5.5 直线、平面垂直的判定与性质 2022-2023高考题源拓展测试-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

即AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内 时，由(1)知AB⊥DE.又因AC =BC,所以AB⊥CE.又DE, CE为相交直线，所以AB⊥平 面CDE,由CDC平面CDE,B 得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD. 16.解法一：(1)，三棱柱ABC一A1B1C1为直 三棱柱，AB⊥AA1. 在△ABC中，AB=1,AC=√3，∠ABC=60°， 由正弦定理得∠ACB=30°， ∴.∠BAC=90°，即AB⊥AC. .AB⊥平面ACC1A1,又ACC平面ACC1A1, .AB⊥A1C (2)如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连 接BD, 由三垂线定理知BD⊥A!C, .∠ADB为二面角 A A-A1C-B的平面角. B 在Rt△AA1C中，AD= AA,·ACV3X36 AC √6 21 在Rt△BAD中，tan B ∠ADB=AB=6 AD 3' ∴.∠ADB=arctan V 3 即二面角A-A,C-B的大小为arctan 3 解法二：(1)，三棱柱ABC一A1B1C1为直三 棱柱， .AA1⊥AB,AA1⊥AC 在△ABC中，AB=1,AC=√3，∠ABC=60°， 由正弦定理得∠ACB=30°， .∠BAC=90°，即AB⊥AC. 如图，建立空间直角坐标系， A,1 B 6 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,√5,0)，A1(0,0, √3)， ∴AB=(1,0,0),A,C=(03,-√3)， :AB.A1C=1×0+0X5+0×(-√3)=0， .AB⊥AC. (2)可取m=AB=(1,0,0)为平面AA1C的法 向量， 设平面A1BC的法向量为n=(1,m,n), 则BC·n=0,A1C·n=0,又BC=(-1,W3,0), {1+5m=0, ∴.1=3m,n=m. 3m-√3n=0, 不妨取m=1,则n=(√3,1,1). m·n cos(m,n〉= m·n √5×1+1×0+1×0 /(W3)2+12+12·1+02+02 5 .二面角A一A1C-B的大小为arccos V15 5 2012一2013高考题源拓展测试 1.C2.C3.C4.D5.D6.A7.D 8.B 9.510.90° 11.①④12.2√7 13.证明：连接AO并延长交BC于点E,连 结PE ,PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, ∴PA⊥BC.又O是△ABC的垂心，.BC ⊥AE. .BC⊥平面PAE,.BC⊥PE,.PE必过 Q点. .OQC平面PAE,∴OQ⊥BC.连接BO并延长 交AC于点F. ,PA⊥平面ABC,BFC平面ABC,∴.PA IBE. 又O是△ABC的垂心，∴.BF⊥AC. ∴.BF⊥平面PAC.,PCC平面PAC, .BF⊥PC.连接BQ并延长交PC于M,连 接MF. Q为△PBC的垂心，.PC⊥BM..PC⊥平 面BFM. ,OQC平面BFM,∴.OQ⊥PC..OQ⊥平 面PBC. 14.(1)证明：反证法.假设B1P⊥平面 ACC1A1,则B1P⊥A,C1.又正三棱柱ABC- A1B1C1中，A1C1⊥AA1, .A1C1⊥侧面ABB1A1,则AC1⊥A1B1,这与 △A1B,C1是正三角形矛盾.故B1P不可能与平面 ACC1A1垂直. (2)解：取A1B1的中点D,连结C1D、BD、BC1, 则C1D⊥A1B1,又AA1⊥平面A1B1C1, .AA1⊥C1D, .C1D⊥平面ABB,A,故BD是BC1在平面 ABB1A1上的射影， BC1⊥B1P,.BD⊥B1P. ∴.∠B1BD=90°-∠BB1P=∠PB1A1. 又A1B1=B1B=2, .△BB1D≌△B1A1P, .AP=B1D=1,从而AP=1. 15.(1)解：DC⊥BC,且平面PBC⊥平面AB CD, .DC⊥平面PBC. PCC平面PBC, .DC⊥PC,又DC⊥BC, .∠PCB为二面角P一DC一B的平面角. ,△PBC是等边三角形， .∠PCB=60°，即二面角P-DC一B的大小 为60. (2)证明：设PB的中点为N,PA的中点为M, 连结DM、MN、CN. PC=BC, .CN⊥PB. ① M ,AB⊥BC,且平面 PBC⊥平面ABCD, .AB⊥平面PBC. 又CNC平面PB, .AB⊥CN.② 由①、②知CN⊥平面PAB. 由MN∥AB∥CD,MN=子AB=CD,得四边 形MNCD为平行四边形， .CN∥DM, ∴.DM⊥平面PAB, 又，DMC平面PAD, ∴.平面PAD⊥平面PAB. 16.解：如图所示， 6 (1)设PG=平面ABP∩平面PCD :AB∥CD,.AB∥平面PCD. 又，ABC平面PAB,.AB∥PG. :PD⊥平面ABCD, .PD⊥AB 又AB⊥AD, .AB⊥平面PAD, ∴.PG⊥平面PAD, .PG⊥PA,PG⊥PD. .∠APD为侧面PAB与侧面PCD所成二面 角的平面角，.∠APD=45°. 又AD=1,PD⊥AD,.PD=1. CD∥AB,.CD∥平面PAB ∴，点D到平面PAB的距离等于点C到平面 PAB的距离. 作DH⊥PA于H,可证DH为点D到平面 PAB的距离DH=区 2 点C到平面PAB的距离为 1 (2)存在点E使PB⊥平面AEC. 连接BD,PD⊥平面AC,又BD⊥AC, .PB⊥AC. 若PB⊥平面ACE,只需PB⊥AE PA=E,AB=1,PB=尽，AE=5 =23 3 当器=号时，PBL平国AC 17.(1)证明：，平面PAD⊥平面ABCD,AB ⊥AD, ∴.AB⊥平面PAD,'E、F为PA、PB的 中点， .EF∥AB,.EF⊥平面PAD; (2)解：过P作AD的垂线，垂足为O, 平面PAD⊥平面ABCD,则PO⊥平 面ABCD. 取AO中点M,连OG,EO,EM, :EF∥AB∥OG, .OG即为面EFG与面ABCD的交线 又EM∥OP,则EM⊥平面ABCD.且OG ⊥AO, 故OG⊥EO,.∠EOM即为所求二面角的 平面角. Rt△EOM中，EM=√3，OM=1 .tan∠EOM=√3，故∠EOM=60 ∴.平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大 小是60°. §5.6空间中的角和距离 五年高考母题原型训练 1.D【解析】设三棱柱长2，中点为D, ∠A1AB为异面直线AB与CC1所成的角.A1D⊥面 ABC,AD=3,BD=1,在Rt△A1AD中，A1D=1, 在Rt△A1BD中，BD=1,A1B=√2，在△A1AB 中o∠AAB=技号=亭本怎焉于中特题，考 查空间角的计算. C B 2.arctan√5【解析】如 D 图所示，连接D1C,由AD∥A BC,可得∠CBD1就是异面直 线BD1与AD所成的角，由 CB⊥CD1可得tan∠CBD1= D CD √22+4 =5, BC ∴.∠CBD1=arctan√5. 3.解法一：(1）由 AD∥D1G知∠C1GD1 B 为异面直线AD与C1G 所成的角. 连接C:F.因为AEE 和C1F分别是平行平面 ABB:A1和CC:D1D与 平面AEC1G的交线，所 以AE∥C1F,由此可得D1F=BE=√3. 再由△FD1GC∽△FDA得D1G=√5.在 Rt△C1D1G中，由C1D1=1,D1G=3得∠C1GD (2)作D1H⊥C1G于H,连接FH.由三垂线定 。6 理知FH⊥C1G, 故∠D1HF为二面角F一C1G一D1即二面角 A一C1G一A1的平面角， 在Rt△GHD1中，由DG=√3，∠D1GH= 6 D1E_5=2. D,H=s.从而an∠D1HFDH 解法二：(1)由AD∥ D1G知∠C1GD1为异面 B 直线AD与C1G所成的 角.因为EC1和AF是平 行平面BB1C1C和E AAD,D与平面AEC1G 的交线，所以EC1∥AF, 5 由此可得∠AGA1= ∠EC,B,=千，从而AG=AA,=5+1,于是D,G =√3.在Rt△C1D1G中，由C1D1=1,D1G=√3得 ∠C6D,=8 (2)在△ACG中，由∠CAG=,∠AGC =吾知∠A,CG为钝角.作AH1GC,交GC的 延长线于H,连接AH.由三垂线定理知GH⊥AH. 故∠AHA1为二面角A一C1G-A1的平面角. 在Rt△A1HG中，由A1G=3+1,∠A1GH= 否得A,H= 2 AA_3+1=2. 从而tan∠AHA:=A,F3+1 2 解法三：(1)以A1 为原点，AB1、AD1、B A1A所在直线分别为x 轴，y轴和之轴建立如图 所示的空间直角坐标系。E 于是，A(0,0,5+1), (O D C1(1,1,0),D(0,1,√3 B +1),E(1,0,1),AD= (0,1,0),EC1=(0,1,-1). 因为EC1和AF分别是平行平面BB1C1C和 AA:D1D与平面AEC1G的交线，所以EC1∥AF.设(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论. 题源3直线与直线垂直（★★★★★） D 12.(2019·安徽)设1，m,n均为直线，其中m,n在平面a 内，则“1La”是“1⊥m且lLn”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 13.(2021·四川)如图，已知六棱锥P一ABCDEF的底面 是正六边形，PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是 A.PB⊥AD B.平面PAB⊥平面PBC C.直线BC∥平面PAE D.直线PD与平面ABC所成的角为45 C 16.(2021·陕西)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB =1,AC=AA1=√3，∠ABC=60° (1)证明：AB⊥AC: 第13题 第14题 (2)求二面角A一AC-B的大小 14.(2021·宁海)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为1，线段BD,上有两个动点E,F,且EF,则下列结论中 错误的是 A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD C.三楼锥A一BEF的体积为定值 D.异面直线AE,BF所成的角为定值 15.(2019·宁海)如图，A,B,C,D为空间四点.在△ABC 中，AB=2,AC=BC=√2.等边三角形ADB以AB为轴转动. (1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD: 2022一2023高考题源拓展测试 D未来高考还会这样考 (测试时间：90分钟总分：100分) 一、选择题（本题包括8小题，每小题2.5分，共20分。每小题 C.平面ADCL平面BCD 只有一个选项符合题意) D.平面ABC⊥平面BCD 1.(☐1)如图所示，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB 3.(心3)若平面a与平面B相交，直线m1a,则() =90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么 A.3内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直 ( B.B内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m A.PA=PB>PC 垂直 B.PA=PB<PC C.3内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直 C.PA=PB=PC D.3内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 D.PA≠PB≠PC 4.(G1.2)设a,B,y是三个不重合的平面，m,n是不重合的 2.(喧2)在三棱锥A一BCD中，若AD 直线，下列判断正确的是 () ⊥BC,BD⊥AD,△BCD是锐角三角形，那 A.若a⊥3,3⊥Y,则a∥y 么必有 () B.若a⊥B,l∥B,则1⊥a A.平面ABD⊥平面ADC C.若m∥a,n∥a,则m∥n B.平面ABD⊥平面ABC D.若m⊥a,n⊥a,则m∥n ·117 5.(3)线段AB、CD在同一平面内的射影相等，则线段 14.(@1.3)如图，正三棱柱ABC-AB1C的所有棱长均 AB、CD的长度关系为 () 为2，P是侧棱AA1上任意一点. A.AB>CD B.AB<CD (1)求证：BP不可能与平面ACC1A,垂直； C.AB=CD D.无法确定 (2)当BC1⊥B1P时，求线段AP的长. 6.(⑦1)已知直线a、b和平面M、V,且a⊥M,那么( A.b∥M→b⊥a B.b⊥a→b∥M C.N⊥M→a∥N D.atN→M∩N≠ 7.(1.2.3)a、B、y为不同的平面，m、n、1为不同的直线，则 m⊥B的一个充分条件是 () A.a⊥B,a∩3=1，m⊥l B.a∩y=m,a⊥Y,B⊥y 15,(G1.2.3)如图，已知四棱锥P一ABCD的底面是直角梯 C.a⊥y,B⊥y,m⊥a 形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD,侧面 D.n⊥a,n⊥B,m⊥a PBC⊥底面ABCD. 8.(了1.2.3)m、n表示直线，a,B,y表示平面，给出下列四个 (1)求二面角P-DC-B的大小； 命题，其中真命题为 () (2)求证：平面PAD⊥平面PAB. (1)a∩B=m,nCa,n⊥m,则a⊥B (2)a⊥B,a∩y=m,B∩y=n,则n⊥m (3)a⊥B,a⊥Y,B∩y=m,则m⊥a (4)m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a⊥B A.(1)(2) B.(3)(4) C.(2)(3) D.(2)(4) 二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分） 16.(⑦1.3)如图所示，四棱鞋P-ABCD的底面是边长为1 9.(G2)ABCD是正方形，P为平面ABCD外一点，且PA 的正方形，PD⊥平面ABCD,若侧面PAB与侧面PCD所成的 ⊥平面ABCD,则平面PAB、平面PBC、平面PCD、平面PAD、 角为45°. 平面ABCD这五个平面中，互相垂直的平面有 对 (1)求点C到平面PAB的距离： 10.(①1.3)如图，三棱锥P一ABC (2)侧棱PB上是否存在一点E,使PB⊥平面AEC,若存 中，PB=PC,AB=AC,D为BC的中 在，确定点E的位置：若不存在，请说明理由， 点，AH⊥PD于点H,连接BH,则二面 角A一BH一P的大小为 11.(☐1.3)m、n是空间两条不同直 线，a、3是两个不同平面，下面四个命题： ①m⊥a,n∥B,a∥B→m⊥n; ②m⊥n,a∥B,m⊥a→n∥B; ③m⊥n,a∥B,m∥a→n⊥B 17.(☐1.2.3)已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 ④m⊥a,m∥n,a∥B→n⊥3. 边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面AB 其中，真命题的序号是.（写出所有直命题的序号） CD,E、F、G分别是PA、PB、BC的中点. 12.(G1)在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8,∠ABC=60°， (1)求证：EF⊥平面PAD; PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点，则PM的最小 (2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小： 值为 三、解答题（本题包括5小题，每小题12分，共60分） 13.(心1)如图，P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面 ABC,若O、Q分别是△ABC和△PBC的垂心 求证：OQ⊥平面PBC. ·118·