第14讲 函数的应用（一）（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第14讲 函数的应用（一） 预习目标 知识回顾 1．掌握一次、二次函数模型形式与图像单调性，会借助其求解最值类实际应用题。 2．熟练掌握幂函数两种建模方法，能根据题目条件写出对应幂函数解析式。 3．理解分段函数构成，熟记对勾函数定义域、奇偶、单调区间与最值相关性质。 4．能区分四类函数模型特征，结合题意选取合适模型解决各类函数实际问题。 1．掌握幂函数定义与判定条件，熟记常见幂函数基本性质，牢记定点(1,1)。 2．区分与两种情况，掌握幂函数在第一象限的图像增减、凹凸趋势。 3．熟练运用幂函数作图流程，结合奇偶性补全其余象限图像，规范画图。 新知导图 预习精讲 想一想 不少人对数学抱有刻板印象，觉得它枯燥乏味，在日常生活中没什么实用价值。但事实上，数学早已融入生活的方方面面，数学最初的诞生与发展，本就是为了解决各类现实生活需求。日常手机支付、林立的高楼建筑、神舟飞船顺利升空，背后全都依托数学知识与各类函数模型。我们所学的一次函数、二次函数、幂函数等，都和现实场景息息相关。 知识点01一次函数模型、二次函数模型 1．一次函数模型 标准形式： 解题核心要点： ①单调性由一次项系数决定，时函数单调递增；时函数单调递减。 ②函数图像为一条直线，常用来描述匀速变化类实际问题。 2．二次函数模型 标准形式： （1）最值求解方法：根据题意写出解析式后，既可以用配方法转化为顶点式快速求最值，也可借助开口方向、对称轴等图像性质计算。 （2）实际应用场景：解决利润最大值、材料用料最省、图形面积最值等实际问题。 【即学即练】 1．已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量（台）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数. (1)设每月获得的利润为（元），写出与之间的函数关系式. (2)规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少? 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）依题可知每台商品的销售利润为元，每月的销量为台， 所以每月获得的利润与销售单价之间的函数关系为. （2）由于每月获得的利润不得少于3000元，得， 化简得，解得. 由于销售单价不得高于25元， 故该商品的售价范围是 2．某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【详解】依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. 知识点02幂函数模型的应用 幂函数应用题有两种标准求解思路： 1.待定系数法：题目给出带未知参数的幂函数表达式，代入已知点坐标求解参数，确定完整函数解析式，再完成求值、分析等后续计算。 2.直接列式法：根据题干给出的变量数量关系，结合幂函数定义，直接写出对应的函数关系式。 【即学即练】 3．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【详解】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 知识点03分段函数模型 分段函数没有统一的解析式，模型的构成实质是由一次函数、反比例函数等基础函数组合而成。自变量落在不同取值区间时，对应不同的函数表达式，解题需先判断自变量所属区间，再选用对应函数计算。 【即学即练】 4．某城市居民生活用电实行阶梯电价，计费方法如下表： 每户每月用电量 电费单价 不超过150度的部分 0.5元/度 超过150度但不超过250度的部分 0.6元/度 超过250度的部分 0.8元/度 若某户居民某月交纳电费145元，则该月用电量为___________度． 【答案】 【详解】设该月用电量为度，缴纳电费元， 则， 即. 当时，最大值为；当时，最大值为； 因为某户居民某月交纳电费元，所以用电量应满足. 令，解得度. 故该月用电量为度. 知识点04对勾函数模型 1.定义 对勾函数也叫双勾函数，标准形式为（）。 2.性质 （1）定义域：{； （2）奇偶性：函数为奇函数，图像关于原点中心对称； （3）单调区间：在、上单调递减；在、上单调递增； （4）最值情况：时，取得最小值；时，取得最大值。 【即学即练】 5．某广场欲建一块的矩形绿地，在绿地的四周铺设2宽的人行道，如图所示．设矩形绿地的长为，绿地与人行道一共占地． (1)试写出关于的函数关系式； (2)求为何值时，占地面积最小． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，易知绿地与人行道的长为，宽为， 故，； （2）由基本不等式可知， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 故m时，占地面积的最小值为2916 题型速练 题型01 用一次、二次函数模型解决实际问题 【例1】一家图文广告公司制作的宣传画板颇受商家欢迎，这种画板的厚度忽略不计，形状均为正方形，边长在之间.每张画板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：）成正比例，每张画板的出售价（单位：元）是画板的边长的一次函数.在营销过程中得到了表格中的数据. 画板的边长 8 10 出售价（元/张） 148 160 (1)求一张画板的出售价与边长之间满足的函数关系式； (2)已知出售一张边长为画板，获得的利润为130元（利润出售价成本价）， ①求一张画板的利润与边长之间满足的函数关系式； ②当边长为多少时，出售一张画板所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①；②当正方形画板的边长为时，可获最大利润154元 【分析】 【详解】（1）设正方形画板的边长为，出售价为每张y元，且 由表格中的数据可得，， 解得 从而一张画板的出售价y与边长x之间满足函数关系式； （2）①设每张画板的成本价为，利润为w元， 则 当时，， ∴， 解得， ∴一张画板的利润w与边长x之间满足函数关系式； ②由，知当时，w有最大值，w最大值为154， 因此当正方形画板的边长为时，可获最大利润154元． 【例2】夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 【答案】(1)2450元 (2)元/件 【分析】 【详解】（1）由题意得，每件短袖补衫A的利润为（元）， 所以 ， 当时，取到最大值，最大值为2450元． （2）设A与的总利润为（单位：元）， 则， 得，得． 故打七折时，A售价最小，A售价的最小值为元/件． 【小试牛刀】 【变式1-1】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元/件）之间的关系满足一次函数：.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为______元/件. 【答案】42 【详解】设每天获得的销售利润为y元，则，， 所以当时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件. 故答案为：42 【变式1-2】某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）投入成本为，出厂价为，年销售量为， 则， 整理得． （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有， 即，解得， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 【变式1-3】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】 【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元， 销售量增加成后售出商品的数量为件， 则． 因为售价不能低于成本价，所以． 所以，定义域为． （2）由题意得，化简得， 解得，所以的取值范围是． 题型02 用幂函数模型解决实际问题 【例3】在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，设，由题意可得，解得，故， 当时，，解得， 故选：D. 【例4】美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【答案】(1)， (2)最大利润，生产B投入 【分析】 【详解】（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为. （2）由题意可知，，， 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万. 【小试牛刀】 【变式2-1】遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【详解】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 【变式2-2】科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【答案】D 【详解】依题意，设，由，得，则， 当时， ，所以． 故选：D 【变式2-3】党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【分析】 【详解】（1）由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 题型03 用分段函数模型解决实际问题 【例5】某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】B 【详解】∵从地出发，开汽车以千米/小时的速度 经小时到达地， ∴当时，； ∵在地停留小时， ∴当时，； 综上知，函数解析式是. 故选：B 【例6】某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)300台，最大利润为20000元 【分析】 【详解】（1）由题可知， 化简，得 （2）当时，， 所以当时，取最大值10000； 当时，在上单调递减， 所以， 故当时，取最大值20000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为20000元． 【小试牛刀】 【变式3-1】（多选）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】当万元时，由题知， 当万元时，由题知， 当元时， 由题知， 综上所述，A、B、C正确，D错误， 故选：ABC. 【变式3-2】（多选）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 【变式3-3】某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（总收益=总成本+利润.）. (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元 【分析】 【详解】（1）设月产量为台，利润为元，则总成本为元， 因， 则当时，； 当 时，. 故； （2）当时，， 所以当时，取得最大值25000； 当时，是减函数， 所以. 所以当时，的最大值为25000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元. 题型04 用对钩函数模型解决实际问题 【例7】如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1)； (2)，且时元. 【分析】 【详解】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以. （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 【例8】某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【答案】(1)，从第3年开始盈利 (2)7 【分析】 【详解】（1）由题意得， 令，得，而， 所以该设备从第3年开始使企业盈利. （2）当时，第 1 台设备使用了年，第 2 台设备使用了年， 前年的总盈利为 ， 则年平均盈利额， 由双勾函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，而， 所以当时，取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额最大时. 【小试牛刀】 【变式4-1】某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 【答案】 【详解】设楼房每平方米的平均综合费用为元，依题意得：，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值（元） 故答案为： 【变式4-2】某化工厂引进一条龙先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润. 【答案】(1)年产量为80吨时，平均成本最低为14万元/吨； (2)年产量为100吨时，最大利润为900万元. 【分析】 【详解】（1），， 当且仅当时，即取等号，符合题意； ∴年产量为80吨时，平均成本最低为14万元/吨. （2）， 又，当时，. 答：年产量为100吨时，最大利润为900万元. 【变式4-3】某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 【答案】(1)； (2)污水处理池长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 【分析】 【详解】（1）依题意污水处理池的长为米，则宽为米， 由题意可得，解得， 所以， 即； （2）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时， 因此，当污水处理池的长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 题型05 图表信息题 【例9】某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 【答案】A 【详解】设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元， 当时，； 当时，，优惠金额； 当时，， 优惠金额为， 而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此， 解得，所以王先生购物实际付款（元）. 故选：A 【例10】如图，互相垂直的两条小路，旁有一长方形花坛，其中，．现欲经过点C修一条直路l，l交小路，分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛，要求的长不小于且不大于．记三角形花坛的面积为． (1)设，试用x表示，并求x的取值范围； (2)当长是多少时，S取最大和最小值？最大和最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)时，S最小值为；当时，S最大值为 【分析】 【详解】（1）依题意可得∽，则有， 即，可得，因此． 又要求的长不小于且不大于，即， 解得，即，． （2）由图知， 所以， 单调递减；单调递增； 由对勾函数可得： 当时，S取得最小值2400， 当时，S取值2500， 当时，S取值3750， 因此当时，S取得最小值，最小值为． 因此当时，S取得最大值，最大值为． 【小试牛刀】 【变式5-1】为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过的部分但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 甲用户某月缴纳的水费为54元，则甲用户该月的用水量（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【详解】设用水量为，水价为元， 则， 整理得到：， 当时，；时，；时，. 故甲户本月缴纳的水费为54元，则用水量应满足， 令，解得，即甲用户该月的用水量为. 故选：D 【变式5-2】某地为了改善中小型企业经营困难的情况，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业．某企业A在产业升级前后的数据如下表： A企业 产量万件 投入成本万元 销售单价元/件 产业升级前 2 45 30 完成产业升级后， 获补贴x万元， 产量 为升级后产量 若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本． (1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少万元？ (2)企业向政府申请多少专项基金补贴时，所获收益最大，最大收益是多少万元？ 【答案】(1)万元 (2)当政府补贴为万元时，所获收益最大，最大收益为33万元 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，当该企业没有政府补贴时，收益销售金额成本， 即：万元； （2）解：设获政府补贴万元时，收益为万元， 则，其中， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以不是申请的政府补贴越多，收益越大，当政府补贴为万元时，所获收益最大，最大收益为33万元． 【变式5-3】眼下正是栗子成熟热销的季节，尤其是“糖炒栗子”，更是受到广大消费者的喜爱，一家名叫“甘甜美栗”的店为促销糖炒栗子，提供了多购优惠的阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的糖炒栗子质量/kg 糖炒栗子单价/（元/kg） 不超过的部分 36 超过但不超过的部分 30 超过的部分 24 记顾客购买的糖炒栗子的质量为，消费额为元． (1)求函数的解析式； (2)一位顾客第一天购买了糖炒栗子，品尝后觉得味道很好，第二天便带着一个朋友来购买糖炒栗子，他想买，朋友想买，两人商量着一起购买，请帮他们计算一下，两人合伙购买比他们各自购买节省了多少钱． 【答案】(1) (2)两人合伙购买比他们各自购买节省了18元钱. 【分析】 【详解】（1）由题意可知，当时，； 当时，； 当时，. 故 （2）由（1）可知， 当两人各自购买时，消费总额为（元）， 当两人合伙购买时，消费总额为（元）， （元）， 所以两人合伙购买比他们各自购买节省了18元钱. 基础过关 1．国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【详解】解：由题意，顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元 所以，， 所以， 所以在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计元. 故选：D. 2．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 有一智能公司员工十月份工资､薪金所得18000元，则该员工十月份应缴纳个税为（    ）元. A．990 B．1190 C．1490 D．2190 【答案】B 【详解】收入是18000元，根据缴纳个税规定分四段， 第一段5000元不缴税； 第二段3000元缴税为； 第三段9000元缴税为； 第四段1000元缴税为； 所以该职工10月份应缴纳个税为：元 故选：B. 3．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B 4．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 【答案】AC 【详解】依题意可设，为常数． 当气体在半径为5的管道中时，流量为，所以，解得， 则．当时，，故A正确，B错误． 由，解得，故C正确，D错误． 故选：AC. 5．国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 【答案】AC 【详解】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场， 所以选项A正确； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为， ，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为 ，因为，所以 故，所以应进乙商场，所以选项C正确； 假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为， 所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误. 故选：AC 6．为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示： 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 【答案】 【详解】由题知，该数据中心年度碳排放量为， 因为， 所以该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为元. 故答案为： 7．商店经销某种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元，全年分若干次进货，每次进货量均为包，已知每次进货的运输劳务费用为62.5元，全年保管费用为元．为了使利润最大，每次应进货多少包？并求出最大利润． 【答案】每次应进货500包，最大利润为元. 【详解】依题意，全年共进货次，全年销售利润元， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以为了使利润最大化，每次应进货500包，最大利润为元. 8．某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 【答案】(1) (2)，元 【分析】 【详解】（1）由得，解得或. 因为，所以. （2）解法一：生产该产品所需时间为h， 所以生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 所以当时，取得最大值，利润最大值为， 故该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 解法二：生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 令， 则当时，取得最大值，此时. 因为， 所以该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 9．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元 【分析】 【详解】（1）由题意知，当月产量为台时，增加投入为元， 所以，又， 所以 （2）因为且， 所以     ， ①当时， ， 当且仅当时，即时取等号，此时的最大值为100．     ②当时，则在上单调递减， 所以．     综上，当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元． 10．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 【答案】(1) (2)立方米 【分析】 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，关于的函数解析式为. （2）由（1）可知，当时，， 当时，， 当时，， 因此当月缴纳的水费为元时，用水量， 所以，解得（立方米）， 答：此户居民本月用水量为立方米. 11．最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫健委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完，写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. 【答案】 【详解】当时， ， 当时， ， 故 12．中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额） 【答案】(1)，（，且），从第3年开始盈利 (2)方案①比较合理，理由见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可得，，代入得，解得， 所以 所以，（，且） 令，解得， 因为，所以， 故从第3年开始盈利. （2）      当且仅当，即时等号成立，    故第7年，年平均盈利额达到最大值，      工厂共获利万元； 由， 当时，，                故第10年，盈利额达到最大值，工厂获利万元， 因为两个方案中盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短， 故方案①比较合理. 能力提升 13．某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意可得：  ，做出图象，选D. 14．一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示.某天从到，该水池的蓄水量如图丙所示，则下列说法正确的有（    ） A．到只进水不出水 B．到不进水只出水 C．到有一个进水口关闭 D．到不进水不出水 【答案】AC 【详解】由甲、乙两图可得进水速度为1，出水速度为2， 由图丙知到的蓄水量为，即每小时的进水量为， 所以到只进水不出水，A正确； 由图丙知，到蓄水量减少了， 所以有一个进水口进水，同时出水口出水，即有一个进水口关闭，故B错误，C正确； 由图丙知，到蓄水量不变，所以可能是不进水也不出水， 也可能是2个进水口进水，同时1个出水口出水，故D错误. 故选：AC. 15．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【分析】 【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 16．新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）： (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)30千台，最大利润是6560万元 【分析】 【详解】（1）销售额为万元， 当时， ， 当时，， 所以； （2）当时，， 当时，万元， 当时，单调递减， 所以时，万元. 综上，当2025年年产量为30千台时，企业所获利润最大，最大利润是6560万元. 挑战一刻 17．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 故答案为： 18．某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【答案】(1)， (2)（i）万元；（ii）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元 【分析】 【详解】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 19．中国队的熊猫受到了各国友人的喜爱，造成了一难求的局面，通过市场分析，对熊猫而言，某企业每生产（万件）获利（万元），且满足，2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调查分析得知，当前熊猫供不应求.记该企业2024的8月优化后的产品的利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当2024年8月优化后的产品产量为多少万件时，该企业8月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】(1) (2)当2024年8月优化后的产品产量为万件时，该企业8月的利润最大，最大利润是万元 【分析】 【详解】（1）由题意得， 又， 所以. （2）当时，， 在上单调递减，在上单调递增，图象对称轴为， 则当时，取得最大值； 当时， ， 当且仅当，即时，取得最大值. 因为，所以的最大值为， 故当2024年8月优化后的产品产量为万件时，该企业8月的利润最大，最大利润是万元． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 函数的应用（一） 预习目标 知识回顾 1．掌握一次、二次函数模型形式与图像单调性，会借助其求解最值类实际应用题。 2．熟练掌握幂函数两种建模方法，能根据题目条件写出对应幂函数解析式。 3．理解分段函数构成，熟记对勾函数定义域、奇偶、单调区间与最值相关性质。 4．能区分四类函数模型特征，结合题意选取合适模型解决各类函数实际问题。 1．掌握幂函数定义与判定条件，熟记常见幂函数基本性质，牢记定点(1,1)。 2．区分与两种情况，掌握幂函数在第一象限的图像增减、凹凸趋势。 3．熟练运用幂函数作图流程，结合奇偶性补全其余象限图像，规范画图。 新知导图 预习精讲 想一想 不少人对数学抱有刻板印象，觉得它枯燥乏味，在日常生活中没什么实用价值。但事实上，数学早已融入生活的方方面面，数学最初的诞生与发展，本就是为了解决各类现实生活需求。日常手机支付、林立的高楼建筑、神舟飞船顺利升空，背后全都依托数学知识与各类函数模型。我们所学的一次函数、二次函数、幂函数等，都和现实场景息息相关。 知识点01一次函数模型、二次函数模型 1．一次函数模型 标准形式： 解题核心要点： ①单调性由一次项系数决定，时函数单调递增；时函数单调递减。 ②函数图像为一条直线，常用来描述匀速变化类实际问题。 2．二次函数模型 标准形式： （1）最值求解方法：根据题意写出解析式后，既可以用配方法转化为顶点式快速求最值，也可借助开口方向、对称轴等图像性质计算。 （2）实际应用场景：解决利润最大值、材料用料最省、图形面积最值等实际问题。 【即学即练】 1．已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量（台）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数. (1)设每月获得的利润为（元），写出与之间的函数关系式. (2)规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少? 2．某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 知识点02幂函数模型的应用 幂函数应用题有两种标准求解思路： 1.待定系数法：题目给出带未知参数的幂函数表达式，代入已知点坐标求解参数，确定完整函数解析式，再完成求值、分析等后续计算。 2.直接列式法：根据题干给出的变量数量关系，结合幂函数定义，直接写出对应的函数关系式。 【即学即练】 3．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 知识点03分段函数模型 分段函数没有统一的解析式，模型的构成实质是由一次函数、反比例函数等基础函数组合而成。自变量落在不同取值区间时，对应不同的函数表达式，解题需先判断自变量所属区间，再选用对应函数计算。 【即学即练】 4．某城市居民生活用电实行阶梯电价，计费方法如下表： 每户每月用电量 电费单价 不超过150度的部分 0.5元/度 超过150度但不超过250度的部分 0.6元/度 超过250度的部分 0.8元/度 若某户居民某月交纳电费145元，则该月用电量为___________度． 知识点04对勾函数模型 1.定义 对勾函数也叫双勾函数，标准形式为（）。 2.性质 （1）定义域：{； （2）奇偶性：函数为奇函数，图像关于原点中心对称； （3）单调区间：在、上单调递减；在、上单调递增； （4）最值情况：时，取得最小值；时，取得最大值。 【即学即练】 5．某广场欲建一块的矩形绿地，在绿地的四周铺设2宽的人行道，如图所示．设矩形绿地的长为，绿地与人行道一共占地． (1)试写出关于的函数关系式； (2)求为何值时，占地面积最小． 题型速练 题型01 用一次、二次函数模型解决实际问题 【例1】一家图文广告公司制作的宣传画板颇受商家欢迎，这种画板的厚度忽略不计，形状均为正方形，边长在之间.每张画板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：）成正比例，每张画板的出售价（单位：元）是画板的边长的一次函数.在营销过程中得到了表格中的数据. 画板的边长 8 10 出售价（元/张） 148 160 (1)求一张画板的出售价与边长之间满足的函数关系式； (2)已知出售一张边长为画板，获得的利润为130元（利润出售价成本价）， ①求一张画板的利润与边长之间满足的函数关系式； ②当边长为多少时，出售一张画板所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【例2】夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 【小试牛刀】 【变式1-1】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元/件）之间的关系满足一次函数：.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为______元/件. 【变式1-2】某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【变式1-3】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 题型02 用幂函数模型解决实际问题 【例3】在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例4】美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【小试牛刀】 【变式2-1】遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【变式2-2】科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【变式2-3】党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 题型03 用分段函数模型解决实际问题 【例5】某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【例6】某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【小试牛刀】 【变式3-1】（多选）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【变式3-3】某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（总收益=总成本+利润.）. (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 题型04 用对钩函数模型解决实际问题 【例7】如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【例8】某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【小试牛刀】 【变式4-1】某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 【变式4-2】某化工厂引进一条龙先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润. 【变式4-3】某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 题型05 图表信息题 【例9】某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 【例10】如图，互相垂直的两条小路，旁有一长方形花坛，其中，．现欲经过点C修一条直路l，l交小路，分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛，要求的长不小于且不大于．记三角形花坛的面积为． (1)设，试用x表示，并求x的取值范围； (2)当长是多少时，S取最大和最小值？最大和最小值是多少？ 【小试牛刀】 【变式5-1】为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过的部分但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 甲用户某月缴纳的水费为54元，则甲用户该月的用水量（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式5-2】某地为了改善中小型企业经营困难的情况，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业．某企业A在产业升级前后的数据如下表： A企业 产量万件 投入成本万元 销售单价元/件 产业升级前 2 45 30 完成产业升级后， 获补贴x万元， 产量 为升级后产量 若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本． (1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少万元？ (2)企业向政府申请多少专项基金补贴时，所获收益最大，最大收益是多少万元？ 【变式5-3】眼下正是栗子成熟热销的季节，尤其是“糖炒栗子”，更是受到广大消费者的喜爱，一家名叫“甘甜美栗”的店为促销糖炒栗子，提供了多购优惠的阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的糖炒栗子质量/kg 糖炒栗子单价/（元/kg） 不超过的部分 36 超过但不超过的部分 30 超过的部分 24 记顾客购买的糖炒栗子的质量为，消费额为元． (1)求函数的解析式； (2)一位顾客第一天购买了糖炒栗子，品尝后觉得味道很好，第二天便带着一个朋友来购买糖炒栗子，他想买，朋友想买，两人商量着一起购买，请帮他们计算一下，两人合伙购买比他们各自购买节省了多少钱． 基础过关 1．国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 有一智能公司员工十月份工资､薪金所得18000元，则该员工十月份应缴纳个税为（    ）元. A．990 B．1190 C．1490 D．2190 3．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 4．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 5．国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 6．为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示： 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 7．商店经销某种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元，全年分若干次进货，每次进货量均为包，已知每次进货的运输劳务费用为62.5元，全年保管费用为元．为了使利润最大，每次应进货多少包？并求出最大利润． 8．某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 9．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 10．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 11．最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫健委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完，写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. 12．中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额） 能力提升 13．某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 14．一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示.某天从到，该水池的蓄水量如图丙所示，则下列说法正确的有（    ） A．到只进水不出水 B．到不进水只出水 C．到有一个进水口关闭 D．到不进水不出水 15．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 16．新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）： (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 挑战一刻 17．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 18．某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 19．中国队的熊猫受到了各国友人的喜爱，造成了一难求的局面，通过市场分析，对熊猫而言，某企业每生产（万件）获利（万元），且满足，2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调查分析得知，当前熊猫供不应求.记该企业2024的8月优化后的产品的利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当2024年8月优化后的产品产量为多少万件时，该企业8月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $