5.2 空间几何体的表面积和体积 题源3 空间几何体体积公式的综合运用-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

h<2√3时，V'<0,所以当h=2时，V取到最大，故选C. [真题10](2022·全国I)已知在半径为2的球面上有 A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最 大值为 4.2g B.43 3 3 C.25 D&3 3 [解析]解法一：设AB=a, CD=b,异面直线AB与CD所成 角为9，距离为h,将△BCD补成 平行四边形BCDE,则BE=b, ZABE=0,.VA-BCD =VA-BDE= 1 Vn-ABe=3X2 absin9·h= B 1 sin6,由题意知a=b=2,分 别以AB、CD为直径作两个互相 平行的圆面，则h=2√3，∴.VA-D= 6×2×2X23sin0= 4√3 4√3 8sin9≤3，当9=90时取等号，故选B. [真题1川(2019·过宁)若一个底面边长为.侧检长为 √6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 [解析]如右图所示，正六棱柱 A1B:C1D1E1F1一ABCDEF中AB= 0, ,AA=,设正六棱柱上下底面的 √6 M C 中心为，点M,连结MA,则MA的长即 为正六棱柱的外接球半径，且MA= √AO+OMF +( =3 V袋= 3T·MA3=4V3元. 题源3空间几何体体积公式的综合运用 [真题12](2022·北京)如图，正方体ABCD- A1B,C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P、Q分 别在棱AD,CD上，若EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=x(xy、 之大于季)，则四面体PEFQ的体积 ( D A D p B A.与x,y之都有关 B.与x有关，与yx无关 C.与y有关，与x,心无关 ·9 D.与x有关，与xy无关 [解析]把，点P看作顶点，△QE℉为底面，易知不管动点 E,F怎么样在棱AB1上移动，△QEF的面积一定，并且 △QEF所在的平面和对角面A1B1CD是同一个平面，所以P 到底面QEF的距离就是到平面A1B1CD的距离，这与P的位 置有关，所以可知应当选D. [真题13](2022·四川)已知正方体ABCD-A'B'C'D 的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点. (1)求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线； (2)求二面角M-BC'-B'的大小： (3)求三棱鞋M-一OBC的体积」 D' M [解析]解法一：(1)连结AC,取AC的中点K,则K为 BD的中点，连结OK. 因为点M是棱AA'的中点，点O是BD'的中点， 所以AML号DD'LOK, 所以OLAK. 由AA'⊥AK,得MO D' ⊥AA′. 因为AK⊥BD,AK ⊥BB', 所以AK⊥平面BDD'B, 所以AK⊥BD'. 所以MO⊥BD', 又因为OM与异面直线A B AA'和BD'都相交， 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线. (2)取BB'的中点N,连结MN,则MN⊥平面BCC'B'.过 点N作NH⊥BC'于H,连结MH,则由三垂线定理得，BC ⊥MH. 从而，∠MHN为二面角M一BC'一B'的平面角. MN=1,NH-BNsin45"-1x 2×2= 在RIAMNH中，an∠MHN=MY=1=2E. NH2 4 故二面角M-BC'-B的大小为arctan2√2. (3)易知，S△oBC=S△oAD,且△OBC和△OA'D'都在平面 BCD'A'内.点O到平面MA'D'的距离A=2 1 Vg版=Vwaw=。w=3Sawh= 1 解法二：以点D为坐标原，点，建立如图所示的空间直角坐标 系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A'(1,0,1), C(0,1,1),D'(0,0,1). D B M D (1)因为点M是棱AA'的中点，点O是BD'的中点， 所以M0）0(位立·7 111 oi=(合专0）=o0.B0=(-1.-11. oi,A=0.0i.Bm=++0=0 所以OM⊥AA',OM⊥BD'. 又因为OM与异面直线AA'和BD'都相交， 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线， (2)设平面BMC'的一个法向量为n1=(x,y,之). =-1》 BC=(-1,0,1) 1 即厂y+2=0, (-x+g=0. 取x=2,则x=2,y=1.从而n1=(2,1,2). 取平面BC'B'的一个法向量为n2=(0,1,0). n1·n211 cos(n,n:)=n1·1m:5X13 由图可知，二面角M一BC'一B'的平面角为锐角， 故二面角M-BC'-B'的大小为arecos3 1 8)易如Sa=子am=子X1X反=唱 1 1 41 设平面OBC的一个法向量为n3=(x1,y1z1). BD'=(-1,-1,1),BC=(-1,0,0). ”·0=0即一1-+，=0 n3·BC=0.(-x1=0. 取1=1，则y1=1.从而n3=(0,1,1). 1 点M到平面OBC的距离d=B7·n:_三】 n√222 1 ,11 Vw-oec=3Sa0e·d= =3X422-2、 [真题14](2020·山东)如图，在四 棱锥P一ABCD中，平面PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形， 已知BD=2AD=8,AB=2DC=4W5. (1)设M是PC上的一点，证明：平面A MBD⊥平面PAD: (2)求四棱锥P一ABCD的体积. [解析](1)在△ABD中， 由于AD=4,BD=8,AB=45, 所以AD2十BD=AB, 故AD⊥BD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD= AD,BDC平面ABCD,所以BD⊥平面PAD. 文BDC平面MBD,故平面MBD⊥平面PAD. (2)过P作PO⊥AD交AD于O, 由于平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD 因此PO为四棱锥P一ABCD的高， 又△PAD是边长为4的等边三角形， 因此P0×4=23 在底面四边形ABCD中，AB∥DC,AB=2DC, 所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上 的高为X8-85,此即为梯形ABCD的高， 4√55 所以四边形ABCD的面积为5-2545×85=2 2 5 1 故Vp-AD=3X24X25=165. [真题15](2021·广东)如图所示，等腰△ABC的底边 AB=6√6，高CD=3.点E是线段BD上异于点B、D的动点.点 F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的 位置，使PE⊥AE.记BE=x,V(x)表示四棱锥P-ACFE的 体积. (1)求V(x)的表达式。 (2)当x为何值时，V(x)取得最大值？ (3)当V(x)取得最大值时，求异面A 直线AC与PF所成角的余弦值. [解析](I)EF⊥AB,∴EF⊥PE. 又PE⊥AE,EF∩AE=E,且PE在平面ACFE外， .PE⊥平面ACFE. EF⊥AB,CD⊥AB,.EF∥CD. 器品品后 所以四边形ACFE的面积 1 SACFE=SAAM:-SHEE-2X616X3-7 后x2=9√6 2石r.四棱维P-ACFE的体积V,-ME=名SaE·PE= 1 1 3√6x 1 1 x3,即Vx)=3V6x 6√6 6N后x'0<<3w5. 1 (2)由(1)知V'(x)=3√6一 2√6 令V'(x)=0→x=6. 当0<x<6时，V'(x)>0,当6<x<3√6时，V'(x)<0. .当BE=x=6时，V(x)有最大值，最大值为V(6)= 12√6. (3)解法一：如图，以点E为坐标 原点，向量EA,E下，E驴分别为工，y,之轴的正向建立空间直角坐 标系， 则E(0,0,0),P(0,0,6),F(0√6,0)，A(6√6-6,0,0)，C(3 √6-6,3,0). 于是AC=(-3√6,3,0)，PF=(0√6，-6) AC.PF AC与PF所成角9的余弦为cos0= IACI·PF1 3√6 1 /54+9+0×W/0+6+36 7 “异面直线AC与P℉所成角的余弦值为7 五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) 题源1表面积（★★★★） 1.(2022·全国I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱 高为4，体积为16，则这个球的表面积是 ( A.16x B.20x C.24π D.32π 2.(2022·安徽)一个几何体的三视图如图，该几何体的表 面积为 ( 一6 一6中2中2州 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 A.280 B.292 C.360 D.372 3.(2021·上海》若球01,0，表面积之比三=4，则它们的 S, 羊径之是 4.(2019·天津)一个长方体的各顶点均在同一球的球面 上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 5.(2021·上海)已知三个球的半径R1,R:,R:满足R1十2R =3R,则它们的表面积S1,S:,S满足的等量关系是 6.(2020·福建)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长 均为√3，则其外接球的表面积是 7.(2022·江西)如图，在三棱锥O一ABC中，三条棱OA, OB,OC两两垂直，且OA>OB>OC,分别经过三条棱OA,OB, OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1,S2,S:, 则S1,S2,S3的大小关系为 题源2体积（★★★★） 8.(2020·全国Ⅱ)正四楼锥的侧棱长为23，侧棱与底面 ·9 解法二：过点F作FG∥AC交AE于点G,连接PG,则 ∠PFG为异面直线AC与PF所成的角， △ABC是等腰三角形， ∴△GBF也是等腰三角形 于是FG=BF=PF=√BE+EF=√42， 从而PG=√PE+GE=√BE+BE=6√2. 在△GPF中，根据余弦定理得 COs/PFG=PF2+FG-PG 2PF·FG 故异面直线AC与PF的成角的余弦值为7元 所成的角为60°，则该棱鞋的体积为 ( A.3 B.6 C.9 D.18 9.(2021·辽宁)正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中 点，则三棱鞋D一GAC与三楼锥P一GAC体积之比为() A.1:1B.1:2 C.2:1 D.3:2 10.(2022·湖北)圆柱形容器内部盛有高度为 8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的 底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球（如图所 示)，则球的半径是 cm. 11.(2020·浙江)如图，已知球0的面 上四点A、B、C、D,DA⊥平面ABC,AB⊥ BC,DA=AB=BC=3,则球O的体积等 12.(2019·全国I)正四棱锥 S一ABCD的底面边长和各侧棱都为√2，点S、A、B、C、D都在 同一个球面上，则该球的体积为 13.(2021·上海)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一 直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 14.(2022·天津)一个几何体的三视图如图所示，则这个几 何体的体积为 正视图 侧视图 俯视图 15.(2020·四川)已知正四楼柱的对角线的长为√6，且对角线 与底面所成角的余弦值为 兮，则该正四棱柱的体积等于 16.(2021·江西)正三楼柱ABC-A1B1C1内接于半径为2 的球，若A,B两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为