5.1 空间几何体的结构、三视图和直观图 五年高考母题原型训练-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

[解析]正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在 左侧，排除B、D,侧视图中小长方形在右上方，对应俯视图应该 在下方，排除A,故选C. [真题13](2021·上海)如图，已知三棱鞋的底面是直角 三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂 直于底面，该三棱锥的主视图是 「解析]由三视图的知识可得B图为三棱锥的主视图. [真题14](2022·陕西)若某空间几何体的三视图如图所 示，侧该几何体的体积是 主视图 左视图 2 俯视图 A.3 .3 C.1 D.2 [解析]由几何体的三视图知几何体是底面为以1和√2为 直角边的直角三角形，高为√2的直三棱柱， V= =2×1×V2×厄=1，故选C. [真题15](2021·天津)如图是一个几何体的三视图.若 它的体积是3√3，则a= 正视图 侧视图 俯视图 [解析]本题考查三视图的概念及柱体体积公式， 2×2xa×8=35,得a=5. [真题16](2021·广东)某高速公路收费站人口处的安全 标识墩如图甲所示墩的上半部分是正四棱锥P一EFGH,下半 部分是长方体ABCD一EFGH.图乙、图丙分别是该标识墩的正 (主)视图和俯视图 题源1空间几何体的结构特征（★★★★） 1,(2021·过宁)如果把地球看成一个球体，则地球上北纬 60°纬线长和赤道线长的比值为 () A.0.8 B.0.75 C.0.5 D.0.25 8. (I)请画出该安全标识墩的侧（左）视图： (Ⅱ)求该安全标识墩的体积： (Ⅲ)证明：直线BD⊥平面PEG 60cm H 侧视E 40cm A 正视 B -40cm -40cm 甲 乙 丙 「解析](I)该安全标识墩侧视图如图所示 60cm 20cm -40cm (Ⅱ)该安全标识墩的体积 V=Vp-EFGH +V ABCD-EFGH 3×40×40×60+40X40×20 =64000(cm3). (Ⅲ)由题设知四边形ABCD和四边形 EFGH均为正方形，∴.FH⊥EG,又ABCD 一EFGH为长方体，.BD∥FH. 设，点O是EFGH的对称中心，P EFGH是正四棱锥，∴.PO⊥平面EFGH,而 FHC平面EFGH,.PO⊥FH.:FH⊥侧视E PO,FH⊥EG,PO∩EG=O,POC平面 正视 PEG,EGC平面PEG,.FH⊥平面PEG. 而BD∥FH,故BD⊥平面PEG. 五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) 2.(2018·山东)设地球半径为R,若甲地位于北纬45°东经 120°，乙地位于南纬75°东经120°，则甲、乙两地的球面距离为 A.√3R B令R C.R D. 3.(2020·四川)设M是球O半径OP的中点，分别过M、 O作垂直于OP的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比 值为 () 1 A.4 b.2 c号 4.(2019·湖南)楼长为1的正方体ABCD一AB1C1D1的 8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是楼AA1、DD1的中点， 则直线EF被球O截得的线段长为 ( A号 B.1 C.1+② 2 D.√2 5.(2020·湖南)长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在 同一个球面上，且AB=2,AD=√3，AA1=1,则顶点A、B间的 球面距离是 A.2√2π B.√2x C.②x 2 D.②x 4 6.(2018·浙江)如图，O是半径为1的球的球心，点A、B、 C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与 AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是 () A.4 c. D.② 4 7.(2019·安徽)把边长为√2的正方形ABCD沿对角线AC 折成直二面角，折成直二面角后，在A,B,C,D四点所在的球面 上，B与D两点之间的球面距离为 A.√2π B.x c 8.(2020·江西)连接球面上两点的线段称为球的弦.半径 为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2√7,4√3，M、N分 别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动.有下列四 个命题： ①弦AB、CD可能相交于点M②弦AB、CD可能相交于 点N③MN的最大值为5④MN的最小值为1 其中真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 9.(2020·重庆)如下图，模块①~⑤均由4个棱长为1的 小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成现从模 块①~⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长 为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为( 模块① 模块② 模块③ 模块④ 模块⑤ 模块⑥ A.模块①，②，⑤ B.模块①，③，⑤ C.模块②，④，⑤ D.模块③，④，⑤ 8 10.(2018·北京)已知A、B、C三点在球心为O,半径为R 的球面上，AC⊥BC,且AB=R,那么A,B两点的球面距离为 ,球心到平面ABC的距离为 11.(2020·陕西)长方体ABCD-A1B1C1D1的各顶点都 在球O的球面上，其中AB:AD:AA1=1:1:√2，A,B两点 的球面距离记为m,A,D1两点的球面距离记为，则”的值 为 12.(2020·安徽)已知点A,B,C,D在同一个球面上，AB ⊥平面BCD,BC⊥CD,若AB=6,AC=2√I3,AD=8,则B,C 两点间的球面距离是 题源2空间几何体的三视图和直观图 (★★★★★) 13.(2019·山东)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两 个视图相同的是 ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 A.①② B.①③ C.①④D.②④ 14.(2022·山东)如图，△ABC为正三角形，AA'∥BB'∥ CC',CC'⊥平面ABC且3AA'=多BB'=CC'=AB,由多面体 2 ABC-A'B'C的正视图（也称主视图）是 D 15.(2020·广东)将正三棱柱截去三个角（如图甲所示A, B,C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图乙，则该几何 体按图乙所示方向的侧视图（或称左视图）为 16.(2022·福建)下图中的三个直角三角形是一个体积为 20cm3的几何体的三视图，则h等于 cm. 17.(2022·全国)正视图为一个三角形的几何体可以是 19.(2020·宁海)如下的三个图中，上面的是一个长方体截 .(写出三种) 去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画 18.(2019·广东)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩 出（单位：cm), 形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角 (I)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的 形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三 俯视图； 角形. (Ⅱ)按照给出的尺寸，求该多面体的体积； (I)求该几何体的体积V; (Ⅲ)在所给直观图中连接BC',证明：BC'∥面EFG. (Ⅱ)求该几何体的侧面积S, D' G F 正视图 侧视图 2022一2023高考题源拓展测试 D未来高考还会这样考， (测试时间：90分钟总分：100分) 一、选择题（本题包括7小题，每小题3分，共21分。每小题只 A.(80+16√2)cm2 有一个选项符合题意) B.96cm2 1.(宣2)如果一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的 C.(96+16W2)cm 表面积是 D.112cm2 2.(心2)如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1 的正方形，且体积为？则该几何体的俯视图可以是 () 正视图 侧视图 俯视图 ·85·在(0,1]上为增函数 (3)当a>3时，f(x)在(0,1]上是增函数， fmx(x)=f(1)=a-1=1→a=2(不合题意，舍 去)，当0≤a≤3时，f'(x)=a-3x2,令f'(x)= 0,x=N3 a 如下表： 0A3 a /3 f'(x) 0 f(x) 最大值 ∴.f(x)在x=】 号处取最大值一气侣) 327 当a<0时，f'(x)=a-3x2<0,f(x)在(0,1] 上单调递减，f(x)在(0,1]无最大值. .存在a= √4，使f(x)在(0,1]上有最大 值1. 17.解：(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公 共点(x。,y)处的切线相同， ·f'(z)=x+2a,g'()=3a x 由题意f(xo)=g(xo),f'(xo)=g'(xo), 2xi+2ax=3a'lnto+b, 1 即 x0+2a= 3a2 由xo+2a=3a ,得xo=a或xo=-3a(舍去)， o 即有6=a+2a-3a2lm=号a-3a2ha 1 令Ae)=哥-3rlw4>0),则a)=21- 3Int). 于是当t(1-3lnt)>0,即0<t<e时，h'(t) >0: 当t(1-3lnt)<0,即t>e时，h'(t)<0. 故h(t)在(0，e了)上为增函数，在(e,+oo)上为 减函数. 4 于是h(t)在(0，十∞)上的最大值为h(e)= 32 2e. (2)证明：设F(x)=f(x)-g(x)= 2x+2ax -3a1nx-b(x>0),则F'(x)=x+2a-3a= (x-a)z+3a》(z>0). 故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a,+∞)上为 增函数.于是函数F(x)在(0，十∞)上的最小值是F (a)=0. 故当x>0时，有f(x)-g(x)≥0，即当x>0 时，f(x)≥g(x）. 第五章立体几何与空间向量 §5.1空间几何体的结构、三视图和直观图 五年高考母题原型训练 1.C【解析】本题考查有关球的问题.可知两 个长度的比即为两个圆的半径比，设赤道所在圆半径 为R,北纬60°所在圆的半径为r,由纬度定义可知 cos60=R=2,故选择C 2,D【解析】甲、乙在东经120°线上，所对圆 心角为75°+45°=120°，所以甲、乙的球面距离为球 西大国同长的行，长为。 3.D【解析】本题解题思路是依据球半径、球 心到截面的距离、截面圆半径三者间的关系来考虑。 设球半径为2a,依题意过M,O作垂直于OP的平 面，截球面得到两个圆的半径的平方分别是(2a)2 a2=3a2,(2a)2=4a2,因此这两个圆的面积之比为 ,选D 3 4.D【解析】如图，平面AA1D1D裁球所得 圆面的半径r= IADI√2 2 2 EFC面AA1D1D, .EF被球O截得的线段为圆面直径d, ∴.d=2r=√2.故本题选D. D A B 5.C【解析】本题是立体几何中的组合体问 题，可确定球心O是长方体ABCD一A1B1C1D1的 中心，易得球的半径为√2；在△AOB中，OA=OB= 2,AB=2,故∠AOB=2:由球面上两点间的球面 距离的定义得，A、B两点的球西距离为E×哥 =2x 2 【点评】本题考查了学生对空间组合体的空间 认识，要求学生具有较强的空间想象能力；同时考查 了学生对球面上两点间的球面距离的理解与计算。 6.B【解析】考查孤长公式及球面距离的概 念.由已知得∠BOB=∠FOC=千，则可得EF=1, ∠BOF=子，因此E、F在球面上的球面距离是行 故选B 7.C【解析】本题主要考查立体几何中的球 体问题，属于知识能力应用的考查，取AC的中，点O, 即为球心，则由∠BOD=三，得B,D的球面积距离 8.C【解析】如右图所 M B 示，由AB=2√7，CD=4√3， OB=OD=4可得OM=3,ON -- =2,当弦运动时，点M的轨迹 为以○为球心，3为半径的球 面，则弦AB与CD可能相交于点M,但不可能相交 于点N,MN的最大值为3+2=5，最小值为3一2= 1,即真命题为①③④，故应选C. 9,A【解析】本题解题思路是结合所给选项 及图形分析思考得出结论.依各选项结合图形可知， 模块①②⑤与模块⑥可构造一个成为一个棱长为3 的大正方体，选A 10吾R停R【解折】I在AB所在的大 国中AB=R,0A=OB=R,∠AOB=子，AB 的孤长=R,故A,B两点的球面距离为R. (2)设截面ABC的圆心为O1,由已知得OA= ·4 OB=OC,又AC⊥BC,所以AB为圆O1的直径，又 由球的裁面性质：OO1⊥平面ABC,O1为AB中点， 所以r=R/2,在Rt△OO1B中OB=R,O1B= 号f议00-合R 【点评】本题考查球面距离的概念及球的截面 性质. 11.2 【解析】长方体的外接球中的球面距 离问题，注意球心为长方体的中心，可求得对角线 √/+1+2=2→R=1,球心O和A,B构成的三角 形为等腰三角形且OA=OB=1,AB=1→∠AOB= 行，球心0和A,D,药成的三角形为等接三角形且 OA=OD1=1,AD1=5→∠AOD1= 2πm=1 3 n 2 12.经【解析】如下 B D 图所示，由BC⊥CD,可得，过 BCD三点的小圆直径为BD, 又由AB⊥平面BCD,可得 A BC=√AC一AB=4,AD即为球O的直径，由此 可得OB=0C=BC,即∠BOC3,.B,C两点间 的球西距高是管×4一经 13.D【解析】正方体的三视图都是正方形， 不合题意：圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形， 俯视图是圆，符合题意；三棱台的主视图和左视图、俯 视图各不相同，不合题意；正四棱锥的主视图和左视 图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以② ④正确故选D. 14.D 15,A【解析】三视图是新课标高考的一个新 增内容，也会是近几年高考的一个常考内容，解决此 类问题的关键是要明确三视图的定义，它是把一个空 间图形向某个平面作正投影，即空间图形投射到这个 平面内的图形.显然本题所得到的几何体中，平面 ADE与左视图所在的侧立投射面是互相垂直的，根 据定义，易得答案为A 16.4【解析】直观 D 图如图，则三棱锥中AD ⊥AB,AD⊥AC,AB 2 h ⊥AC, :体报V=号×号AB·ACh=20,4h=么 3 17.三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给 分)【解析】由正视图的特征可选取三棱锥、三棱 柱，圆锥作为正确答案 【点评】本题主要考查利用三视图知识，立体几 何知识探索问题的能力， 18.本小题主要考查三视图、几何体体积、等腰 三角形性质、三角形面积等基础知识，以及空间想象 能力、运算求解能力. 解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥， 其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对 侧面均为底边长为8、高为1的等腰三角形，左、右侧 面均为底边长为6、高为h2的等腰三解形，如图所示 8 (I)几何体的体积为： P1.S彩·h=3义6义8X4=64. (Ⅱ)正侧面及相对侧面底边上的高为： h1=w√4十32=5. 左、右侧面的底边上的高为： h2=√4+4=4√2】 故几何体的侧面面积为： 1 S=2,(2×8×5+z×6×42）=40+245. 19.解：(I)俯视图如图所示 61 +2可 (Ⅱ)所求多面体体积 V=V长方件一V正三摧=4义4X6一 3 (合×2x2）×2-284(em). 4 (Ⅲ)在长方体ABCD-A'B'CD'中，连接AD', 则AD'∥BC'. D' G A B' E D C B 因为E,G分别为AA',A'D'中点，所以AD ∥EG, 从而EG∥BC'.又BC'在平面EFG,所以BC'∥ 面EFG. 2012一2013高考题源拓展测试 1.A【解析】由题意知该几何体是一个正方 体与一个正四棱锥的组合体.正方体五个面的面积和 为80cm2;正四棱锥的侧面积为16√2cm2.故选A. 2.C 3.A【解析】从原图到直观图只能保证平行 于x轴、y轴的直线仍平行于x'轴、y√轴，但不能保证 平行直线依然平行，平行于x轴的线段长度保持相 等，而其他线段则没有类似的规律，其他关系更没法 保持，故四个命题均为假命题，故选A 4.C【解析】由三视图 A 可画出如图所示的几何体 直三棱锥，其中AB⊥底面 B) BCD,BC⊥BD,AB=CB=BD. 可证出三个三角形△ABC,C △BCD,△ABD都是直角三角形， 5,B【解析】由三视图知，三棱柱底面边长为 2v5 3 3 =4,高为2，其表面积=2S点十S制=2XX16 2 +3×2×4=(8W3+24)cm2.故选B. 6.D【解析】由题意：PA⊥面ABCD,S△PAs =Sa如=za,Sanr=5aw=号a2,Sk=a2, S表=a2+a2十√2a2=2a2+√2a2,故选D. 7.B【解析】由已知BCy 1十号，还原因形如图S= 2