5.5 直线、平面垂直的判定与性质 题源2 平面与平面垂直-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

经检验，当AS=巨时，ES⊥平面AMN. 2 故线段AV上存在点S,使得ESL平面AMN,此时AS-. 21 ·1 题源2平面与平面垂直 解题模型 1,两个平面垂直的定义：两个平面所成的二面角是直 二面角.定义用于证明两个平面垂直时需要证明它们组成 的二面角是直二面角，即作出它的一个平面角，求或证这 个平面角是直角即可， 2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直.这个定理不仅是 判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平 面的另一个平面的依据，由判定定理的内容可知，证明面 面垂直，可以转化为证线面垂直， 3.性质定理：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂 直于它们的交线的直线垂直于另一个平面，即“面面垂直， 则线面垂直”此定理是构造线面垂直的重要依据 性质定理也可以看作是直线和平面垂直的判定定理 立体几何中，线面垂直和面面垂直的互相转化经常用到. [真题4](2021·北京)如图，四棱锥P-ABCD的底面是 正方形，PD⊥底面ABCD,点E在楼PB上， (I)求证：平面AEC⊥平面PDB; (2)当PD=√2AB且E为PB的中点时，求AE与平面 PDB所成的角的大小， [解析](1)四边形ABCD是正方形，.AC⊥BD. PD⊥底面ABCD,.PD⊥AC. .AC⊥平面PDB. ∴.平面AEC⊥平面PDB. (2)设AC∩BD=O,连接OE. 由(1)知AC⊥平面PDB于O. .∠AEO为AE与平面PDB所成的角. O,E分别为DB,PB的中点， 0E∥PD,OE=PD. 又，PD⊥底面ABCD, ∴.OE⊥底面ABCD,OE⊥AO 在R1△AOE中：OE三2PD=2AB=AO. .∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角为45°. 解法二：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D一xy之. 设AB=a,PD=h,则A(a,0,0),B(a, a,0), C(0,a,0),D(0,0,0),P(0,0,h) (1)AC=(-a,a,0),Dp=(0,0,h), DB=(a,a,0), ∴.AC·DP=0,AC·DB=0. .AC⊥DP,AC⊥BD, .AC⊥平面PDB. .平面AEC⊥平面PDB. (2)当PD=√2AB且E为PB的中点时， P(0,0w2a),E 1121 2a za.2ap 2 设ACRD=0.对0（合a740）连接OE 由(1)知AC⊥平面PDB于O. .∠AEO为AE与平面PDB所成的角. EA= EA.Eò2 ∴.cos∠AEO= EA1·Eò12 .∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角为45， [真题5](2022·山东)如图，在五棱锥P-ABCDE中， PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC,∠ABC= 45°，AB=2W2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形. B4- (1)求证：平面PCD⊥平面PAC; (2)求直线PB与平面PCD所成角的大小： (3)求四棱锥P-ACDE的体积. [解析](1)证明：在△ABC中，因为∠ABC=45°，BC=4, AB=2W2,所以AC2=AB+BC2-2AB·BC·cos45°=8， 因此AC=2√2.故BC2=AC2+AB2,所以∠BAC=90°. 又PA⊥平面ABCDE,AB∥CD, 所以CD⊥PA,CD⊥AC. 又PA、ACC平面PAC,且PA∩AC=A, 所以CD⊥平面PAC,又CDC平面PCD, 所以平面PCD⊥平面PAC. (2)解法一：因为△PAB是等腰三角形，所以PA=AB= 22, 因此PB=√PA+AB=4. 又AB∥CD. 所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的 距离. 由于CD⊥平面PAC,在Rt△PAC中，PA=2√2，AC= 2√2， 所以PC=4. 故在Rt△PAC中，PC边上的高为2，此即为点A到平面 PCD的距离. 所以B到平面PCD的距离为h=2. 设直线PB与平面PCD所成的角为B, 到=高=是日汉，引所以9=音 解法二：由(1)知AB、AC、AP两两相互垂直，分别以AB、 AC、AP为x轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系，由 于△PAB是等腰三角形，所以PA=AB=2√2， 又AC=2√2，因此A(0,0,0),B(2√2,0,0)，C(0,2√2， 0),P(0,0,2√2)， ·1 所以D(-√2,2√2,0. 因此Cp=(0,-2√2,2√2)，CD=(-√2,0,0)， 设m=(x,y,之)是平面PCD的一个法向量， 则m·CP=0,m·CD=0,解得x=0,y=心， 取y=1,得m=(0,1,1),又BP=(-2√2,0,22)， 设日表示向量B户与平面PCD的法向量m所成的角， 则cos0= m·BP1 mB市=2，所以0=3 因此直线PB与平面PCD所成的角为答 (3)因为AC∥ED,CD⊥AC. 所以四边形ACDE是直角梯形 因为AE=2,∠ABC=45°，AE∥BC, 所以∠BAE=135°， 因此∠CAE=45°， 故CD=AE·Sin45=2Xg号=E, ED=AC-AE.cO2-2x 2 所以S四边形ACDE= √2+2w2 2 ×2=3, 又PA⊥平面ABCDE, 所以Vp-ADE= 1 3 X3×22=22. 题源3直线与直线垂直 解题模型 1.利用线面垂直的性质定理. 2,三垂线定理：在平面内的一条 直线，如果和这个平面的一条斜线的 射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内 的一条直线，如果和这个平面的一条 a 斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直， 3,在三垂线定理及其逆定理中，涉及到三个垂直关 系，四条直线： ①垂线PA和平面a垂直： ②射影AO和直线a垂直； ③斜线PO和直线a垂直. (所以，定理称为“三垂线定理”) 3