1.2 集合间的基本关系 暑假自学练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 暑假自学同步练，针对“集合间的基本关系”分层设计，通过基础概念辨析、综合应用到创新情境，构建从单一到综合的知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|子集、真子集、空集等概念|单选题1-5、填空题12-14，如第1题辨析集合关系，强化抽象能力| |中档|集合包含关系、子集个数计算|单选题6-8、多选题9-11，如第5题求真子集个数，提升推理能力| |拔高|新定义情境与参数问题|填空题15-16、解答题17-18，如第16题“全食”“偏食”情境，培养创新意识|

1.2 集合间的基本关系 暑假自学练 2026-2027学年 高中数学人教A版（2019）高一上学期 一、单选题 1．下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 2．全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 3．已知集合，若，则所有整数a的取值构成的集合为（   ） A． B． C． D．N 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 5．满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 7．若集合的所有子集个数是，则的取值是（    ） A． B． C． D．或 8．设集合，若A的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知集合，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．中有个元素 D．有个真子集 10．下列选项中不正确的是（    ） A．空集是任何集合的子集 B．任何集合至少有两个子集 C．集合用列举法表示为 D．满足方程组的点集为 11．已知集合，，，则关于集合A、B、C之间的关系，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若集合至多有两个子集，则实数的取值范围为___________． 13．已知，，则M______N （ 填“”或“”或“”或“” ）. 14．设，，，若P=Q，则_________. 15．已知集合是集合的非空真子集，把集合中的各元素之和记为，则满足的集合的个数为______；的所有不同取值的个数为______． 16．当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合，.若与构成“全食”，则的取值范围是______；若与构成“偏食”，则的取值范围是______. 四、解答题 17． 已知集合 (1)若集合且求实数的值 (2)若集合且求实数的取值范围 18．已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B B B D B AB BCD 题号 11 答案 AC 1．B 应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断. 易知，故①正确； ，故②错误； 著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误； 表示有一个元素的集合，不是空集，④错误； 空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误； ，故，故⑥正确. 故选：B 2．A 因为全集，且， 所以可能为，共个 即集合的个数为. 3．C 按照和这两种情况讨论求解，当时，得到符合题意；当时，，求出，由，得到或，计算出的值，从而得到所求. 当时，，满足，故符合题意； 当时，，，， 或，或， 综上可知所有整数的取值构成的集合为. 故选：C. 4．B 由集合的子集的定义求解即可. 由 ，则． 5．B 满足条件的集合有， ，共7个. 6．B 根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可. 由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 7．D 分析可知，集合有且只有一个元素，分、两种情况讨论，在第一种情况下直接验证即可，在第二种情况下，由求出的值，综合即可得解. 因为集合的所有子集个数是，则集合有且只有一个元素， ①当时，即当时，则，合乎题意； ②当时，即当时，则关于的方程只有一个实数解， 则，解得. 综上所述，或. 故选：D. 8．B 不妨设，由题意可得，即可得解. 不妨设， 则A的所有三元子集为， 由题意可得，解得， 因此集合. 故选：B. 9．AB 解不等式可求得集合，由集合与元素关系、子集和真子集定义依次判断各个选项即可. 由得：，又，； 对于A，由知：，A正确； 对于B，，，，B正确； 对于C，由知：中有个元素，C错误； 对于D，中有个元素，有个，D错误. 故选：AB. 10．BCD 直接判断选项A，由空集性质判断选项B，解方程根据元素的特征即可判断选项C，方程组的解集为点集判断选项D. 对于A，空集是任何集合的子集，故A正确； 对于B，空集只有一个子集，即空集本身，故B错误； 对于C，由得或或1， 因，则或1，则列举法表示为，故C错误； 对于D，由得，， 故点集为，故D错误， 故选：BCD. 11．AC 首先求解集合再根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，即可判断选项. 由集合的定义可知，，，所以. 故选：AC 12．或． 若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素，通过分类讨论得出的范围． 若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素． 当时，，此时集合为，符合题意， 当时，方程是一元二次方程， 时，解得，，此时集合为，符合题意， 时，解得，此时集合为空集，符合题意， 综上，的取值范围是或． 故答案为： 或． 13． 化简集合即可判断得解. 因为，， 所以. 故答案为： 14．-2 由集合相等的定义，计算集合内的元素. ，，若P=Q，则有，. 故答案为：-2. 15． 6 54 根据非空真子集的定义结合题意求解即可. 由题意，满足的集合有：，，，，，，共6个. 对于来说，由于它是集合中的各元素之和，同时又是集合的非空真子集， 因为， 由题意，易知将取尽1到54的所有整数， 所以的所有不同取值的个数为54. 故答案为：6；54. 16． 或 分情况解集合，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可. 由可知，当时，，此时； 当时，，此时， 当时，； 又，若与构成“全食”，则， 当时，满足题意；当时，不合题意； 当时，要使，则，即，解得； 综上，与构成“全食”时，的取值范围是或； 若与构成“偏食”时，显然时，不满足题意， 当时，由，所以，即，解得， 此时的取值范围是. 故答案为：或； 17． (1) (2)或 （1）根据集合相等的概念，分别讨论解出实数的值即可； （2）由集合间的包含关系，对集合是否为空集进行分类讨论即可得出实数的取值范围. （1）由集合，且 所以可得，此时方程组无解； 或，解得； 所以实数的值为. （2）当集合且可知： 若，则，解得 当时，若，则，，此时，不满足 若，则，此时，满足符合题意； 综上可知，实数的取值范围为或. 18．(1)或，或 (2) （1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 学科网（北京）股份有限公司 $