6.1 直线方程与两直线的位置关系 题源2 直线方程的几种形式-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

第六章 平面解析几何初步 §6.1直线方程与两直线的位置关系 考纲·题型解读 1.理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地 求出直线方程. 2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置 关系. 3.本节内容是高考直线部分命题的重点，一般从以下面三方面来命题：一是用直线方程判断两直线间的位置关系；二是利 用两直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的有关知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的一些问题， 五年高考母题题源揭秘 题源1直线的倾斜角与斜率 [解折]y=有y=十 -4e -4 解题模型 e>0,c+1≥2，y∈[-1,0)，taa∈ +。+2 1.倾斜角Q:在平面直角坐标系中，对于一条与x轴 相交的直线轴，如果把工轴绕着交，点按逆时针方向旋转到 -10.又ae[0,a∈[原数这D 和直线重合时所转的最小正角记为Q,那么a就叫做直线的倾 [真题2](2021·全国1)若直线m被两平行线1：x一y 斜角规定：直线与x轴平行或重合时a=0°.故0°≤a<180°. +1=0与12：x一y十3=0所截得的线段的长为22，则m的倾 2.斜率：当a≠90°时，tana表示直线的斜率，常用k表 斜角可以是 示，即k=tana. ①15°②30°③45°④60°⑤75 当a=90°时，斜率k不存在 其中正确答案的序号是 ,(写出所有正确答案的序号) 当直线1过P1(x1,y1)、P,(x2,y2)时，l的斜率 =y:-y1 [解析]11与1：的距离为√2，当m z:-7I 与1,12成垂直关系时，不符合题意，由图 3.倾斜角和斜率反映直线相对于工轴正方向的倾斜 可知，当m与m1成60°时，m被11，l。所截 程度.平面上任意一条直线1都有倾斜角a,但不是所有直 得线段长为2√2，画图可知，m的倾斜角是 线都有斜率.斜率公式表明直线对于x轴的倾斜程度，可以 75°或15°.故正确答案的序号为①⑤. 通过直线上任意两，点的坐标来表示，而不需要求直线的倾 [评析]本题属于较难题，是一道小综合题，数形结合较简 斜角。 单，考查直线与直线关系，也可以联立方程组，运算量大一些 4.直线的方向向量 题源2直线方程的几种形式 直线上的向量PP及与它平行的向量都称为直线的 方向向量， 解题模型 若P1、P的坐标分别为(x1y1),(x,y),则P1P =(x2-x1y2一y1). 特别地，当x1≠x2时，(1，k)即是直线的方向向量，其 名称 方程 适用范围 中为直线的斜率。 不能表示垂直于x轴的 斜截式 y=kx+b 直线 已知点P在曲线)=。车上0为曲线在点P 不能表示垂直于x轴的 [真题1] 点斜式 y-yo=k(x-xo) 直线 处的切线的倾斜角，则a的取值范围是 不能表示垂直于坐标轴 两点式 y一y1x一x1 yg一y1x2一x 的直线 A,别 匠引 不能表示垂直于坐标轴 截距式 =1 及过原点的直线 c.( n Ax+By+C=0(A”+B 般式 能表示平面上任何直线 ·137· 3 因为确定一条直线需要两个独立条件，所以求直线方 2 解得 程也需要两个独立条件其方法有两种： 13 (1)直接法：直接选用直线方程的四种形式，最后化为 2， 21 一般式. 这样点P只可能是点P(侵-）或点P() (2)待定系数法：概括起来就是设方程、求参数、代入 写方程 经检验点P1和P2满足题目条件 题源3平行与垂直问题 [真题3](2020·重庆)直线1与圆x2+y+2x-4y+a =0(a3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1)，则直线1的 方程为 解题模型 [解析]本题解题思路是先明确圆心坐标，再借助于相关 1两条直线平行的条件 的平面几何知识，从而确定直线方程，依题意得圆心坐标是 (1)当直线11和2有斜截式方程： (一1,2)，且直线1与由圆心、点(0,1)确定的直线相互垂直，因 11:y=k1x+b1,12:y=k2x+b2时，直线11∥12的充 此直线1的斜率等于一2-1 一1-0 =1,又该直线1经过点(0,1)，所 要条件是k1=k2,且b1≠b2 (2)直线l的方向向量为v1=(a1,b1),直线1：的方 以直线1的方程是y一1=x,即x-y十1=0. 向向量为v2=(a2,b2),则直线l1与l2平行的必要条件是 [真题4](2021·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知 41b2一a2b1=0. 圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4. 2.两条直线垂直的条件 (1)若直线1过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2√3， (1)当直线11和1：有斜裁式方程l1:y=k1x十b1l: 求直线1的方程： y=k:x十b2时，直线11，l:互相垂直的充要条件是k1·k2 (2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相 =-1. 垂直的直线1和1：，它们分别与圆C1和C:相交，且直线，被 (2)直线l1的方向向量为v1=(a1,b1),直线1：的方 圆C,截得的弦长与直线1：被圆C:截得的弦长相等.试求所有 向向量为v2=(a2,b2),则直线l1与12互相垂直的充要条 满足条件的点P的坐标. 件是a1a2十b1b2=0. [解析](1)由于直线x=4与 ↑y 3.特殊位置直线的平行与垂直：是指方程式为x=a型 圆C1不相交，所以直线1的斜率存 与y=b型直线的平行与垂直，判定方法简单，但容易忽视 在.设直线1的方程为y=k(x一4)， 圆C1的圆心到直线1的距离为d,因 [真题5](2021·上海)已知直线11：(k-3)x+(4-)y 为直线1被圆C1截得的弦长为2√3。 +1=0与12：2(k-3)x-2y+3=0平行，则k的值是() 所以d=√22-(3)2=1. A.1或3 B.1或5 11-k(-3-4)1 C.3或5 D.1或2 由，点到直线的距离公式得d= √个+k? [解析]由两直线平行可得：当=3时符合题意；当k≠3 k-34-k 从而k(24k十7)=0.即友=0或k=一24' 时有2》解得质=5所以造C 所以直线1的方程为y=0或7x十24y-29=0. [真题6](2022·安徽)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0 (2)设点P(a,b)满足条件，不妨设直线11的方程为y一b= 平行的直线方程是 () k(x一a),k≠0， A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 1 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 则直线1：的方程为y-b=一方(x一a, [解析] 因为圆C1和C:的半径相等，及直线1被圆C1截得的弦 解法一：斜奉为号的直线只有AB,通过(1,0)的 长与直线12被圆C:裁得的弦长相等，所以圆C的圆心到直线 直线有A,故答案为A.解法二：与直线x一2y一2=0平行的直 (1的距离和圆C2的圆心到直线1：的距离相等，即 线斜率为了，所以这点1,0)且与直线x一2y2=0年行的直 5+ (4-a)-b 1-k(-3-a)-b k 1+k 1 线方程为y=2(x-1),即x-2y-1=0,选A. √1+ 题源4两条直线所成的角和点到直线的距离 整理得|1+3k十ak一b|=|5k+4一a一bk|, 从而1十3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k十ak一b= -5k-4+a+bk, 即(a+b-2)k=b一a+3或(a一b+8)k=a+b-5, 因为k的取值有无穷多个，所以 +6-2=0或0-6+8=0： b-a+3=0,{a+b-5=0, ·138·