5.6 空间中的角和距离 题源1 异面直线所成的角-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

§5.6空间中的角和距离 考纲·题型解读 1.掌握各种空间角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成角、二面角与二面角的平面角、二面角与两平面所成的角 直线与平面所成的角与斜线与平面所成的角的联系与区别，弄清它们各自的取值范围， 2.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移、射影等方法 3.掌提两条异面直线的距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标下的距离.掌握点到直线、 点到平面、直线和平面、平面和平面的距离的概念， 4.空间角是立体几何中一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故在历届 高考试题中频繁出现，在选择、填空题中经常出现，更多在解答题中出现 五年高考母题题源揭秘 题源1异面直线所成的角 成-(-1)威-（合 解题模型 因为C7.5列=-2+号+0=0， 2 所以CM⊥SV 异面直线所成的角的求法：(1)直接法.即“一作二找三 求”，也就是作出异面直线所成的角，再找到含有这个角的 2》解N心=（10） 三角形，然后解此三角形即可：(2)公式法，即利用异面直 设a=(x,y,之)为平面CMN的一个法向量， 线上两，点的距离公式求解（异面直线a,b所成的角为9，它 们的公垂线段为AB,长度为d,在a、b上分别取点P、Q, z-y+ 2=0, 令x=2,得a=(2,1,一2). |AP=m,BQ|=n,则|PQ=√m2+n2+d士2mcos0): (3)向量法，即设异面直线l1与1的方向向量分别为a、b, 2x+y=0. 则(a,b》或它的补角即为异面直线11与12所成的角， 因为|cos(a,S)1 2 [真题1](2022·过宁)已知 3x号 2 三棱锥P一ABC中，PA⊥平面 ABC,AB⊥AC,PA=AC= 1 所以SN与平面CMN所成角为45° [真题2](2022·天津)如图，在长方体 AB,N为AB上一点，AB=4AN, ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是棱BC, B M、S分别为PB、BC的中点. CC1上的点，CF=AB=2CE,AB·AD: (1)证明：CMLSN; AA1=1:2:4. (2)求SN与平面CMN所成 B (1)求异面直线EF与AD所成角的余 角的大小 弦值： [解析](1)设PA=1,以A为原点，射线AB,AC,AP分 (2)证明AF⊥平面A1ED: 别为x,y,之轴正向建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0,0, (3)求二面角A1-ED一F的正弦值. 1.C(0,1,0,B(2,0.0,M(1,0,）N(分00） [解析]解法一：如图①所示，建立空 间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB= A s2o） 1,依题意得D(0,2,0).F(1,2,1),A1(0, 04.E1,号0） 易得成=，号1小a方=0， B 2,-4).于是c0s(EF,A1D〉= E京.A1D 3 图① EFIA D ·119· 所以异面直线EF与AD所成角的余弦值为 在△ANF中，cos∠A1Nr=AN+FN2-A,F:_ 2 2·A1N·FN 3 2)易知市-1,2,1，=（1，-号4元= 所以n∠A,NF-怎所以二面角A,一BD-F的正孩往 （1,20于是A应，EA=0.E币=0.因此AF1EA, AF⊥ED,又EA1∩ED=E.所以AF⊥平面A1ED. （8)设争西EFD的法向量u=(y,),则·萨-0， 题源2直线与平面所成的角 即 {u.ED=0. 解题模型 2y十=0， 不妨令x=1,可得1=(1,2，-1) 斜线与平面所成的角的求法：(1)直接法，即先作出斜 1 -x十 2y=0. 线与平面所成的角，再解含这个角的直角三角形即可：(2) 公式法，即利用公式cos0=cos01cos02求之：(3)向量法，设 由(2)可知，AF为平面AED的一个法向量 1为平面a的一条斜线，a为平面a的法向量，b为1的方向 于是cosu,AF)= 4·A市 2 向量，则〈a,b》的余角或它的补角的余角即为1与平面a所 lulAF ,从而sinu,AF)= 3· 成的角， 所以二面角A,-ED-F的正孩值为 [真题3](2022·湖南)如图所示， 解法二：(1)设AB=1,可得AD=2,AA1=4, 在正方体ABCD-A1B,C1D1中，E是 1 棱DD1的中点. B CF=1,CE=2. (I)求直线BE和平面ABB:A1所 如图②连接B1C,BC1,设BC与BC1交于点M.易知A:D 成的角的正弦值； ∥BC,由CE-CF1 CBCC=A,可知EF∥BC1,故∠BMC是异面直 (Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一点F, 使BF∥平面A1BE?证明你的结论. 线EF与A,D所成的角，易知BM=CM=号B,C=5,所以 [解析]解法一：设正方体的棱长为1.如图①所示，以AB, cos∠BMC= BM2+CM2-BC*3 AD,AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系. 2·BM·CM-5 所以异面直线EF与A]D所成角的余 弦值为 D C (2)如图②，连接AC,设AC与DE交 于点N得为C-器=日所以△0E CRt△CBA,从而∠CDE=∠BCA,又由于 ∠CDE+∠CED=90°，所以∠BCA+ ① ENC ∠CED=90°，故AC⊥DE.又因为CC1⊥ 图② DE且CC1∩AC=C.所以DE⊥平面ACF, 从而AF⊥DE,连接BF,同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF (1)依题意，得B10,0,E(0,1,7),A0,0.0,D(0,1, ⊥B1C,所以AF⊥A1D,因为DE∩AD=D,所以AF⊥平 面A1ED. 0),所以成=(-1.1,2A市=(0,1.0. (3)连接AN,FN.由(2)可知DE⊥平面ACF.又NFC平 在正方体ABCD一A1B1C1D1中，因为AD⊥平面 面ACF,ANC平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故 ABB1A1,所以AD是平面ABB1A1的一个法向量.设直线BE和 ∠A1NF为二面角A1一ED-F的平面角.易知Rt△CNEO 平面ABB1A1所成的角为日，则 CN EC Rt△CBA,所以 BCAC' BF.ADI 1 2 sin= B·A市3 2大1 3 又AC=5所以CN=号.在Rt ACNE中，NE CF:+CN-30 即直线BE和争西AB,A,所成的角的王控值为号 . (Ⅱ)依题意，得A1(0,0,1),BA=(-1,0,1),B正=(-1， 在R1△A,AN中，A,N=VAN+AA=43@ 1 5 12) 连接AC1,A1F.在Rt△A1C1F中，A1F= 设n=(x,y,x)是平面ABE的一个法向量，则n·BA1= √A1C+C1F2=WJI4. 0,n·BE=0,得 ·120·