5.7 空间向量在立体几何中的应用 题源1 空间向量的坐标运算-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

§5.7空间向量在立体几何中的应用 考纲·题型解读 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直， 4,会利用空间向量的坐标运算、两点间距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角、距离等问题，从而 培养准确无误的运算能力， 5.高考中立体几何为必考内容，并且通常有一道综合题，常居于6个解答题的中间位置，难度不是很大，但由于考查空间想 象能力，故学生掌握情况差异比较大，如果用向量法来解可以降低难度，并且多数情况下传统法、向量法都可以解题，有时还可 以用向量的坐标运算解题 五年高考母题题源揭秘 解题模型 题源1空间向量的坐标运算 1.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b:),则a+b=(a +b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-bg); Aa=(入a1,λa2,Aag);a·b=a1b1十a2b2+a3b3:a∥b=a1 =Ab1ag=入b2,a=ab3a⊥b台a1b1十a2b2十a3b3=0. 2.设A(x1y1之1)、B(x2y2,x),则AB=O店-OA =(x2-x1y:-y12一之1). 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示 这个向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标， 3.两个向量的夹角及两点间的距离公式 (1)已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2b), 则la|=√a=√a+a+a:|b|=√b =√b+b+b: a·b=a1b1+a2b2+a3ba: a1b+a2b2+a3b3 cos(a,b〉= /ai+a+a·√b+b5+b (2)已知A(x1,y1,之1)，B(x,y2,2),则|A方1 √A店.A店=√x1-x:)+(y1-y:)+(1-:)厂，或 者dA.B=AB引.其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就 是空间两点的距离公式。 5.设n是平面M的一个法向量，AB、CD是M内的 两条相交直线，则n·AB=0,n·CD=0,由此可求出一个 法向量n(向量AB及CD). 6.利用空间向量证明线面平行：只要在平面a内找到 一条直线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题 转化为证明a=b即可.或者已知直线上的A、B两点坐 标，在平面Q内找出两点C、D写成坐标形式，AB=(x1, y1z1),CD=(xy2,之2)，只要证明x1=入x:且y1=入y: 且之1=入82 ·128· |AM1=1MN|→1+3+m'=1+3 7.利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面 +(n-m)2即m2=(n-m)2②， 直线上各取一个向量a,b,只要证明a⊥b,即a·b=0 由①、②解得m=√2，n=2√2， A 即可. 8.证明线面垂直：直线l,平面a,要让l⊥a,只要在l .|AN|=√22+02+(22)2= 上取一个非零向量p,在a内取两个不共线的向量a、b,问 25. 题转化为只证：p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b·p (向量法运用方程思想求解，比较直 接，容易想到) A(O) =0. 9.证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明线 题源2空间角公式 线平行，线线垂直. [真题1](2020·江苏)如图，设动点P在棱长为1的正 解题模型 DP 方体ABCD-AB:CD,的对角线BD1上，记D,B =入.当 (1)异面直线成角公式，设a,b分别为异面直线l1,l。 上的方向向量，0为异面直线所成的角，则c0s=|cos(a,b)川 ∠APC为钝角时，求λ的取值范围】 la·bl [解析]由题设可知，以DA、D心、 lallb' DD为单位正交基底，建立如图所示的空 (2)线面角公式，设1为平面a的斜线，a为1的方向向 间直角坐标系D一xyz,则有A(1,0,0), 量，n为平面a的法向量，0为l与a成角， B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1). 由D1B=(1,1,-1)得D1P=入D1B 则i0=casa.a=88 =(X,A,-A),所以P月=PD+D1A= (3)面面角公式：①设n1,n2分别为平面a,B的法向 (一入，-A,A)十(1,0，-1) 量，二面角为0，则0=(n1,n2〉或0=x一(n1,n2)(需要根 =(1一入，-入，入-1)， 据具体情况判断相等或互补)，其中cos〈n1,n:〉 PC=PD1+D1C=(-入，-A,A)+(0,1,-1) n1·n2 =(-入，1-入，入-1). ln|·ln2 显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC= ②设n1,n2为二面角棱的法向量，二面角为日，则 ospi,Pt=Pi·P心 日=〈n1,n2〉或0=π一〈n1,n2〉（需要根据具体情况判 <0,这等价于PA.P元<0. 1PA1·P元 断相等或互补)，其中cos〈n1,n2)= n1·ng 即(1-A)(-1)+(-1)(1-A)+(入-1)2=（入-1）(3x-1) Inm2T <0,得子<A<1. [真题3](2022·辽宁)已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平 因光以的取雀范国为（合小 面ABC,AB⊥AC,PA=AC=ZAB,N为AB上一点，AB= 4AN,M,S分别为PB,BC的中点. [真题2](2019·全国I)一个等腰直角三角形的三个顶 (I)证明：CM⊥SW; 点分别在正三棱柱的三条侧棱上已知正三棱柱的底面边长为 (Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小. 2,则该三角形的斜边长为 [解析]设PA=1,以A为原点，射线AB,AC,AP分别 [解析]解法一：如图，△AMN就是已知的等腰直角三角 为x,y,之轴正向建立空间直角坐标系如图. 形，取AN的中点Q,连结MQ.作MP⊥BB1,垂足为P,易证 △ACM≌△MPN, .MC=PN,又MC=PB. :MCL2BN,取AB中点E,连结EQ,QE= 2BN,. MC LQE .四边形MQEC是矩形 ∴.MQ=CE=√3.又AN=2MQ=2√3（直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半) (这种解法是将所求斜边长转化为2·CE,思维量大，不易 想到) 解法二：（向量法） 期P(0.0.1),C(0.1,0).B(2,0.0,M.0,） 如图建立坐标系，A(0,0,0),M(1W3,m),N(2,0,n) N(合00）s20 且m>0,n>0.则AM=(1,√3，m),M=(1,-√3，n m), (10成=0-1，名5=(-分-20.周为G· 2-1 又AMLMN→1-3+m(n-m)=0即m(n-m)=2①， ·129·