5.1 空间几何体的结构、三视图和直观图 题源2 空间几何体的三视图和直观图-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

截球面得三个圆，侧这三个圆的面积之比为 A.3:5:6 B.3:6:8 C.5:7:9 D.5:8:9 [解析]本题解题思路是依据球半径、球心到截面的距离、 截面圆半径三者间的关系来考虑，设球半径为3α，依题意得过 V,M,O作垂直于OP的平面，截球面得到三个圆的半径的平方 分别是(3a)2-(2a)2=5a2、(3a)2-a2=8a2、(3a)=9a2,因此 这三个圆的面积之比为5：8：9，选D. [真题9](2021·湖南)在半径为13的球面上有A,B,C 三点，AB=6,BC=8,CA=10,则 (1)球心到平面ABC的距离为 (2)过A,B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角） 的正切值为 [解析](1)由△ABC的三边大小易知此三角形是直角三 角形，所以过A,B,C三点小圆的直径即为10，也即半径是5，设 球心到小圆的距离是d,则由d2+52=132,可得d=12.(2)设过 A、B、C三点的截面圆的圆心是O1,AB中点是D点，球心是O 点，则连结三角形O1OD,易知∠ODO1就是所求的二面角的一 个平面角，OD=入01A2-(2)2=4,所以tan∠ODO1与 001=12=3,即正切值是3. O1D-4 [真题10](2021·全国Ⅱ)已知球的半径为2，相互垂直 的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两 圆的圆心距等于 ( A.1 B.√2 C.3 D.2 [解析]如图所示，取相交弦AB的 中点C,连结OC,设两圆的圆心分别为 O1,O2,连结O01,O02,可得一距形 OO1CO。,且OC⊥AB,由OA=2,AB=2 可得O1O2=OC=√OA-AC= √4-1=√3，故应选C. 题源2空间几何体的三视图和直观图 ·8 解题模型 1.空间几何体的三视图 (])“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得 到的投影图，光线自物体的前面向后投影，所得的投影图 称为“正视图”；自左向右投影，所得的投影图称为“侧视 图”：自上向下投影所得的投影图称为“俯视图” (2)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的 原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画 出，不可见轮廓线用虚线画出， (3)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度 与正视图一样；侧视图放在正视图右面，高度和正视图一 样，宽度与俯视图一样」 (4)对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察， 先认识它的基本结构，然后画它的三视图」 2.空间几何体的直观图 (1)画水平放置的平面图形的步骤为画轴、取点、成 图，图形中平行于工轴的线段，在直观图中保持不变，平行 于y轴的线段，长度变为原来的一半 (2)画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平 面x'O'y垂直的轴O',且平行于Ox的线段，长度不变， 其他同平面图形的画法 (3)空间几何体的直观图在数学中有重要作用，画得 立体感强，在做题时，立体关系就便于观察，图形画得好， 在科学实验和日常生活中也会大有作用，结合前面所述的 三视图，则可形成知识链：实物图·三视图→直观图 [真题11](2022·辽宁)如图，网格纸的小正方形的边长 是1，在其上用粗线画了某多面体的三视图，则这个多面体最长 的一条棱长为 [解析]由已知三视图可得原几何体是底面边长是2的正 方形且侧棱与底面垂直的四棱锥，且这条侧棱长为2，故可求得 最长的棱长为√22+2+22=2√5】 [真题12](2022·北京)一个长方体去掉一个小长方体， 所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如下图所示，则该 几何体的俯视图为 正（主）视图 侧（左）视图 B [解析]正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在 左侧，排除B、D,侧视图中小长方形在右上方，对应俯视图应该 在下方，排除A,故选C. [真题13](2021·上海)如图，已知三棱鞋的底面是直角 三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂 直于底面，该三棱锥的主视图是 「解析]由三视图的知识可得B图为三棱锥的主视图. [真题14](2022·陕西)若某空间几何体的三视图如图所 示，侧该几何体的体积是 主视图 左视图 2 俯视图 A.3 .3 C.1 D.2 [解析]由几何体的三视图知几何体是底面为以1和√2为 直角边的直角三角形，高为√2的直三棱柱， V= =2×1×V2×厄=1，故选C. [真题15](2021·天津)如图是一个几何体的三视图.若 它的体积是3√3，则a= 正视图 侧视图 俯视图 [解析]本题考查三视图的概念及柱体体积公式， 2×2xa×8=35,得a=5. [真题16](2021·广东)某高速公路收费站人口处的安全 标识墩如图甲所示墩的上半部分是正四棱锥P一EFGH,下半 部分是长方体ABCD一EFGH.图乙、图丙分别是该标识墩的正 (主)视图和俯视图 题源1空间几何体的结构特征（★★★★） 1,(2021·过宁)如果把地球看成一个球体，则地球上北纬 60°纬线长和赤道线长的比值为 () A.0.8 B.0.75 C.0.5 D.0.25 8. (I)请画出该安全标识墩的侧（左）视图： (Ⅱ)求该安全标识墩的体积： (Ⅲ)证明：直线BD⊥平面PEG 60cm H 侧视E 40cm A 正视 B -40cm -40cm 甲 乙 丙 「解析](I)该安全标识墩侧视图如图所示 60cm 20cm -40cm (Ⅱ)该安全标识墩的体积 V=Vp-EFGH +V ABCD-EFGH 3×40×40×60+40X40×20 =64000(cm3). (Ⅲ)由题设知四边形ABCD和四边形 EFGH均为正方形，∴.FH⊥EG,又ABCD 一EFGH为长方体，.BD∥FH. 设，点O是EFGH的对称中心，P EFGH是正四棱锥，∴.PO⊥平面EFGH,而 FHC平面EFGH,.PO⊥FH.:FH⊥侧视E PO,FH⊥EG,PO∩EG=O,POC平面 正视 PEG,EGC平面PEG,.FH⊥平面PEG. 而BD∥FH,故BD⊥平面PEG. 五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) 2.(2018·山东)设地球半径为R,若甲地位于北纬45°东经 120°，乙地位于南纬75°东经120°，则甲、乙两地的球面距离为 A.√3R B令R C.R D. 3.(2020·四川)设M是球O半径OP的中点，分别过M、 O作垂直于OP的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比 值为 () 1 A.4 b.2 c号 4.(2019·湖南)楼长为1的正方体ABCD一AB1C1D1的 8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是楼AA1、DD1的中点， 则直线EF被球O截得的线段长为 (