意 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 2．对数换底公式 若，且，则(，且)． 3．由换底公式推导的重要结论 （1）.（2）.（3） 【即学即练】 3．______． 4．求值：__________. 题型速练 题型01 对数的概念 【例1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】计算______． 必记结论 1.牢记对数定义：，底数且，真数，三者限制条件缺一不可。 2.分清各部分对应名称：为底数，为对数，为真数，指数式幂对应对数式真数。 3.熟记两类特殊对数：常用对数，自然对数，可直接简化书写。 4.掌握对数两条基础定值：、，遇到特殊真数可直接口算。 【小试牛刀】 【变式1-1】若有意义，则实数的取值范围是__________. 【变式1-2】下列选项中可以求对数的是（    ） A． B． C．0 D． 【变式1-3】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 指数式与对数式的互化 【例3】把指数式“”写成对数式__________. 【例4】已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 易错点 1.互化时底数写错，指数和真数位置颠倒，转换后等式不成立。 2.忽略底数、真数取值限制，转换后出现无意义的指数、对数式子。 3.遇到直接转换，忘记先替换成以10、为底的标准对数。 【小试牛刀】 【变式2-1】（多选）下列指数式与对数式互化正确的有（    ） A．与ln1=0 B．与 C．与 D．与 【变式2-2】若，则___________． 【变式2-3】已知，，则__________. 题型03 对数运算性质的应用 【例5】设，下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例6】已知函数，若，则实数________． 必记结论 1.熟练三条基础运算公式（）；；。 2.化简原则：积变和、商变差、幂变系数，复杂对数拆成简单对数再计算。 3.反向运用公式：同底数对数相加合并真数相乘，相减合并真数相除。 【小试牛刀】 【变式3-1】计算：______. 【变式3-2】若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】求的值． 题型04 换底公式的应用 【例7】已知，，则（     ） A． B． C． D． 【例8】设、为正数，若，且，则________． 必记结论 1.核心换底公式：，可任选合适底数统一对数。 2.高频衍生推论：；，简化多底数连乘、高次对数。 3.统一底数技巧：多个不同底数对数运算，统一换成10、或题目已知底数。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【变式4-2】若实数满足，则_________． 【变式4-3】已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型05 简单对数方程的求解 【例9】若，则________． 【例10】已知，则（   ） A． B． C． D． 易错点 1.解方程直接去掉对数符号，遗漏真数大于0的限制，出现增根。 2.换元后忘记隐含取值范围，解出负数未舍去，对应无意义对数。 3.对数常数转指数式时，指数幂计算出错，正负指数混淆。 4.多个对数合并解方程时，忽略合并前各真数均需大于0。 【小试牛刀】 【变式5-1】已知，则的值为___________． 【变式5-2】若，是方程的两个根，则（    ） A．23 B．27 C． D． 【变式5-3】甲、乙两位同学同时解关于的方程：．甲写错了常数，得两根及；乙写错了常数，得两根及64．若这个方程的真正的根为，则___________． 题型06 由已知对数求解或表示未知对数式 【例11】已知，，则可用表示为（   ） A． B． C． D． 【例12】已知，则用表示__________ 必记结论 1.目标：将所求对数拆分为题目给出的已知对数组合，利用运算性质拆分、合并。 2.次数转化：真数带乘方、开方，先转化为对数系数，再拆分加减。 3.底数不同时，先用换底公式统一底数，再结合已知对数代值计算。 4.分式、乘积型真数，先拆成对数加减，再代入已知数值化简。 【小试牛刀】 【变式6-1】已知，，用，表示为__________． 【变式6-2】已知，，试用表示为_______． 【变式6-3】已知，，则用，表示________. 3 基础过关 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．设，，若，则（    ） A． B． C． D．3 6．已知函数（为常数），若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 8．（多选）下列结论正确的有（   ） A． B． C． D．若，则. 9．若，则__________. 10．_______. 11．将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 12．计算下列各题： (1)； (2). (3). 能力提升 13．已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 14．（多选）已知正数满足，则（   ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为1 15．数学上用“”表示连乘运算，例如：．设函数，记，，则使成立的m的最小值为______． 16．若，且，，则__________. 17．已知为正数，且，则的取值范围是___________ 挑战一刻 18．设偶函数满足当时，，则（    ） A．26 B．27 C．28 D．29 19．设正实数，，同时满足，，，则的值为__________. 20．设集合，集合，则集合的元素个数为_____． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 对数 预习目标 知识回顾 1．理解对数定义，分清底数、真数，掌握指数对数互化，熟记常用对数与自然对数记法。 2．牢记对数三条基础性质，明确零与负数无对数，能完成指数、对数形式相互转换计算。 3．熟练掌握对数加减、数乘运算性质，注意对数式有意义的前提条件，规范化简求值。 4．熟记对数换底公式及衍生推论，灵活换底简化对数运算，解决不同底数对数计算题型。 1．牢记指数函数标准解析式特征，掌握底数取值要求，能准确辨别指数函数，理解底数限制的原因。 2．分清a>1与0<a<1两种图像，掌握定义域、值域、定点、单调性及底数大小图像规律。 3．会分类讨论指数函数，借助图像性质比较指数式大小，熟练绘制简易指数函数图像。 新知导图 预习精讲 想一想 ①已知，如何求？我们引入减法 ②已知，如何求？我们引入除法 ③已知，如何求？我们引入开方 那已知，如何求？ 知识点01 对数的概念 1．对数的定义 一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2．常用对数与自然对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 3．指数与对数的互化 当时，. 4．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 【即学即练】 1．对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 2．已知，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】由指对互化关系得. 故选：C 知识点02 对数的运算 1．对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）； （3）． 注意 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 2．对数换底公式 若，且，则(，且)． 3．由换底公式推导的重要结论 （1）.（2）.（3） 【即学即练】 3．______． 【答案】 【详解】 4．求值：__________. 【答案】 【详解】原式. 题型速练 题型01 对数的概念 【例1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则； 当时，不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 【例2】计算______． 【答案】0 【详解】. 故答案为：0 必记结论 1.牢记对数定义：，底数且，真数，三者限制条件缺一不可。 2.分清各部分对应名称：为底数，为对数，为真数，指数式幂对应对数式真数。 3.熟记两类特殊对数：常用对数，自然对数，可直接简化书写。 4.掌握对数两条基础定值：、，遇到特殊真数可直接口算。 【小试牛刀】 【变式1-1】若有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 【变式1-2】下列选项中可以求对数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】解：因为0和负数没有对数， 又，所以D正确． 故选：D. 【变式1-3】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)0 (3)5 (4)441 【分析】 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. （4）由题意可得：. 题型02 指数式与对数式的互化 【例3】把指数式“”写成对数式__________. 【答案】 【详解】由得：， 故答案为： 【例4】已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，又因为， 所以，所以， 则. 故选：B. 易错点 1.互化时底数写错，指数和真数位置颠倒，转换后等式不成立。 2.忽略底数、真数取值限制，转换后出现无意义的指数、对数式子。 3.遇到直接转换，忘记先替换成以10、为底的标准对数。 【小试牛刀】 【变式2-1】（多选）下列指数式与对数式互化正确的有（    ） A．与ln1=0 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【详解】A选项，化为，A选项正确； B选项，化为，B选项正确； C选项，化为，C选项错误； D选项，化为，D选项正确； 故选：ABD. 【变式2-2】若，则___________． 【答案】6 【详解】由，则，即. 故答案为：6. 【变式2-3】已知，，则__________. 【答案】 【详解】因为，则， 又因为，则. 故答案为：. 题型03 对数运算性质的应用 【例5】设，下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】对于①②③，由，令， ，①错误； ，②错误； ，③错误； 对于④，取，，④错误， 因此①②③④都错误. 【例6】已知函数，若，则实数________． 【答案】 10 【详解】由题意，故. 必记结论 1.熟练三条基础运算公式（）；；。 2.化简原则：积变和、商变差、幂变系数，复杂对数拆成简单对数再计算。 3.反向运用公式：同底数对数相加合并真数相乘，相减合并真数相除。 【小试牛刀】 【变式3-1】计算：______. 【答案】/ 【详解】原式. 【变式3-2】若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，，即. 由得，，即，所以. 所以. 【变式3-3】求的值． 【答案】104 【详解】∵， 原式. 题型04 换底公式的应用 【例7】已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因 ， 得 ，则 ，又， . 【例8】设、为正数，若，且，则________． 【答案】 【详解】因为、为正数，若，且，即，即， 即，即， 整理可得，即， 解得或，故有或，故. 必记结论 1.核心换底公式：，可任选合适底数统一对数。 2.高频衍生推论：；，简化多底数连乘、高次对数。 3.统一底数技巧：多个不同底数对数运算，统一换成10、或题目已知底数。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【答案】B 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 【变式4-2】若实数满足，则_________． 【答案】243 【分析】 【详解】，即，解得 由题知， 即，解得， 所以． 故答案为：243 【变式4-3】已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，得，，. 令（且），则，，； ； 且，. ，即； ，即，解得. 题型05 简单对数方程的求解 【例9】若，则________． 【答案】/0.125 【详解】因为，则， 可得，所以. 故答案为：. 【例10】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得．因为， 所以， 得． 易错点 1.解方程直接去掉对数符号，遗漏真数大于0的限制，出现增根。 2.换元后忘记隐含取值范围，解出负数未舍去，对应无意义对数。 3.对数常数转指数式时，指数幂计算出错，正负指数混淆。 4.多个对数合并解方程时，忽略合并前各真数均需大于0。 【小试牛刀】 【变式5-1】已知，则的值为___________． 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式5-2】若，是方程的两个根，则（    ） A．23 B．27 C． D． 【答案】C 【详解】可化为， 因为，是方程的两个根， 所以是方程的两根， 则， 则. 故选：C 【变式5-3】甲、乙两位同学同时解关于的方程：．甲写错了常数，得两根及；乙写错了常数，得两根及64．若这个方程的真正的根为，则___________． 【答案】 【详解】原方程可变形为： 甲写错了，得到根为及，； 又乙写错了常数，得到根为及，； 原方程为，即， 或，或. 所以. 故答案为：. 题型06 由已知对数求解或表示未知对数式 【例11】已知，，则可用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴，∴ . 故选：B. 【例12】已知，则用表示__________ 【答案】 【详解】由，可得， 则. 故答案为：. 必记结论 1.目标：将所求对数拆分为题目给出的已知对数组合，利用运算性质拆分、合并。 2.次数转化：真数带乘方、开方，先转化为对数系数，再拆分加减。 3.底数不同时，先用换底公式统一底数，再结合已知对数代值计算。 4.分式、乘积型真数，先拆成对数加减，再代入已知数值化简。 【小试牛刀】 【变式6-1】已知，，用，表示为__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 又， 所以. 【变式6-2】已知，，试用表示为_______． 【答案】 【详解】，， ． 故答案为： 【变式6-3】已知，，则用，表示________. 【答案】 【详解】. 故答案为： 3 基础过关 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，. 故选：A. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，故. 故选：C. 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以， 故选：D. 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 5．设，，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】令， 则，，，所以， 即，解得或（负值舍去）， 所以， 故选：D. 6．已知函数（为常数），若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，所以两式相除得. 7．（多选）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 8．（多选）下列结论正确的有（   ） A． B． C． D．若，则. 【答案】AC 【详解】对于A：， ， 所以，故A正确； 对于B：， ， 所以，故B错误； 对于C： ，故C正确； 对于D：因为， 所以，， 所以，故D错误. 故选：AC 9．若，则__________. 【答案】 【详解】，，又， . 故答案为：. 10．_______. 【答案】1 【详解】原式. 故答案为：1. 11．将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【详解】（1）由，得； （2）由，得； （3）由，得； （4）由，得. 12．计算下列各题： (1)； (2). (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2） （3） 能力提升 13．已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 【答案】D 【详解】设，则，由于，则， 故由可得，即， 解得，舍去， 故，即得， 又，则，即，结合，得， 故，则. 14．（多选）已知正数满足，则（   ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为1 【答案】AC 【详解】， 解得，即，选项A正确； ，即，则，所以的最小值为4，选项B错误； ，则， ， 当且仅当，时等号成立，即，选项C正确； ，当且仅当时成立， 而，则，所以取不到，选项D错误. 15．数学上用“”表示连乘运算，例如：．设函数，记，，则使成立的m的最小值为______． 【答案】 【详解】由， 则， 则，解得，或， 又，所以m的最小值为． 16．若，且，，则__________. 【答案】 【详解】根据题意，由，可得， 又，所以， 令，，则，， 所以可得①，②， 将②式通分，可得，即③， 将③式代入①式，可得，解得，即. 17．已知为正数，且，则的取值范围是___________ 【答案】 【详解】因为，所以， 则 设，则且关于的一元二次方程有实根， ，即， 则或，即或， 故的取值范围是 挑战一刻 18．设偶函数满足当时，，则（    ） A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】D 【详解】已知当时，， 当时，， 因为是偶函数，所以 在中，都满足，代入中可得 19．设正实数，，同时满足，，，则的值为__________. 【答案】 【详解】可化为，即，所以① 可化为，同理得②， 可化为，同理得③ 将①②③式相加得 得到，即，所以，所以. 20．设集合，集合，则集合的元素个数为_____． 【答案】68 【详解】设，则或4， 于是或．由于， 当时，，此时共有62个； 当时，，此时共有6个， 所以集合的元素个数为68． 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $