7.1 椭圆 五年高考母题原型训练-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) 题源1椭圆的定义（★★★★★） 么(2020·上海)设P是裤圆+片1上的点若E卫 是椭圆的两个焦点，则|PF,|+PF2等于 () A.4 B.5 C.8 D.10 2.（2020·天津)设椭园m+” 十m-7=1(m>1)上-点p 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的 距离为 A.6 B.2 C. 29 3.(2021·上海)已知F15:是椭圆C:+若=1(a>6 0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1LPF.若△PF1F 的面积为9，则b= 4.(2021·北京)椭园。+号=1的焦点为F1,F,点P在 椭圆上.若|PF1|=4,则|PF:|=:∠F1PF:的大小为 5.(2019·过宁)设椭圆 5+。=1上一点P到左准线的 距离为10，F是该椭圆的左熊点若点M满足O=2(O市+ OF),则OM1= 6.(2020·上海)某海域内有一孤岛.岛四周的海平面（视为 平面)上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a、短轴长为 2b的椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2,且 两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上.现 有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导 航灯的仰角分别为，、6，那么船只已进入该浅水区的判别条件 是 7.(2018·北京)椭园C:元+=1(a>b>0)的两个焦点 为RF,点P在椭圆C上，且PP,LF.F..IPF,=专PF 人 31 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线1过圆x+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C 于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程. ·15 题源2椭圆的标准方程（★★★★） ,y2 8(2020·天津)设椭国1(m>0,n>0)的右能白 与抛物线y=8x的焦点相同，离心率为)，则此椭圆的方程为 B.ity 16+12-1 c+黄- g(2021·四川)已知椭园无+1(@>6>0)的左右患 点分别为FF离心率e=气，右准线方程为x=2。 (1)求椭圆的标准方程： (2)过点F1的直线1与该椭圆相交于M、V两点，且FM +FN1=2v26 3,求直线1的方程. 题源3椭圆的几何性质（★★★★★） 10.(2019·安徽)椭圆x2+4y2=1的离心率为() 3 8 c n号 11.(2018·山东)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦 长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 A.2 号 1 C.2 2.(2022·四川)椭圆之+火 +6=1(a>6>0)的右焦点为 F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段 AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是() B(,] C.[2-1,1) 分 13.(2019·福建)已知正方形ABCD,则以A、B为焦点，且 过C、D两点的椭圆的离心率为 14,(202·格建若点0和点F分别为筛图号+背-1的 中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 17.(2020·江西)已知F1、F:是椭圆的两个焦点，满足 15.(2020·江苏)在平面直角坐标系x0y中，设椭圆+ MF·MF。=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范 围是 6 =1(a>b>0)的焦距为2c.以点O为圆心，a为半径作圆M. A.(0,1] B (o. 若过点P 公，0)所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆离 c（) [ 心率为 18.(2020·湖南)已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 题源4求参数取值范围的常见 F(2,0),且两条准线间的距离为入（入>4）. 思路（★★★★★） (1)求椭圆的方程； (2)若存在过点A(1,0)的直线1，使点F关于直线1的对称 ·北京)椭回二+，=1(a>6>0)的焦点为 点在椭圆上，求入的取值范围. 两条准线与x轴的交点分别为M,N,若|MN|≤2F,F|,则该 椭圆离心率的取值范围是 2022一2023高考题源拓展测试 D未来高考还会这样考， (测试时间：90分钟总分：100分) 一、选择题（本题包括8小题，每小题2.5分，共20分。每小题N是MF1的中点，则ON等于 只有一个选项符合题意) A.2 B.4 C.8 1 D.2 1(2)已知椭圆的中心在原点，离心率=2，且它的一 y 个焦点与抛物线y=一4x的焦点重合，则此椭圆的方程为 ?.1)椭图若+若=1的左右焦点分别为，F,弦 AB过F1,若△ABF:的内切圆周长为π，A,B两点的坐标分别 A+ -=1 为(x1,y1),(x2,y:),则|y1一y|值为 5 10 x C.2+y=1 n+y=1 A.3 B.3 20 2.(⑦3)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为√2， C. D. 5 3 焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 () y 8.(心4)已知椭圆：+：=1(a>b>0)的两个焦点是F1 A.√2 且9 1 C.2 F,若在椭圆上存在一点P使得|PF|=2|PF:|,则椭圆的离 3,(G1,3)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F:作椭圆 心率的取值范围是 长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF。为等腰直角三角形，则 椭圆的离心率为 引 号 B.②1 2 C.2-√2 D.√2-1 哈引 c. 4.(心2)若椭圆2kx十ky2=1的一个焦点坐标是(0，一4)， 二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分） 则k的值为 9.(位2)若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是 1 A.32 B.8 C. 8 D.32 (2√5,0)，则椭圆的标准方程是 y2 10.(@3)P是椭圆上一定点，F1,F:是椭圆的两个焦点，若 生 5.(心3)椭园。干6的腐心率为则的值为 ∠PF1F2=60°，∠PF:F1=30°，则椭圆的离心率为 ( 1.付1.2)设国经过椭回若+后-1的右顶点及有焦点， A.-21 B.21 且圆心在椭圆上，则圆心到椭圆中心的距离为 6心1)椭圆写+号-1上一点M到焦点P,的距离为2。 12.(心2)丛椭圆。+1(a>b≥0)上一点P向x轴 ·157x1+x2= 4(k-3) 1十k2 ② 又y1+y2=k(x1十x2)十4. ③ 而P(0,2),Q(6,0),PQ=(6,-2).所以OA+ OB与PQ共线等价于-2(x1十x2)=6(y1十y2),将 ②，③代入上式，解得=一 由(1)知k∈（子0）故设有符合题意的常 数k. 17.解：(1)如图所示，由直 线1：与l:方程知11与1：分别 过定点(0,0)、(2,1)，又k1·k2 =m× 1 m =-1(m≠0)， 0 知两直线两两垂直，1与 12的交点必在以(0,0)、(2,1)为直径的端点圆上.设 P(.x,y),由P1P⊥P2P得x(x-2)+y(y-1)=0, 即定圆为x2+y2-2x-y=0. (2)由(1)得P1(0,0),P2(2,1) △PP,P:的面积的最大值必为2×2rXr 5 4 此时OP与P,P:的夹角是， 1-01 kPIP2= 2-02· 1 772 ..tan ,解之得，m=3或- 1+ 12 3 2 第七章 圆锥曲线与方程 §7.1椭圆 五年高考母题原型训练 1.D【解析】由椭圆的定义知，椭圆上点P 到两焦，点距离之和为长轴长，|PF1|十|PF2|=2a =2×5=10,故应选D. 2.B【解析】本题考查椭圆两个定义.由第一 定义：3+1=2m,m=2,所以e=2;由第二定义：P 到右准线距离为2.本题是圆锥曲线基本题目，灵活准 确使用概念是关键， 3.3【解析】由已知条件可设PF1=,PFg 。9 17n =n,则 2 =9, 则m2十n2=(m十n)2-2mn= (m十n=2a, 4a2-36=F1F=4c2,得b2=a2-c2=9,.b=3. 4.2120°【解析】本题主要考查椭圆的定 义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查， a2=9,b2=3,∴.c=√a-b=9-2=√7， ∴|F1Fz|=2√7， 又|PF|=4,|PF1I+|PF|=2a=6, PF=2,又由斜弦定理， 得c0s∠F,PF,-2+（2,)- 2×2×4 2 ∴.∠F1PF2=120°. 5.2【解析】如右 图所示，由于椭圆的第二定 义可得设P到左准线的距 离为d,则PF/d=e= 3 ' 又由d=10可得PF =6, ∴.PF2=2a-PF=10-6=4, 0=20+0). 点M是线段PF的中点， .OM∥PF,且OM= TPF.- ×4=2. 2 6.hi cote+h2 cot0: 2a【解析】如右图所示， 甲 设船只P与椭圆两焦，点间的 h 距离分别为|PF1|=m, PF2|=n,则当且仅当m十n ≤2a时，船只进入该浅水沤， : -tand n =tand2, ∴.m= tand'n= tang:' :只需要满足条件十：≤2a, tan tand: 即h1cot旧1+h2cotd2≤2a,可判断船只进入浅 水区. 7.解法一：(1)因为点P在椭圆C上，所以2a= IPF1I+|PF2|=6,a=3. 在Rt△PFF2中，IF1F2|=√TPF-PF1F =2W5, 故椭圆的半焦距c=√5，从而b2=a2一c2=4, 所以横因C的方程为号+兰-1 (2)设A、B的坐标分别为(x1y1),(x2,y2). 已知圆的方程为(x+2)2+（y一1)=5， 所以圆心M的坐标为（一2,1）， 从而可设直线1的方程为y=(x十2)十1，代入 椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k+18k)x+36k2 +36k-27=0. 因为A、B关于点M对称， 所以1十=-186十9=一2，解得k=8 2 4+9k2 所以直线1的方程为y= 9(x+2)+1,即8x 9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意) 解法二：(1)同解法一. (2)已知圆的方程为(x十2)2+(y-1)2=5, 所以圆心M的坐标为（一2,1）. 设A、B的坐标分别为(x1y1),(x2y:). 由题言：且号+学1.0 4 x+=1.@ 94 由①一②得 （x1一x2)(x1十x2) 9 (y1-y)(y+y:2=0.③ 4 因为A、B关于点M对称，所以x1十x2=一4， 1+y:=2,代入③得一y=8 x1一x29 8 即直线1的斜率为9，所以宜线1的方程为 y-1=号x+20,即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意.) 8.B【解析】本题考查椭圆、抛物线标准方程 及其性质 ,抛物线y2=8x的焦点在x轴上，坐标 为(2,0)， ·9 ∴.椭圆半焦距c=2, :椭圆的焦，点在x轴上，.m>n>0,m2一n =4 e= ∴.m=4,n=23, “横周方教为后+ =1. 此题属中档题，考查的知识，点较多，但都是基础 知识.判断出m>n>0在计算中起重要作用. 「c- 9.解：(1)由条件有 2 ,解得a=√2，c=1. =2 ∴.b=a2-c2=1. 所以，所求稀圆的方程为号+y=1. (2)由(1)知F1(-1,0),F2(1,0). 若直线1的斜率不存在，则直线1的方程为x= 一1 将x=一1代入椭圆方程得y=士 2 不纺设(-1号)N(1.-) 耐+-（号》+(2.) (-4,0) ∴.|F2M+F2N1=4,与题设矛盾. .直线1的斜率存在。 设直线1的斜率为，则直线1的方程为y=k(x +1). 设M(x1y1),N(x2y2), 联立2 +y2=1 ,消y得(1+22)x2+4kx y=k(.x+1) +2k2一2=0. 一4k2 由根与系数的关系知x1十x:=1+2· 从而y十y=k红1十x:+2)=1+2k 2k 又F2M=(x1-1,y1),FN=(x2-1,y2), ∴F2M+F=(x1+x:-2,y1十y) ∴|F2M+F2N12=(x1+x2-2)2+(y1+y:) 8k2+21 1+2k2 +(+2 3 =4(16k+9k2+1) 4k+4k2+1: 0- 226 3 化简得40k4-23k2-17=0, 架得=1攻太=一名（舍》 .k=士1. .所求直线l的方程为y=x十1或y=一x一1. 10.A【解析】本题主要考查圆锥曲线中椭圆 的离心率的求解，属于基础知识、基本能力的考查，由 +=1,州a16=0-9。=- a 2' √② 2 1山.B【解析】由椭圆第二定义得e= -② 12.D【解析】由题意|PF|=|FA|,即以F 为圆心，|FA|为半径画圆与椭圆有交点P,如图.只 需IFA|≤|FA'I 即4-c≤a+c即2c2+ac-a≥0 c 两边除以a”得2e2+e2-1≥0即(2e-1)(e+ 1)≥0 1 得e≥2，又：0<e<1, .2 ≤e<1.故选D. 13.√2一1【解析】设正方形的边长为2m,由 已知条件可得2c=AB=2m,即c=m,2a=AD+ BD=2m+√(2m)+(2m)2=(2+2√2)m,即a= (1+√2)， ..e= m =√2-1. a(1+√2)m 14C【每折】文P到票+号- 即-g-要又F(-100.中-… ·9 （+1+=子+z。+3=子(。+2)2+2，又 xo∈[-2,2]，(Op·F币)∈[2,6]，(Op· FP)mx=6.选C. ,【解析】设切点为Q,如图所示. ↑y △OPQ为等腰直角三角形，可得2a=a ∴e=￡- 2 16.D【解析】由|MN|≤2|F1F:|,可得2× ∠2X2c· c 2,即得e= 2,又由0<e<1可得 17.C【解析】如右 图所示，由题意可得以 F1F:为直径的圆x2+y2 C上的点总在椭圆子人 6京=1的内部， 六c<b,即c2<b2=a-c,得e=c< 2, 又0<e<1,.e∈ ,,故应选C 0.2 18.解：c1)设椭圆的方程为十=1(a>b 0). 2a 由条件知c=2,且=入，所以a2=入， b2=a2-c2=A-4. 故椭圆的方程是入十”4=14) (2)依题意，直线1的斜率存在且不为0，记为， 则直线1的方程是y=k(x一1).设点F(2,0)关于直 线l的对称点为F'(xo,yo),则 2 To- 1+k2' 解得 yo 2k 2。-2·k=-1. y=1+k2 因为点F'(xo,y)在椭圆上，所以 1+k2 2k 2 1+k2 =1 入-4 即λ（入-4）k·+2a(入-6)k2+(入-4)2=0. 设k=t,则入（入-4）t2+2入（入-6）t十（入-4） =0. 因为>4，所以A一4) 1-4>0. 于是，当且仅当 △=[2A(-6)]2-4λ(A-4)3≥0， 2λ（λ-6） (￥) λ（λ一4） >0. 上述方程存在正实根，即直线1存在. 解(*)得 所以4<入≤3 16 (4<A<6. 16 即入的取值范围是4<入≤3： 2012一2013高考题源拓展测试 1.A【解析】由抛物线方程y2=一4x得焦 点(-1,0)， 六c=1,又：离心率e=C=1 a 2, ∴.a=2,b=√5 所求的精国方程为 22+ 3y3 =1 (3)2 2.B 3.D【解析】|F1F2|=2c,PF2|=2c, ∴.IPF1I=2√2c. ∴.|PF1I+|PF2|=2c+22c. 又|PF1I+IPF:|=2a, ∴.2c+2√2c=2a. ￡=2-1，即e=2-1. 4A【解折】。=名6=则6=头又 c=4,所以k=32 5.C6.B7.A8.B ·9 2 4y2 9.+=【解析】设椭圆标准方程为。 X =1(a>b>0). Za 由题意知 2b =2,即a=2b,且c=215. 由a=62+c,解得0=80， 62=20. 六精圆的标准方程为子+识 =1. 8020 10.5-111.434 12. y2 0+5 =1 5 13.解：)设椭园的标准方程是兰 6:=1或 则由题意知2a=|PF1|+|PF,|=2√5. a=√5 泾方程x。+整1中令x=士移/一么 a 金方程站+发 =1中令y=士c得1x= a 依题在并结合国形知二一系5. 6=10 即椭圆的标准方程为 +兴1或若+ x =1. 10 (2)设经过两点A0,2),B(分，）的椭园的标 准方程为m.x十ny=1,代入A、B得 4n=1 4m+3m= n= 4 心所求椭圆方程为x+ 41. 14.解：椭圆 4+y=1的半焦距c=√3，以0 为圆心，c为半径作圆x2+y=3, x2十y2=3, 解x +y=1,得交点横坐标为士2 3 4 又同圆中同弧所对的角中，顶点在圆内的角大于 顶点在圆周上的角，大于顶点在圆外的角，故当P在 椭圆和圆的交点间的上下两段椭圆弧上，∠F1PF2 5