5.6 空间中的角和距离 题源3 二面角-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

-x十之=0， 1 -x+y+2x=0. 1 所以x=之=2.取=2，得n=(21,2), 设F是棱C1D1上的，点，则F(t,1,1)(0≤t≤1).又B1(1, 0,1),所以B1下(t-1,1,0),而B1F中平面A1BE,于是B1F∥平 面A1BE台B1下·n=0台(t-1,1,0)·(2,1,2)=0曰2(t-1)+ 1=0e1=子F为C,D,的中点，这说明在棱C,D,上存在点 F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE. 解法二：(I)如图②所示，设AA!的中点为M,连结EM, BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以 EM∥AD.又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面 ABB1A1,所以EM⊥平面ABB1A1,从而BM为直线BE的平 面ABB1A1上的射影，∠EBM为BE和平面ABB1A1所成 的角， 设正方体的棱长为2，则EM=AD=2,BE=√22+2+1 =3. 于是，在R△BEM中，sin∠EBM=EM-2 BE 3 即直线BE和平面ABB,A,所成的角的正弦值为 3 A A ② ③ (Ⅱ)在棱CD1上存在点F,使B1F∥平面ABE 事实上，如图③所示，分别取C1D1和CD的中点F,G,连 结EG,BG,CD1,FG.因A1D1∥B1C1∥BC,且A,D1=BC,所 以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1C∥A1B.又E,G分 别为D1D,CD的中点，所以EG∥D1C,从而EG∥A1B.这说明 A,B,G,E共面，所以BGC平面ABE. 因为四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F,G分别为 C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B,且FG=C,C= B,B,因此四边形B,BGF是平行四边形，所以B,F∥BG.而 B1F庄平面A1BE,BGC平面A1BF,故B1F∥平面A1BE. [点评]斜线与平面所成的角是立体几何考查中的重点， 线与面平行，线与面的垂直是立体几何考查的两个主要方面. [真题4](2021·全国Ⅱ)如图，直三楼柱ABC一A1B1C1 中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1. (1)证明：AB=AC: (2)设二面角A一BD一C为60°，求B,C与平面BCD所成 的角的大小 [解析]解法一：(1)取BC中点F,连接EF, 则EF∠BB,从而EF∠DA, B 连接AF,则ADEF为平行四边形， 从而AF∥DE. D E 又DE⊥平面BCC1,故AF⊥平 12 面BCC1, 从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线， 所以AB=AC. (2)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG. 由三垂线定理知CG⊥BD, 故∠AGC为二面角A一BD一C的平面角. 由题设知，∠AGC=60°」 设AC=2,则AG=2 又AB=2,BC=2√2，故AF=√2， 由AB·AD=AG·BD得2AD=2,√AD+2, √3 解得AD=√2，故AD=AF. 又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形. 因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A, 故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF, 连接AE、DF,设AE∩DF=H, 则EH⊥DF,EH⊥平面BCD, 连接CH,使∠ECH为B1C与平面BCD所成的角. 因四边形ADEF为正方形，AD=√2，故EH=1, 又EC=号BC=2,所以∠BCH=30 即B1C与平面BCD所成的角为30° 解法二：(1)以A为坐标原，点，射线AB为x轴的正半轴，建 立如图所示的直角坐标系A一xy 设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c) 则B10,2E(合台） 于是成=（合0=(-16 0). 由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC, DE.BC=0,求得b=1, 所以AB=AC. (2)设平面BCD的法向量AN=(xy,之)， 则AN·BC=0,AN·BD=0. 又BC=(-1,1,0),BD=(-1,0,c), 故/厂x+y=0, (-x+cz=0. 令=1，对y=1=2=112 又平面ABD的法向量AC=(0,1,0). 由二面角A-BD-C为60°知，(AN,AC)=60°， 故A·AC=AN1·AC1·cos60,求得c=二 2 于是AN=(1,1,W2),CB=(1,-1w2), COS(AN,CB)=-AN.CB 1 AN1·ICB2 〈AN,CB)=60°. 所以B1C与平面BCD所成的角为30°， 题源3二面角 解题模型 1.二面角的平面角的作法：①垂面法：②垂线法，即在 两个半平面内分别作垂直于棱1的射线，则这两条射线所 成的角即为二面角所成的平面角；③三垂线法，即利用三垂线 定理或逆定理作出二面角的平面角 2.二面角求法：①直接法，即先作二面角的平面角，再 求解：②射影面积法，即用公式c0s0=。整求解：③向量法， S 即在二面角内取一点P,过P分别作两个半平面的垂线， 则这两条垂线所组成的向量所成的角或其补角即为二面 角的平面角 【注意】(1)利用空间向量求直线与平面所成的角， 可以有两种办法：一是分别求出斜线和它在平面内的射影 直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补 角)：二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量 与平面的法向量所成的锐角，取其余角就是斜线和平面所 成的角， (2)利用空间向量方法求二面角，也可以有两种办法： 一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直的向量，则 这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是 通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为 n1和n2,则二面角的大小等于(n1n2)(或x一《n1,n2). 利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二 面角是锐角还是钝角. [真题5](2022·浙江)如图，在矩形ABCD中，点E,F 分别在线段AB,AD上，AE=EB=AF=子FD=4:沿直线EF 将△AEF翻折成△A'EF,使平面A'EF⊥平面BEF. (1)求二面角A'一FD一C的余弦值： (2)MNCD向上翻折，使C与A'重合，求线段FM的长。 D [解析]解法一：(1)取线段EF的中点H,连接A'H,因为 A'E=A'F及H是EF的中点，所以A'H⊥EF. 又因为平面A'EF⊥平面BEF, 及A'H二平面A'EF,所以A'H⊥平面BEF 图① 如图①建立空间直角坐标系A一xy必， 则A'(2,2,2√2)，C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0) 故FA=(-2,2,2√2)，FD=(6,0,0) 设n=(x,y,心)为平面A'FD的一个法向量， 所以{2x+2)+22x=0取=2，则n=(0,-22). 6x=0. 又平面BEF的一个法向量m=(0,0,1),故cos(n,m〉= nm=3所以二面角A'-FD-C的余弦值为 n·m3 31 (2)设FM=x,则M(4十x,0,0), 因为翻折后，C与A'重合，所以CM=A'M. 故(6-x)2+8+02=(-2-x)2+2+(22),得x=21. 4· 21 经检验，此时，点N在线段BC上，所以FM= 4 解法二：(1)如图②取线段EF 的中，点H,AF的中点G,连接A' G.A'H.GH, 因为A'E=A'F及H是EF G H 的中点， 所以A'H⊥EF,又因为平面 M A'EF⊥平面BEF, 所以A'H⊥平面BEF,又AF 图② C平面BEF, 故A'H⊥AF,又因为G、H是AF、EF的中，点， 易知GH∥AB,所以GH⊥AF,于是AF⊥面A'GH,所以 ∠A'GH为二面角A'-DF-C的平面角. 在Rt△A'GH中，A'H=2√2，GH=2,A'G=23,所以 cos∠A'GH=E 3 故二面角A'-DF-C的余弦值为 31 (2)设FM=x,因为翻折后，C与A'重合.所以CM=A'M, 而CM2=DC2+DM=82+(6-x)2, A'M2=A'H:+MH2=A'H?+MG+GH2=(22)+ (x+2)2+2 21 程三，经检验，此时点N在线段BC上，所以FM= [真题6](2022·全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC一A1B1C 中，AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点，E为AB1上的一 点，AE=3EB1. 、D B A (I)证明：DE为异面直线AB,与CD的公垂线； (Ⅱ)设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角 A1-AC1-B1的大小. [解析](I)连结A1B,记A1B与AB1的交，点为F, 因为面AA1B,B为正方形，故AB⊥AB1,且AF=FB1, 又AE=3EB1,所以FE=EB1,又D为BB1的中点，故DE∥ BF,DE⊥AB1, 作CG⊥AB,G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点. B A 又由底面ABC⊥面AA1B1B,得CG⊥面AA1B1B, 连结DG,则DG∥AB1,故DE⊥DG,由三垂线定理，得DE ⊥CD. 所以DE为异面直线AB,与CD的公垂线. (Ⅱ)因为DG∥AB1,故∠CDG为异面直线AB1与CD的 夹角，∠CDG=45°. 设AB=2,则AB1=2√2，DG=√2，CG=√2，AC=3. 作B1H⊥AC1,H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面 AA1C1C,故B1H⊥面AA1C1C, 又作HK⊥AC1,K为垂足，连结B1K,由三垂线定理，得 B1K⊥AC1. 因此∠B1KH为二面角A1一AC1一B1的平面角 A1B· /ACi- (合AB 2√2 BH= AC 3 HC =JB.C-B.HF 3 AC,=√2+W3)=7,HK=AA·HC=2V2 AC 21 BH tan∠B1KH= HK =√14， 所以二面角A1一AC1一B1的大小为arctan vl4. 题源4距离 解题模型 1.点到平面的距离的求法 (1)垂线法（过点作平面的垂线）；(2)等体积法（利用三棱 锥的体积相等)：(3)向量法（利用向量在法向量上的射影）. 2.两异面直线间距离的求法 (1)直接法（直接找出或作出两异面直线的公垂线段 并求其长)：(2)转化法（转化为线面距离或面面距离）：(3) 等体积法. 【注意】(1)在利用空间向量求点到平面的距离时， 注意应利用该平面的一个单位法向量，而不是法向量，单位 法向量的求法是：先求出法向量，再在各个坐标上分别除 以该向量的模，一般地，与一个向量对应的单位法向量有 两个，它们是相反向量，在计算中只要选用其中一个即可， (2)斜线向量是任意选取的，只要是从该点出发的一 个共线向量即可， [真题7](2022·江苏)四棱鞋P-ABCD中，PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°， ·12 D2--- A (I)求证：PC⊥BC: (Ⅱ)求点A到平面PBC的距离. [解析](I)因为PD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所 以PD⊥BC. 由∠BCD=90°，得BC⊥DC. 又PD∩DC=D,PDC平面PCD DCC平面PCD,所以BC⊥平面PCD 因为PCC平面PCD,所以PC⊥BC. (Ⅱ)连结AC,设，点A到平面PBC的距离为h,因为AB∥ DC,∠BCD=90°，所以∠ABC=90°. 从而由AB=2,BC=1,得△ABC的面积S△ABC=1, 由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱雏P一ABC的体积 a·pm=子 V=1 因为PD⊥平在ABCD,DC二平面ABCD,所以PD⊥DC 又PD=DC=1,所以PC=√PD2+DC=√2. 由PCLBC,BC=I,得△PBC的面软SAr 2 1 ·h=3,得h=E. 因此，点A到平面PBC的距离为√2： [真题8](2020·北京)如图，在 三棱锥P-ABC中，AC=BC=2, ∠ACB=90°，AB=BP=AP,PC ⊥AC. (1)求证：PC⊥AB; (2)求二面角B一AP一C的大小； (3)求点C到平面APB的距离. [解析]解法一：(1)取AB中点D,连接PD,CD. AP=BP, .PD⊥AB. AC=BC, ∴.CD⊥AB. PD∩CD=D, .AB⊥平面PCD PCC平面PCD, ∴.PC⊥AB. (2)AC=BC,AP=BP, .△APC≌△BPC 又PC⊥AC, PC⊥BC 又∠ACB=90°，即AC⊥BC, 且AC∩PC=C, ∴.BC⊥平面PAC 取AP中点E,连接BE,CE. 3