7.4 直线与圆锥曲线的位置关系 2022-2023高考题源拓展测试-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

题源1直线与圆锥曲线的位置关系（★★★★★） 12022·全国)已知椭圆C名+1(a>b>0)的离 心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于 A、B两点若A下=3FB,则k= () A.1 B.√2 C.√3 D.2 2.(2021·全国Ⅱ)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点.若|FA=2|FB|, 则k等于 ( 1 A.3 3 c号 D.21 3 3.(2018·山东)设直线1：2x+y十2=0关于原点对称的直 线为1'，若1'与椭圆x+ =1的交点为A、B,点P为椭圆上 4 的动点，则使△PAB的面积为，的点P的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2021·宁海)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为 F(1,0),直线1与抛物线C相交于A,B两点若AB的中点为 (2,2),则直线1的方程为 5.(2021·山东)设m∈R,在平面直角坐标系中，已知向量 a=(m.x,y+1),向量b=(x,y-1),且a⊥b,动点M(x,y)的 轨迹为E (1)求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状； (2)已知m=子证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任 意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O为坐 标原点)，并求该圆的方程. 题源2直线与圆锥曲线相交 弦长问题（★★★★★） 6.(2020·全国Ⅱ)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过 F且斜率为1的直线交C于A、B两点.设|FAI>|FB,则|FA 与|FB|的比值等于 一、选择题（本题包括8小题，每小题2.5分，共20分。每小题 只有一个选项符合题意) 1,(心1)过点(2,4)作直线与抛物线y2=8.x只有一个公共 点，这样的直线有 ·1 71.(2020·宁海过黄图号+兰=1右焦点作一条科率为2 的直线与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积 为 8.(2021·福建)已知直线x-2)+2=0经过椭圆C:+ =1(>b>0)的左顶点A和上顶点D.椭圆C的右顶点为B, y 点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线1：z 一号分别交于MN两点 (1)求椭圆C的方程； (2)求线段MN的长度的最小值； (3)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样 的点T,使得△TSB的面积为5？若存在，确定点T的个数；若 不存在，请说明理由. 2022一2023高考题源拓展测试 D未来高考还会这样考， (测试时间：90分钟总分：100分) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 2.(☐2)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一条直线1 交抛物线于A(x,y1)、B(x:y)两点，则1Y等于 () TT2 A.-4 B.4 C.-p2 D. 3.(心2)若椭圆后+号=1的弦被点(4,2)平分，则此弦所 在直线的斜率为 () A.2 B.-2 c D- 4.(1.2)直线1：x一2y十2=0过椭圆的左焦点F1和一个 顶点B1,该椭圆的离心率为 (） A 号 C⑤ 5 D.26 5 5.(G1)两条渐近线为x十2y=0,x-2y=0,且截直线x 一3=0所得弦长为？的双曲线方程为 () A. 2 4一y2=4 号y=1 C. 41 61已知AB是双鹿线号若=1a>06>0)中过右 焦点F的弦，且A、B均在双曲线的右支上，则以AB为直径的 圆与右准线1的位置关系是 A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定 7.(们1.2)已知直线1：y=x-1与椭圆x2+2y2=2交于 A,B两点，且B点在x轴的上方，设F1为该椭圆的左焦点，则 |FB|的长为 A.2+23 3 B.2-23 3 C.5 3 0② 3 (心1)F1E:分别是双曲线：-6=1的左、右焦 是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P,G 是△PF1F:的重心，若GA·F1F2=O,则双曲线的离心率是 A.2 B.√2 C.3 D.3 二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分） 9.(了2)直线y=x一1被抛物线y=4x截得的线段的中 点坐标是 10.(①1.2)两条渐近线为x十2y=0,x一2y=0,则截直线 工一y二3=0所得弦长为3的双曲线方程为 11.(了2)已知抛物线y2=4x的焦点为F,AB是过焦点F 的弦.且AB的倾斜角为30°，则△OAB的面积为 12.(守1)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线1与抛 物线在第一象限的交点为A,与抛物线准线的交点为B,点A在 抛物线准线上的射影为C,若A下=FB,BA·BC=48,则抛物线 的方程为 三、解答题（本题包括5小题，每小题12分，共60分） 13.(g1)已知双曲线x2一y2=4,直线1：y=(x一1)，讨 论直线与双曲线公共点个数， 14.(▣1.2)若在抛物线y2=2x上存在相异两点关于直线 l:y=m(x一2)对称，求实数m的取值范围. ·1& 15.(了2)已知双曲线方程2x一y2=2. (1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线的方程； (2)过点B(1,1)能否作直线1，使1与所给双曲线交于Q1, Q:两点，且点B是弦QQ:的中点？如果存在，求出它的方程； 如果不存在，请说明理由. 16.(位12)已知椭圆C:二+片=1(a>6>0),直线：2 言-1被椭园C截得的弦长为2厄，过椭园C的右焦点且料 率为的宜线1：被椭圆C截得的弦长是辅圆长轴长的号，求椭 圆C的方程. y 17,。1,2)已知椭圆C:十1(a>6>0)的长轴长 为4. (1)若以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y= x十2相切，求椭圆焦点坐标： (2)若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线1与椭圆 交于MN两点，直线PM,PN的斜率乘积为一子，求椭因的 方程 3·则ksA·ksB= yM· yN_9yMyN 10, 64 4， 、之32 16 ·yM·(-yN)= 9 故|MN|=yM+(-yN)≥2√yM·(-yN) 8 3 当且仅当yM=(一yN)= 时等号成立。 即MN的长度的最小值为号 (3)由(2)可知，当MN取最小值时， (g-音) ,B(2,0)∴kBs=kBN=-1. 此时BS的方程为x十y一2=0， 5停)s1-g 设与直线BS平行的直线方程为x十y十t=0. x十y+t=0, 迪+y 得5.x2+8tx+4t2-4=0. 当直线与椭圆C有唯一公共点时， 有△=64t-20(4t2-4)=0,解得t=士V5. 当t=√5时，两平行直线BS:x+y一2=0与l1: x+y+5=0间的距离d,=5+2 √2 当t=一√5时，两平行直线BS:x+y一2=0与 1:x十)-5=0的间的距离d,=5二2 ,S△TsB= ·且1BS1=,枚△TSB在BS 边上的高d= 4 d2<d<d1,.椭圆C上存在两个不同的点 T,使得△TSB的面积等于5： 即线段MN的长度最小时，椭圆C上仅存在两 个不同的点T,使得△TSB的面积等于号 2012一2013高考题源拓展测试 1.B2.A3.D ·1 4.D【解析】，x-2y+2=0,.y= 2x+ +1. ai-c..e 2 4 c=2w5 5.A 6.C【解析】如右图， d 由双曲线定义知： IABI=IAFI+IBFI= ed +ed:. 设弦AB中点为M,它到 准线I的距离为MN,则 MN三7d,+d,从而有AB=e(d+d:)=e· 2MNI. ÷MN1--·RR=合AB :e>1,.lMN1=1·R<R. e 7.C8.C 9.82)10天-y=1 11.412.y2=4x 13.解：联立方程组=kx一1)， 消去y,得 x2-y2=4. (1-k2)x2+2k2x-k2-4=0 (￥) (1)当1-k2=0时，即k=士1，方程(*)化为2x =5,方程组有唯一解. 故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲 线渐近线平行。 (2)当1-k2≠0，即k≠士1时，由△=4(4-3k2) 一0得，23<k<23且k≠±1时，方程(*)有 3 两解，方程组有两解。 故直线与双曲线有两个交点， (3)当1-k2≠0，由△=4(4-3k2)=0得，k= 士2时方程组有唯一解，叔直线与双曲线只有 个公共点，此时直线与双曲线相切. (4)当1-k2≠0，由△=4(4-3k2)<0得k< 或>2号方层且无那，友直与双由线 0 无交点. 综上所述，当=士1或k=士时，直线与双 曲线有一个公共点：当23<<-1或1<6幻 或1<k<23月 3时，直线与双曲线有两个公共点：当 2成>2时直线与双由线无公关点 【点评】研究直线与双曲线位置关系时，应注意 讨论二次项系数为0和不为0的两种情况， 14.解：若m=0,则直线1为y=0,显然抛物线 上存在两点关于直线1对称； 若m≠0，设A(x1,y1)、B(x2,y2),为抛物线上 关于1对称的两点，且x1≠x2y1≠y my=2x1y=2z,两式相减，得 (y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x:), 即1一y=2 1 zI-z2 yi+y:m ∴y1十y:=一2m.由线段AB的中点P在直线 l上， 得=m 2 - :十2=1，故P(1,-m). 2 解法-：直线AB方程为y十m=一1 (x一1). 7 将x=1-m2-my代入y2=2x: 得y2十2my+2m2-2=0. :y1≠y2· .△=4m2-4(2m2-2)>0,得√2<m<√2 (m≠0). 综上讨论，m的取值范围是（一√2，√2）. 解法二：求得弦AB的中点P(1,-m)后，点P 应在抛物线内部（包含焦点），得（一m)<2×1,得 -√瓦<m<√瓦. 15.解：(1)设A(2,1)的中点弦的两个端点分别 为P1(x1,y1),P2（x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2 =2 2x一y=2,2x-y=2,两式相减得： .2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2) =0, 。1 .2×4(x1-x2)-2(y1-y:)=0, :二业=4故所求中点弦所在直线方程为y x1一xg -1=4(x-2),即4x-y-7=0. (2)假定直线1存在，可求出1的方程为2x一y 一1=0. 联立方程2x-y-2, 消去y得2x2-4x+3 (2.x-y-1=0 =0. 显然△=（一4）2一4×2×3=一8<0，即方程无 实根，因此直线1与双曲线无交点，直线！不存在. 【点评】“点差法”使用的前提是以该点为中点 的弦存在，因此利用代点法求出的弦所在直线方程还 要受到判别式的检验. 16.解法一：由l1被C截得弦长为2√2，得a2+ b2=8. ① 设1：y=3(x一c),代入C的方程化简得 (b2+3a2)x2-6a2cx+a2(3c2-b2)=0. 由韦达定理得x1十x2= 6a'c b2+3a3,1: =a(3c2-62) b2+3a2 从而|x1一x2|=√(x1十x2)2-4x1x2 4a'(3c-b2)4ab2 b2+3a2 b2+3a2 则由弦长公式，得 Aab2 +3a·V√1+3= 5 化简得a2=3b2. ② 联立D@得a=6,6=2故椭园C的方程为 6 =1 2 6a'c 解法二：同上得x1十x,一62+3a· 由1：过右焦点，及焦半径公式得弦长为 6a-c 2a-e(x1+x2)=2a- 8ab2 ab2+3a2b2+3a2· 由题意得，8a6 b2十3一4“，化简得a=3b.以下同 解法一， 2 17.解：(1)由直线与圆相切知： =b,得b W1+1 =√2由2a=4,得a=2,则c2=a2-b2=4-2=2, 两个焦点坐标为（一√2,0），（√2,0）. (2)由于过原点的直线1与椭圆的两个交点关于 原点对称，不妨设：M(xa,y。),N(一xo,一y),P x2,y2 +左=1 (x,y).,M,P在椭圆上，.满足 ,相减 x6,y +6-1 y2-y8B2 得：一 。 ,由题意知PM,PN斜率存在，则 k PM= =)二义，kpN= ,kPM·kpN= y-yo. x-to x十x I-o y+y。_y2-yb2 1 x十x0x2-x8 a2 -4,由a=2,得b=1, 所求的椭园方程为+y=1。 §7.5圆锥曲线的综合问题 五年高考母题原型训练 1.D【解析】点P到直线x=一1的距离比 它到(2,0)的距离小1，所以等价于点P到直线x= 一2的距离等于它到(2,0)的距离，转化为圆锥曲线 的统一定义，本题属于容易题，主要考查学生对圆锥 曲线的定义的理解 2.B【解析】考查点的轨迹问题，椭圆的几何 意义，考查空间想象能力以及分析转化的能力，由条 件知动点P到斜线段AB的距离为定值记为d,所求 轨迹就是平面a斜裁一个以AB为轴、以d为半径的 圆柱表面得到的截面，为一个椭圆. 犀：=日-√g-92- a31 又由原点到直线y=x十2的距离等于圆的半 径，得b=√2，a=√3. (2)(方法一)由c=√a-b2=1得F1(-1,0), Fe(1,0). 设M(xy),则P(1,y). 由|MF1|=|MP|,得(x+1)+y2=(x-1)2, y2=一4z.此轨迹是抛物线， (方法二)因为点M在线段PF,的垂直平分线 上，所以IMF1|=|MP|,即M到F1的距离等于M 到11的距离 此轨迹是以F1(一1,0)为焦点、11：x=1为准线 的抛物线，轨迹方程为y=一4x. 8,0准2-8得A(-1.8e 设点Q,M的坐标分别为Q(x1,y1),M(x,y), 。1 依超得-生-名些会 22 于是x=1+-2s+1.w=1+12+5 2 4y= 2 4 ① 2 :-1<<2-1<“2<2.即-<x 2 又：点P(s,t)在曲线C上，∴t=s2 ② 将①代人@得2=(2)： 即y=2x-x+(是<<）月 (2)解法一：曲线G的方程可化为(x一a)2+ -2号 这是一个圆心为N(a,2),半径为5的圆. 设圆G与直线l:x一y十2=0相切于点T(xr, yT) 则有42-号即。-士 √2 过点N(a,2)与直线l垂直的直线l'的方程是 y-2=-1(x-a),即x+y-2-a=0. 由2-y+2=0 (x+y-2-a=0 解得x1=号y1=号+2. 当a=-7② 时，-1<x= 、2 7v2 :一1,2分别是D上的点的最小和最大横坐标， 切点T∈D,故aan= 72 解法二：曲线G的方程可化为(x一a)十(y 2-号这是一个圆心为Ha,2,半径为号的国。 设线段AB与直线y=2的交点为R(0,2).依题 意，只需考虑a<0的情况.当a<0且圆G与D有公 共点时，圆G和AB必有交点，设此交点为N,则 HN= 5 (1)若点N与点R不重合，则在△HNR中，设 ∠HNR=9, 由正弦定理用品 lal HN 或 sine sin135