6.1 直线方程与两直线的位置关系 题源4 两条直线所成的角和点到直线的距离-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

因为确定一条直线需要两个独立条件，所以求直线方 程也需要两个独立条件，其方法有两种： (1)直接法：直接选用直线方程的四种形式，最后化为 一般式. (2)待定系数法：概括起来就是设方程、求参数、代入 写方程. [真题3](2020·重庆)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a =0(a<3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1)，则直线1的 方程为 [解析]本题解题思路是先明确圆心坐标，再借助于相关 的平面几何知识，从而确定直线方程.依题意得圆心坐标是 (一1,2)，且直线1与由圆心、点(0,1)确定的直线相互垂直，因 此直线1的斜率等于-已。=1，又孩直线1经过点(0,1)，所 2-1 以直线1的方程是y一1=x,即x-y十1=0. [真题4](2021·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知 圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直线1过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2√3， 求直线！的方程： (2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相 垂直的直线1，和12，它们分别与圆C1和C2相交，且直线11被 圆C,截得的弦长与直线1：被圆C:截得的弦长相等.试求所有 满足条件的点P的坐标. [解析](1)由于直线x=4与 ↑y 圆C1不相交，所以直线1的斜率存 在，设直线1的方程为y=k(x一4)， 圆C1的圆心到直线l的距离为d,因 为直线1被圆C1截得的弦长为2W3. 所以d=√22-(3)=1. 由点到直线的距离公式得d=1一(-3-4川 W1十k2 从而k(24k十7)=0.即k=0或k=一24' 7 所以直线1的方程为y=0或7x十24y-29=0. (2)设，点P(a,b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y一b= k(x一a),k≠0， 1 则直线l:的方程为y-b=一友（x一a). 因为圆C1和C:的半径相等，及直线l1被圆C裁得的弦 长与直线1：被圆C:裁得的弦长相等，所以圆C的圆心到直线 (1的距离和圆C2的圆心到直线1：的距离相等，即 5+ 11-k(-3-a)-b1 k(4-a)-6 √1+k2 1 W1+ 整理得|1+3k+ak一b=|5k十4一a一bk|, 从而1十3k+ak-b=5k+4-a一bk或1+3k十ak-b= -5k-4+a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3或(a一b十8)k=a十b-5, 因为友的取值有无穷多个，所以 十+6-2=0支-b+8=0. b-a+3=0,1a+b-5=0, ·13 5 3 2 21 解得 或 13 2， 2 这样点P只可能是点P(侵-）或点P(2) 经检验点P1和P2满足题目条件， 题源3 平行与垂直问题 解题模型 1.两条直线平行的条件 (1)当直线l1和12有斜截式方程： 11:y=k1x十b1,l2:y=k2x十b2时，直线11∥12的充 要条件是k1=k2,且b1≠b. (2)直线l1的方向向量为v1=(a1,b1),直线1：的方 向向量为v2=(a2,b2),则直线l1与l2平行的必要条件是 a1b2一a2b1=0. 2.两条直线垂直的条件 (1)当直线11和1：有斜裁式方程11：y=k1x十b1,l2: y=k2x十b2时，直线l1,l2互相垂直的充要条件是k1·k2 =-1. (2)直线l1的方向向量为v1=(a1,b1),直线1g的方 向向量为v2=(a2,b2),则直线l1与l2互相垂直的充要条 件是a1a2十b1b2=0. 3.特殊位置直线的平行与垂直：是指方程式为x=a型 与y=b型直线的平行与垂直，判定方法简单，但容易忽视. [真题5](2021·上海)已知直线11：(k-3)x十(4-)y +1=0与12：2(k-3)x-2y+3=0平行，则k的值是() A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 [解析]由两直线平行可得：当k=3时符合题意；当k≠3 k一34一k 时，有2（6-3=-2，解得k=5,所以选C [真题6](2022·安徽)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0 平行的直线方程是 A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 [解析]解法-：斜奉为2的直线只有A,B通过(1,0)的 直线有A,故答案为A.解法二：与直线x一2y一2=0平行的直 线斜率为2，所以过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直 1 线方程为y=2(x-1),即x-2y-1=0,选A 题源4两条直线所成的角和点到直线的距离 8· 解题模型 1.两条直线11和1：相交构成四个角，把直线l1按逆 时针方向转到与1：重合时所转的角日称为直线11到1：的 角：把其中不大于90°的角a称为直线11与1：的夹角，并 规定，当11∥1：时，l1到1：的角为0°，由此11到1：的角日 的范 国为[0，山与4的夫角a的范周为[0，] 2.设直线l1:y=k1x十b1,l2:y=k2x十b2,l1与2 的夹角为a,l1到12的角为日. k2一k1 则有an9=1十k1·k: k2一k1 tan= 1+1·k2 3.对于有一条斜率不存在的直线，求它到另一直线的 角或两直线的夹角时，应结合图形进行判断 4.一点P(xoyo)到直线l:A.x十By+C=0的距离 Azo+Byo+C d= -;点P到直线x=a的距离d=|x。- VA2+B a|;点P到直线y=b的距离d=|yo一b. 5.两条平行线l1:Ax+By十C1=0与1：：Ax十By十 C:=0间的距离公式为d= IC:-CI √A+B [真题7](2019·安徽)若圆x2+y2-2.x-4y=0的圆心 到直线xy十a=0的距离为号则。的省为 ( 1 A.-2或2 B或号 C.2或0 D.-2或0 [解析]本题主要考查直线与圆的知识，属于综合知识运 用、综合能力的考查.由(x-1)2+(y一2)2=5，点(1,2)到直线x y+a=0的距离为号，期1-2+a-日 √2 号8=2或0，选C [真题8](2020·全国Ⅱ)等腰三角形两腰所在直线的方 程分别为x十y一2=0与x一7y一4=0，原点在等腰三角形的底 边上，则底边所在直线的斜率为 ( A.3 B.2 c- [解析]如图所示，设底面所示直线的斜率为，则由到角 1 -1-k -7 公式可得1+(-1)X1十2 1 7 解之得k=3或飞三了（当二一】 3时，原点在底边的延 长线上，舍去)，.k=3,故应选A. ·13 题源5直线方程与函数、不等式的综合运用 解题模型 在解决方程的题中，经常要用到数形结合、分类讨论 和函数思想等数学思想.同时还往往要综合使用方程和不 等式的知识」 [真题9](2020·北京)已知菱形ABCD的顶点A,C的 椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1. (1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程： (2)当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值， [解析](1)由题意得直线BD的方程y=x十1. 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 于是可设直线AC的方程为y=一x十， 由+3y=4“得4x-6mx十3m-4=0. (y=-x+n, 因为A,C在椭圆上， 所以4=-12a+61>0:解得-5<<5 3 设A,C两点坐标分别为(x1y1),（x2y2). 4 y1=-x1+n,y2=-x2十n. 所以y1十y:=2· 所以AC的中点坐标为（得） 由回边形AD为支形可知，点（保，）在直线y=z十1上. 所以” 3+1,解得n=一2. 44 所以直线AC的方程为y=一x一2，即x十y十2=0. (2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°， 所以IAB|=IBC=|CA1. 所以菱形ABCD的面积S=1AC 2 由1)可得AC2=(x1-x)+(y1-y)=-3m+16 2 所以S= (-3n2+16) 4√343 4 n 3 3 所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值4√3」 五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) 题源1直线的倾斜角与斜率（★★★★） 1.(2020·安徽)若过点A(4,0)的直线1与曲线(x一2)2十