5.7 空间向量在立体几何中的应用 题源2 空间角公式-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

7.利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面 直线上各取一个向量a,b,只要证明a⊥b,即a·b=0 即可. 8.证明线面垂直：直线l,平面a,要让l⊥a,只要在1 上取一个非零向量p,在a内取两个不共线的向量a、b,问 题转化为只证：p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b·p =0. 9,证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明线 线平行，线线垂直， L真题1](2020·江苏)如图，设动点P在棱长为1的正 DP 方体ABCD-ABCD,的对角线BD:上，记D,B=X.当 ∠APC为钝角时，求A的取值范围 [解析]由题设可知，以DA、DC DD1为单位正交基底，建立如图所示的空 A B 间直角坐标系D一xy,则有A(1,0,0), B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1). D 由D1B=(1,1,-1)得D1P=入D1B =(入，入，-A),所以PA=PD+D1A=X (一入，-A,A)十(1,0，一1) =(1-入，-入，入-1)， PC=PD1+D1C=(-λ，-A,A)+(0,1,-1) =(-入，1-入，λ-1). 显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC= os,Pt)=Pi·P元 <0,这等价于PA.P元<0， PAI·PC1 即(1-A)(-A)+(-A)(1-λ)+（入-1）2=（入-1）(3入-1) <0,得3<A<1. 因此以的取值范图为（合 [真题2](2019·全国I)一个等腰直角三角形的三个顶 点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为 2,则该三角形的斜边长为 [解析]解法一：如图，△AMN就是已知的等腰直角三角 形，取AN的中点Q,连结MQ.作MP⊥BB1,垂足为P,易证 △ACM≌△MPN, .MC=PN,又MC=PB. ∴MC上行BN,取AB中点E,连结EQ,QE=弓BN, MC LQE .四边形MQEC是矩形. .MQ=CE=W3.又AN=2MQ=2W3(直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半) (这种解法是将所求斜边长转化为2·CE,思维量大，不易 想到) 解法二：（向量法） 如图建立坐标系，A(0,0,0),M(1√3，m),N(2,0,n). 且m>0,n>0.则AM=(1,√3，m),MN=(1,-√3，n m), 又AM⊥MN→1-3+m(n-m)=0即m(n-m)=2①， ·12 |AM1=1MN1→1+3+m2=1+3 +(n-m)2即m2=(n-m)2②， 由①、②解得m=√2，n=2√2， A M .|AN|=√22+02+(22)2= 25. (向量法运用方程思想求解，比较直 接，容易想到) A(O) 题源2空间角公式 解题模型 (1)异面直线成角公式，设a,b分别为异面直线l1, 上的方向向量，0为异面直线所成的角，则cos9=|cos(a,b)川 =la·b lallb (2)线面角公式，设1为平面a的斜线，a为1的方向向 量，n为平面a的法向量，0为l与a成角， 则sin0=cos(a,n)=an a·n (3)面面角公式：①设n1,n2分别为平面a,B的法向 量，二面角为日，则0=(n1,n2〉或0=π一〈n1,n2〉（需要根 据具体情况判断相等或互补)，其中cos〈n1,n2) n1·n2 nl·ln2 ②设n1,n2为二面角棱的法向量，二面角为0，则 日=〈n1,n2〉或0=π一〈n1,n2〉（需要根据具体情况判 断相等或互补)，其中cos《nn:)=nng n1·ng [真题3](2022·辽宁)已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平 面ABC,AB⊥AC,PA=AC=2AB,N为AB上一点，AB= 4AN,M,S分别为PB,BC的中点. (I)证明：CM⊥SN: (Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小. [解析]设PA=1,以A为原点，射线AB,AC,AP分别 为x,y,之轴正向建立空间直角坐标系如图 M B 则P(0.0.1.C(0.1,0,B(2,0.0.M(0,7） v(20.0）s(1,z0） (1C=1-1,合.5=(-日-20周为成· s-+号+0=0. 所以CM⊥SN. (I=(21,o 设a=(x,y,之)为平面CMN的一个法向量， 由a·Ci=0,a·Nt=0, 1 -y+2=0 令x=2,得a=(2,1,-2). Γ2x+y=0. -1- 2 因为|cos(a,SN)l 2 2 所以SN与平面CMN所成角为45°， [真题4](2022·全国I)如图，四棱锥S-ABCD中，SD ⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD= 2,E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC. (1)证明：SE=2EB; (2)求二面角A一DE-C的大小. [解析]以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立 如图所示的直角坐标系D一xy之 设A(1,0,0),则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) (1)sC=(0,2,-2),BC=(-1,1,0). 设平面SBC的法向量为n=(a,b,c), 由n⊥SC,n⊥BC得n·SC=0,n·BC=0, 故2b-2c=0,-a+b=0. 令a=1,则b=1,c=1,n=(1,1,1). 又设5-a>0则B(年产千 成-（年产）-020 设平面CDE的法向量m=(x,y,之)， 由m⊥D正，m⊥D元，得m·D正=0，m·D元=0. 入x+入y+ 故帝+0+器02y=0 令x=2,则m=(2,0,-入). 由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n,m·n=0,2-入=0，入 .13 =2. 故SE=2EB. 2)由知E(仔号号)系DE中点F, O,由此得FA⊥DE, 又成=（号合）故武成=0，由元将C ⊥DE, 所以向量FA与E式的夹角等于二面角A一DE一C的平 面角. 于是osF,E心)=F·E心 1 1FAE元=-2， 所以，二面角A一DE-C的大小为120° [真题5](2020·安徽)如图，在四棱锥O一ABCD中，底 面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=年.OA⊥底面ABCD, OA=2,M为OA的中点，N为BC的中点， 0 B N (1)证明：直线MN∥平面OCD: (2)求异面直线AB与MD所成角的大小； (3)求点B到平面OCD的距离. [解析]作AP⊥CD于点P如图， 0 分别以射线AB,AP,AO为x,y,心正半 轴建立直角坐标系. A0.00.B1.0,0,P0. 2,0), p(-号9).o002Mo B （99 设平面OCD的法向量为n=(x,y,g),则n·O户=0， n·OD=0. 2y-2=0, 即 g+ 2y-2=0 取之=√2，解得n=(0,4,W2). m-(-g9.-）o4=o… ∴.MN∥平面OCD. 0 (2)设AB与MD所成角为0， AB=(1,0,0),M= IAB MDI ∴.cos0= AB1·MDI 20=3 AB与MD所成角的大小为子 (3)设，点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量n= (0,4,√2)上的投影的绝对值. 由OB=(1,0,-2),得d= OB·n_2 n 3 所以，点B到平面OCD的距离为3· 题源3 空间距离 解题模型 (1)点面距离公式：P为平面a外一点，a,n分别为平 面a的斜向量和法向量，d为P到a的距离，则d=|a|· lcos<a,n>1=la·n n (2)线面距离公式：转化为点面距离， (3)面面距离公式：转化为点面距离， (4)异面直线的距离公式：设n为异面直线11、1：的公 垂线上的方向向量，a为11，l2上两点的连线向量(a与n 不共线)，d为l1与l:间的距离，则d=|a|lcos(a,n〉|= a·n [真题6](2022·全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点，E为AB1上的一 点，AE=3EB1. (1)证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； (2)设异面直线AB,与CD的夹角为45°，求二面角A1一 AC1-B1的大小. 、D -B A A [解析](1)以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建 立如图所示的空间直角坐标系B一xy之. D B y 设AB=2,则A(2,0,0),B:(0,2,0),D(0,1,0), ·13 设c10,证=（合号）B=2-2.0. =(1,-1,c. 于是DE.B1A=0,DE.DC=0, 故DE⊥B1A,DE⊥DC, 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线， (2)因为(B1A,DC)等于异面直线AB1与CD的夹角， 故B1A·DC=B1A|·D元1cos45°， 典2××号 解得c=√2，故AC=(一1,0W2). 又AA1=BB1=(0,2,0), 所以AC=AC+AA1=(-1,2,√2). 设平面AA1C1的法向量为m=(x,y,之)， 则m·AC1=0,m·AA=0, 即一x十2y+√2x=0且2y=0. 令x=2,则之=1，y=0,故m=(wW2,0,1). 设平面AB1C1的法向量为n=（p,q,r), 则n·AC1=0,n·B1A=0, 即-p+2g十√2r=0,2p-2g=0. 令p=2,则g=√2，r=-1,故n=(2,W2,-1). 所以cos(m,n)= m·n1 mn√5 由于(m,n〉是二面角A1一AC1一B1的平面角， 所以二面角A1一AC1-B1的大小为arccos 15 15 五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) 题源1空间向量的坐标运算（★★★★） 1.(2021·江西)如图，正四面体ABCD的顶点A,B,C分 别在两两垂直的三条射线Ox,Oy,Ox上，则在下列命题中，错误 的是 A.O一ABC是正三棱锥 B.直线OB∥平面ACD C.直线AD与OB所成的角是45 D.二面角D-OB-A为45 2.(2021·安徽)在空间直角坐标系 中，已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M A 在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是 3.(2021·湖北)如图，四棱锥S一ABCD的底面是正方形， SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,点E是SD上的点，且DE= Aa(0<A1). (1)求证：对任意的入∈(0,1]，都有AC⊥BE; (2)若二面角C-AE-D的大小为60°，求入的值.