7.3 抛物线 五年高考母题原型训练-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

Zo- 2 三，将y6=2x。代入上式并化简得： √，-)+ x+2 2>x= 1 3p y6=3p. 01=x+-9p+3p=212→10i=T2 4 4 2 [真题13](2022·湖北)已知一条曲线C在y轴右边，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1. (1)求曲线C的方程： (2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个 交点A、B的任一直线，都有FA·FB<0?若存在，求出m的取 值范围；若不存在，请说明理由。 [解析](1)设P(x,y)是曲线C上任意一点，那么点P (x,y)满足√（x-1)+y-x=1(x>0), 化简得y2=4x(x>0). (2)设过点M(m,0)(m>0)的直线1与曲线C的交点为A (x1,y1),B(x2,y2). 设1的方程为r=)十m,由。少十m,得y-4y-4m {y2=4x 五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) 题源1抛物线的定义（★★★★★） 1.(2018·江苏)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离 为1，则点M的纵坐标是 ( 17 A.16 B号 c.8 D.0 2.(2020·辽宁)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动 点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和 的最小值为 A.vi 9 2 B.3 C.√5 D.2 3.(2019·全国I)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为1，经 过F且斜率为√3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点 A,AK⊥1，垂足为K,则△AKF的面积是 A.4 B.3√3 C.4W3 D.8 4.(2020·四川)已知抛物线C:y=8.x的焦点为F,准线 与x轴的交点为K,点A在C上且AK|=√2|AF|,则△AFK 的面积为 () A.4 B.8 C.16 D.32 5.(2020·渐江)已如由线C是到点P(弓)和到直线 y=-吾距离相等的点的轨迹./是过点Q(-1,0)的直线，M是 C上（不在1上）的动点；A、B在1上，MA⊥1，MBLx轴（如图）. (1)求曲线C的方程； ②束直线1的方屋，楼8为专效。 =0, △=16(+m)>0,于是1+y:=4t ① y1y2=-4m. 又FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2), FA·FB<0白(x1-1)(x2-1)+y1y:=x1x2-（x1+x2） +1+y1y2<0. 又x二，于是不等式②等价于 兰+（+）+1<0 9y1) 1 16+yy:-T[0y+:)2-2yy:]+1<0, 由①式，不等式③等价于 m2-6m+1<4t2, ④ 对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m2一6m+10,即3一2√2<m<3+2√2. 由此可知，存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两 个交点A,B的任一直线，都有FA·FB<0,且m的取值范围是 (3-22,3+2√2). 题源2抛物线的标准方程（★★★★） 6.(2021·上海)过点A(1,0)作倾斜角为无的直线，与抛物 线y2=2x交于M、N两点，则|MN|= 7.(2021·宁海)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在 x轴上，直线y=x与抛物线C相交于A,B两点.若P(2,2)为 AB的中点，则抛物线C的方程为 8.(2020·全国Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，A、 B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2),则△ABF的面 积等于 9.(2021·江苏)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶 点在原点，经过点A(2,2),其焦点F在x轴上. (1)求抛物线C的标准方程； (2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程； (3)设过点M(m,0)(m>0)的直线交抛物线C于D,E两 点，ME=2DM,记D和E两点间的距离为f(m),求f(m)关于 m的表达式. 75· 题源4抛物线的综合题（★★★★★） 16.(2022·过宁)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为1， 题源3抛物线的几何性质（★★★★） P为抛物线上一点，PA⊥I,A为垂足.如果直线AF的斜率为 一√3，那么|PF|等于 () 10.(2018·浙江)抛物线y2=8x的准线方程是 ( A.45 B.8 A.x=-2 B.x=-4 C.83 D.16 C.y=-2 D.y=-4 17.(2022·全国Ⅱ)已知抛物线C:y2=2x(p>0)的准线 1Ⅱ.（2018·安搬)若抛物线y2=2px的焦点与椭园 6+2 为1，过M(1,0)且斜率为3的直线与1相交于点A,与C的一 =1的右焦点重合，则力的值为 个交点为B.若AM=MB,则p= A.-2 B.2 C.-4 D.4 18.(2019·安徽)设F是抛物线G:x2=4y的焦点. 12.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线 (1)过点P(0,一4)作抛物线G的切线，求切线方程； 段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离 (2)设A,B为抛物线G上异于原点的两点，且满足FA· 为 FB=O,延长AF,BF分别交抛物线G于点C,D,求四边形AB 13.(2018·北京)抛物线y2=4x的准线方程是 CD面积的最小值. 焦点坐标是 14.(2020·上海)若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x 的焦点，则实数a= 15.(2019·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴 正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线y=x2相交于A、B 两点.一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y=一c 交于点P、Q, (1)若OA.O=2,求c的值： (2)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线； (3)试问(2)的逆命题是否成立？说明理由. 2022一2023高考题源拓展测试 D●未来高考还会这样考 (测试时间：90分钟总分：100分) 一、选择题（本题包括8小题，每小题2.5分，共20分。每小题 只有一个选项符合题意) 且a>6则抛物线y=一合：的焦点坐标为 1.(03)已知a,6的等差中项是号-个等比中项是25， A.( 160) ·176(④)对于y=上中心到准线的距离d=。=1, 故准线的纵截距分别为士√，所以准线方程为y= 一x士√2，经过平移后得到y= 华宁的准线方程为 y=-x+3士√2. (5)y=1的渐近线方程为x=0与y=0,经平 移后得到y=二的渐近方程为工=1y=2 7年：1设双南线方程为号若-1a>0 b>0) 由已知得：a=√3，c=2,再由a2十b2=c2, 公61心双曲线方程为3一y2二 (2)A(ZAA),B(ZB3B), 将y=红+5代人号-y=1. 得：(1-3k2)x2-6√2kx-9=0. 由 题 意 1-3k2≠0 △=36(1-k2)>0 知xA十xB= 6√2k 1二360，解得3之k -9 tAtB=1-3k>0 当3k1时，1与双曲线左支有两个交点。 6√2k (3)由(2)得：xA十xB=-3k2, ∴.yA十yB=(kxA十√2)+(kxB十√2) 2√2 =k(xA十xB)十2√2= 1-3k2 ∴AB的中点P的坐标为 3√2k√2 1-3k21-3k2 设直线l。的方程为：y= x十b, 4V2 将P点坐标代人直线1。的方程，得6-一3· 5<k<1-2<1-3k2<0. 3 .b<-2√2，.b的取值范围为(-∞，-2√2). ·1( §7.3抛物线 五年高考母题原型训练 1.B【解析】考查抛物线的定义x= 4 2×8·y2=6小准线方程为y= -6+1 15 2.A【解析】如图所示， A02)F(20）,由抛物线定 义知PP'|=|PF|, ..API+PP'=IAP +IPFI≥|AFI= 4 √17 2 ,故应选A. 3,C【解析】本小题主要考查直线与抛物线 的位置关系以及抛物线的定义： 由题意知F(1,0),则过F的直线方程为y= √5(x-1). 与抛物线方程联立， ,消去x得√y2一4y-4√5=0， y=W3(x-1) ∴.A(3,2√3)，.AF|=4. 由抛物线定义及已知条件得△AKF为等边三 角形. 六SAAKF-=2X4X4Xsin60°=4B.故选C. 4.B【解析】本题解题思路是利用抛物线的 定义，依据题意列出有关点A的坐标的方程求得结 果依题意，设点A 信小点K(-20),2线方程 是x=一2，作AA1垂直于直线x=一2，由|AK|= √2|AF|结合抛物线的定义得|A1K|=|A1A,即有 1AA=9+2=-81n+16=0.由北 解得1=4，因此△AFK的而积等子X4X. =8.选B. 5.(1)解：设N(x,y)为C上的点，则|NP|= √(+)+-)N到直线y=-的距离 为++)+-)-+ 化简，得曲线C的方程为y=2(x+x), (2)解法一： 设M,) 直线1：y=k.x十k,则 B(x,kx十k), 从而|QB| √1+k21x+1|. 在Rt△QMA中， 因为QM1=(+1)(+ +1-) |MA2= 1+k 所以|QA|=1QM|2-|MA|2 (x+1)2 4(1+)kx+2). 1QA1=x+1·kx+2到 2√1+k9 1QB122(1+k2)√个+k x+1 QA k +号 当k=2时， QB2 IQAI =5w5, 从而所求直线1方程为2x一y十2=0. 解法二： 直线1：y=kx十k,则 B(x,kx十k),从而|QB| =√1+2|x+1. 过Q(-1,0)垂直于1的直线11：y=- E(x+1). 因为IQAI=|MHI,所以IQA|= x+1·k红+2.1QB12=2(1+)1+ 2√1+k图 IQAI x+1 1QB 当k=2时，QA-55, ·1 从而所求直线1方程为2x一y十2=0. 6.2√6【解析】由题意得此直线为y=x一1， 设交点M(x1y1),N(x2y2), 则=2；整理得x-4红十1=0,1十， (y=x-1, 4:=1,周为领斜角为子，故MN1=巨· √（x1-x2)2=√2√/(x1+x2)2-4x1x2=√24= 2√6. 7.y2=4x【解析】设抛物线方程为y2= 2px,将直线y=x代入抛物线方程可得y°一2py= 0,解之得y=0或y=2p,由AB的中点坐标为(2,2) 可得2p=4,解之得p=2,∴.抛物线C的方程为y =4x, 8.2【解析】设A(m2, 2m),B(n2,2n),由AB的中点 坐标为M(2,2)可得 m2+n2=4, 解之得m=0, 2m+2n=4 或 (n=2, m2, 即A(0,0),B(4,4)或 n=0, A(4,4),B(0,0), .S△ABF= ×1×4=2. 1 9.解：(1)由题意，可设抛物 线C的标准方程为y=2px, 因为点A(2,2)在抛物线C 上，所以=1. 因此，抛物线C的标准方程 为y2=2x. (2)迪1)可得焦点F的坐标是（合0： 2二1 又直线OA的斜率为 故与直线OA垂直的直线的斜率为一1. 因此，所求直线的方程是x十y一？=0 (3)解法一：设点D和E的坐标分别为(x1y1) 和(x2y:）, 直线DE的方程是y=k(x一m),k≠0. 将x=若十m代入y=2x,有y2-2y-2m =0, 解得y4=1±V+2m6 由ME=2DM知1+√1+2mk2=2 (√1十2k2-1), 化简得=兰园比 D8=(-x+(1-:=（+是）y 3y2)2 =+)- 年(m2+4m). 所以f(m)= 3 √m+4m(m>0). 解法二设D(E(传） 由点M(m,0)及ME=2DM得 2-m=2a-2） t-0=2(0一s),因此 t=-2s,m=s2,所以 fm)=/2s2- +(-2s-s)2 =m+4m(m≥0) 10.A【解析】考查抛物线的几何性质，由已 知得抛物线的准线方程为x=一2，故选A. =1的右焦点为 (2,0),所以抛物线y2=2px的焦点为(2,0)，则力= 4,故选D. 【解标】F(台则B(?小 2×片=1，游得p=停小因免B对接热 物线份准线功距病为汽+写吗 41 13.x=-1(1,0)【解析】2p=42 =1, ∴准线方程为x=一1，焦点坐标是(1,0). 14.一1【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标 为(1,0)，代入直线ax-y+1=0可得a=-1. 15.解：(1)设直线AB的方程为y=kx十c,将该 方程代入y=x2得x一x一c=0. ·1 令A(a,a2),B(b,b), 则ab=一c. 因为OA·Oi=ab+ a2b2=-c+c2=2, 解得c=2,或c=-1(舍 去).故c=2. (2由题意知Q(生，-小 直线AQ的斜率为 a2+c a2-ab kAQ=- a+b a-b 2a. 2 2 又y=x的导数为y'=2x,所以点A处切线的 斜率为2a. 因此，AQ为该抛物线的切线. (3)(2)的逆命题成立.证明如下： 设Q(xo,-c). 若AQ为该抛物线的切线，则kAQ=2a. 又直线AQ的斜率为0=-&，所 a一x0a一xo 以4-ab=2a,得2ar。=a+ab,因a≠0，有x a-xo =a+6 2· 故点P的槟坠标为“生中，即P点是线段AB的 中点， 16.B【解析】 解法一：AF直线 方程为：y=一√3(x -2), 当x=一2时，y 60Y =43,A(-2, F'(-2,0) OF2,0) 43). =-2 当y=4√3时代 入y2=8x中，x=6, .P(6,43), .|PF|=|PA|=6-(-2)=8.故选B. 解法二：，PA⊥1， ∴.PA∥x轴， 又∠AFO=60°， .∠FAP=60°， 又由抛物线定义知PA=PF, 5 ∴.△PAF为等边三角形. 又在Rt△AFO中，FF'=4, ∴.FA=8. .PA=8.故选B. 17.2【解析】 过B、M分别作 B 准线的垂线，垂足 分别为B1、M,由 AM=MB得BB1 60 M OM1,0) =2MM=AM= BM.所以点M恰为 抛物线的焦点，即 2=1,p=2 18.解：1)设切点Q） 由y=气，知抛物线在Q点处的切线斜率 故所求切线方程为y号-学(：-… Toto 即y=2x-4· 因为点P(0,一4)在切线上，所以一4=- 4 x8=16,x0=士4. 所求切线方程为y=士2x一4. (2)设A(x1,y1),C(x2y:) 由题设知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不 妨设k>0. 因直线AC过焦点F(0,1),所以直线AC的方 程为y=kx十1. 点A,C的坐标满足方程组=6x+1, x2=4y, 得x2-4kx-4=0, 由根与系数的关系知 21+x:=46, (x1x2=-4. |AC|=V(x1-x2)+(y1-y2)尸 =√1+k√(x1+x2)-4x1x2=4(1十k2). 国为ACLBD,所以BD的斜率为-专 从而BD的方程为y=一 x+1. ·1( 同理可求得BD=+()门 4(1十k2) 2 SABCD= 之ACIBDI= 8(1+k2) k2 -8+2+)≥2 当k=1时等号成立.所以四边形ABCD面积的 最小值为32. 2012一2013高考题源拓展测试 1.D2.C3.B4.D5.D6.A7.C 8.C 10.(2,2) .（ 12.3 13.解：(1)由已知可设抛物线方程为y=2px. :点P(1,2)在抛物线上，∴.力=2. 故所求抛物线的方程是y=4x, 准线方程是x=一1. (2)设直线PA的斜率为kpA,直线PB的斜率 为k出， 21-（x≠1)，kpg=二2 则krA=,二2 -i(x2≠1). ,PA与PB斜率存在且倾斜角互补，∴.kPA= 一kPB· 又，A、B点均在抛物线上， y1=4x1,y2=4x2. x1= yi y 4,x2= 41 “2 =-y:-2 -1 4 .y1+2=-(y2+2).∴.y1+y2=-4. 由二红“两式相减得 by2=4.x2 (y1+y2)(y1一y2)=4(x1-x2). k=二=4==一1 x1-x2y1+y2-4 14.(1)解：由已知|a|=bl,即 √（-1-x)2=√(1-x)+y, 整理得y=4x. ① (2)证明：由已知只需证OA⊥O店即可，即证OA