5.1 空间几何体的结构、三视图和直观图 2022-2023高考题源拓展测试-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

17.(2022·全国)正视图为一个三角形的几何体可以是 19.(2020·宁海)如下的三个图中，上面的是一个长方体截 .(写出三种)》 去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画 18.(2019·广东)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩 出（单位：cm), 形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角 (I)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的 形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三 俯视图： 角形. (Ⅱ)按照给出的尺寸，求该多面体的体积： (I)求该几何体的体积V; (Ⅲ)在所给直观图中连接BC',证明：BC'∥面EFG. (Ⅱ)求该几何体的侧面积S, D' 正视图 侧视图 2022一2023高考题源拓展测试 未来高考还会这样考， (测试时间：90分钟总分：100分) 一、选择题（本题包括7小题，每小题3分，共21分。每小题只 A.(80+16√2)cm 有一个选项符合题意) B.96cm2 1.(宣2)如果一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的 C.(96+16W2)cm 表面积是 D.112cm2 2.(心2)如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1 的正方形，且体积为？则该几何体的俯视图可以是 () 正视图 侧视图 俯视图 ·85· B2+② 2 e+号 侧视图 n吉+E 二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分） 8.(了2)已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形 ABCD是边长为2cm的正方形，则这个四面体的主视图的面积 为 cm. D 3.(们2)下列叙述中正确的个数是 9.(2)如图，图(1)、(2)、(3)是图(4)表示的几何体的三视 ①相等的角，在直观图中仍相等： 图，其中图(1)是 ,图(2)是 ,图(3)是 ②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等： (说出视图名称). ③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行； ④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直 A.0 B.1 C.2 D.3 4.(心2)如图所示是一几何体的三视图，则在此几何体中， (1) (2)(3) (4) 直角三角形的个数是 10.(g2)一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等 A.1 腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五 2cm 2cm B.2 面体的体积为 C.3 Icm 1cm D.4 正视图 侧视图 俯视图 5.(心2)一个三棱柱的底面是正三角形，侧楼垂直于底面， 它的三视图及其尺寸如图所示（单位：cm),则该三棱柱的表面积为 正视图 侧视图 -23 正视图 侧视图 俯视图 A.24xcm B.(24+83)cm C.14√3cm2 D.18√3cm 6.(G2)四棱锥P一ABCD的顶点P在底面ABCD中的投 影恰好是A,其三视图如图所示：则四 棱锥P一ABCD的表面积为( 视 侧 A.3a2 图 图 俯视图 B.2a2 D 11.(。2)如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用 C.3a2+√2a2 图 油漆刷一遍，若每平方米用漆0.2kg,则共需油漆大约 kg. D.2a2+√2a2 A B (尺寸如图所示，单位：米，x取3) 7.(⑦2)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角 5 梯形（如图所示），∠ABC=45°，AB=AD=1,DC⊥BC,则这个 平面图形的面积为 ( +9 俯视图 正视图 侧视图 C ·86· 三、解答题（本题包括5小题，12~15题每小题12分，16题11 15.(1)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为 分，共59分) 棱AD、AB的中点， 12.(G2)用斜二测画法画出如图所示中水平放置的四边形 (1)求证：EF∥平面CB1D1: OABC的直观图 (2)求证：平面CAAC⊥平面CBD1: (3)如果AB=1,一个点从F出发在正方体的表面上依次 经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到F,指出整 B 个线路的最小值并说明理由。 -3 A(3,-2) 13.(G2)一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2 的等边三角形，俯视图如图所示，求该几何体的侧棱与底面所成 的角的正切值. 16.(▣1)如图所示，在长方体ABCD-AB1C1D1中，AD =AA1=1,AB>1,点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方 体的表面爬到点C1,所爬的最短路程为2√2， (1)求证：D1E⊥A1D: 14.(。1,2)一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中 (2)求AB的长度； M、N分别是AF、BC的中点) (3)在线段AB上是否存在点E,使得二面角D:一EC-D 的大小为若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由， 直观图 三视图 (1)求证：MN∥平面CDEF; (2)求多面体A-CDEF的体积. ·87·⊥AC, :体报V=号×号AB·ACh=20,4h=么 3 17.三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给 分)【解析】由正视图的特征可选取三棱锥、三棱 柱，圆锥作为正确答案 【点评】本题主要考查利用三视图知识，立体几 何知识探索问题的能力， 18.本小题主要考查三视图、几何体体积、等腰 三角形性质、三角形面积等基础知识，以及空间想象 能力、运算求解能力. 解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥， 其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对 侧面均为底边长为8、高为1的等腰三角形，左、右侧 面均为底边长为6、高为h2的等腰三解形，如图所示 8 (I)几何体的体积为： P1.S彩·h=3义6义8X4=64. (Ⅱ)正侧面及相对侧面底边上的高为： h1=w√4十32=5. 左、右侧面的底边上的高为： h2=√4+4=4√2】 故几何体的侧面面积为： 1 S=2,(2×8×5+z×6×42）=40+245. 19.解：(I)俯视图如图所示 61 +2可 (Ⅱ)所求多面体体积 V=V长方件一V正三摧=4义4X6一 3 (合×2x2）×2-284(em). 4 (Ⅲ)在长方体ABCD-A'B'CD'中，连接AD', 则AD'∥BC'. D' G A B' E D C B 因为E,G分别为AA',A'D'中点，所以AD ∥EG, 从而EG∥BC'.又BC'在平面EFG,所以BC'∥ 面EFG. 2012一2013高考题源拓展测试 1.A【解析】由题意知该几何体是一个正方 体与一个正四棱锥的组合体.正方体五个面的面积和 为80cm2;正四棱锥的侧面积为16√2cm2.故选A. 2.C 3.A【解析】从原图到直观图只能保证平行 于x轴、y轴的直线仍平行于x'轴、y√轴，但不能保证 平行直线依然平行，平行于x轴的线段长度保持相 等，而其他线段则没有类似的规律，其他关系更没法 保持，故四个命题均为假命题，故选A 4.C【解析】由三视图 A 可画出如图所示的几何体 直三棱锥，其中AB⊥底面 B) BCD,BC⊥BD,AB=CB=BD. 可证出三个三角形△ABC,C △BCD,△ABD都是直角三角形， 5,B【解析】由三视图知，三棱柱底面边长为 2v5 3 3 =4,高为2，其表面积=2S点十S制=2XX16 2 +3×2×4=(8W3+24)cm2.故选B. 6.D【解析】由题意：PA⊥面ABCD,S△PAs =Sa如=za,Sanr=5aw=号a2,Sk=a2, S表=a2+a2十√2a2=2a2+√2a2,故选D. 7.B【解析】由已知BCy 1十号，还原因形如图S= 2 ×(+号}8=2+9 8.2√2 9.正视图侧视图俯视图【解析】利用得 到图形的形状和边长的长度来确定， 10.2 11.22.2【解析】S庶=πr2-9=27-9=18, S#=πrl=3×3X5=45, S例=4×3×4=48， S=18+45+48=111, 需刷油漆0.2×111=22.2 C (kg). 3 12.解：画法：(1)画x'轴， A' y轴，使∠x'O'y'=45° (2)在Ox轴上取D'、B',使O'D'=OD,O'B'= OB(如图)，在O'y'轴上取C‘, 使O'C'=2OC,在O'x'轴下方过D'作D'A'∥ Oy',使D'A'=号DA. 2 (3)连线，连结OA'、A'B′、CB',所得四边形 O'A'B'C'就是四边形OABC的直观图. 13.解：由正视图和侧视图 可知该几何体是锥体，由俯视 图可知该几何体是正四棱锥， 其直观图如图所示，侧棱与底 面所成的角是∠PAO,在 Rt△POA中，OA=√2，AP= 5,0P=5,故ian∠PA0=0P=5 OA 2 14.由三视图可知，该多面体D下 是底面为直角三角形的直三棱柱 H ADE-BCF,AB=BC=BF=2, DE=CF=2E∠CBF=2 (1)证明：取BF中点G,连MG、VG,由M、N分 别为AF、BC的中点可得，NG∥CF,MG∥EF. ∴.平面MNG∥平面CDEF, 又MNC平面MNG, ∴.MN∥平面CDEF. (2)解：取DE的中点H. :AD=AE,AH⊥DE, 4 在直三楼柱ADE一BCF中， 平面ADE⊥平面CDEF,面ADE∩面CDEF= DE,∴AH⊥平面CDEF. '.多面体A一CDEF是以AH为高，以矩形 CDEF为底面的棱锥， 在△ADE中，AH=√2， SE形cDEF=DE·EF=4√2， 六校推A一CDEF的体积为V=子Sgm, AH=专×4ExE-号 15.(1)证明：连结BD. 在正方体AC1中，对角线BD∥B1D1. 又E、F为棱AD、AB的中点， ∴.EF∥BD..EF∥B1D1. 又B1D1C平面CB1D1,EF丈平面CB1D1, EF∥平面CB1D1. D A (2)证明：在正方体AC1中，AA1⊥平面 A1B1C1D1,而B1D1C平面AB1C1D1, .AA1⊥B1D1. 又，在正方形AB1C1D1中，AC1⊥BD1, ∴.B,D1⊥平面CAA1C1. 又：B1D1C平面CB1D. .平面CAA1C1⊥平面CB1D1. (3)解：如图，将正方体六个面展开，从图中F到 F,两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、 C1D1、D1D、DA的中点，所求的最小值为3√2. 16.解：解法一（几何法） (1)证法一： 连结AD1,由长方体的性质可知： AE⊥平面ADD1A1· A1DC平面ADD1A1,AE⊥A1D. 又AD=AA1=1,.AD1⊥A1D, AD1∩AE=A,.A1D⊥平面AD1E, D1EC平面AD1E,.AD⊥D1E. D C 证法二： 连结AD1,由长方体的性质可知： AE⊥平面ADD1A1, AD1是ED1在平面ADD1A:内的射影. 又AD=AA1=1,.AD1⊥A1D, .D1E⊥A1D(三垂线定理). (2)设AB=x,,四边形ADD1A1是正方形， ∴.小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C!可 能有两种途径 如图甲的最短路程为AC1|=√x+4, 如图乙的最短路程为 |AC1|=√(x+1)+1=√x2+2x+2, B B 图乙 图甲 ,x>1,x2+2x+2>x2+2+2=x2+4, ∴.√x+4=2√2，∴x=2.即AB的长度为2. (3)假设存在满足条 D 件的点E,连结DE,设EB A =t,过点D在平面ABCD 内作DH⊥EC,连结 H D1H,则∠D1HD为二面 角D1一EC一D的平面角， ∠D,HD=iDH=DD,= 在Rt△EBC内，EC=A+1, 而EC·DH=DC·AD, 即√+I=2,解得t=√5，即存在E点，且与点 4 B距离为时，二面角D,-EC-D的大小为干 解法二（向量法） (1)建立如图空间直角坐标系，设AE=a, D B A B 则E(1,a,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),D(0,0, 0), .DA·D1E=1X1+0Xa+1×(-1)=0, .D1E⊥A1D (2)同解法一， (3)假设存在满足条件的点E,平面DEC的法向 量n1=(0,0,1),D1C=(0,2,-1),设平面D1EC的 法向量n2=（x,yx), D1C·n2=0, 0+2y-之=0， 则 即》 D1E·n:=0,x+ay-x=0, 承y=1,解得=2， .n2=(2-a,1,2), (x=2-a, 2 √2 由题意得：cosn1,n2〉= √(2-a)2+1+22 2 解得a=2-√3或a=2十√3（舍去）， 即存在E点，且与点B距离为3时，二面角 D,-BC-D的大小为年 §5.2空间几何体的表面积和体积 五年高考母题原型训练 1.C【解析】本题考查了几何体内接于球体 的几何模型的空间结构，设正四棱柱底面边长为口， 则体积V=4a2=16,解得a=2,则球半径R2=22+ (√2)2，球的表面积S=4πR2=24π，故应选C. 2.C【解析】由三视图知该几何体下层为长、 宽、高分别为10、8、2的长方体，上层为长、宽、高分别 为6、2、8的长方体重叠在一起.表面积为： 【点评】本题主要考查三视图基本知识及几何 体的表面积公式. 2×(8×10+8×2+10×2)+2×(6×2+6×8+ 8×2)-6×2×2=360.故选C. 3.2【解析】由面积之比等于半径之比的平