5.5 直线、平面垂直的判定与性质 题源1 直线与平面垂直-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

§5.5直线、平面垂直的判定与性质 考纲·题型解读 1,理解直线和平面垂直的概念，掌提直线和平面垂直的判定定理.了解三垂线定理及其逆定理，掌握两个平面垂直的判定定 理和性质定理. 2.垂直关系是立体儿何的又一重要位置关系，高考对其考查的频率也很高，按大纲要求主要体现在以下两个方面：一是垂 直关系的判定与证明，二是以垂直关系为工具解决空间中其他计算或证明问题，复习时应注意熟练掌握直线与平面、平面与平 面垂直关系的判定与性质，也要注意垂直关系的拓展与延伸， 五年高考母题题源揭秘 △ABP为等腰直角三角形. 题源1直线与平面垂直 :.AD-AB. ② 解题模型 在Rt△ABC中，∠ABC=60°. 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的 任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面垂直. c-A. 直线1垂直于平面a,记作lLa (1)直线与平面垂直的判定定理： :在R△nDE中CDME-器-品-是 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， AD与平面PAC所成的角的大小为arcsin年 那么这条直线垂直于这个平面 (3)DE∥BC, mCa,nCa,且m∩n=A 又由(1)知，BC⊥平面PAC, l⊥m,l⊥n →l⊥a .DE⊥平面PAC. (2)直线与平面垂直的性质： 又.·AEC平面PAC,PEC平面PAC, ①a⊥a,bCa→a⊥b, ∴DE⊥AE,DELPE. ②a⊥a,b⊥a→a∥b, ∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角. ③a⊥a,b∥a→a⊥b, PAL底面ABC,∴.PA⊥AC .∠PAC=90°. ④a⊥b台a·b=0台a1b1十a,b2十aab3=0, .在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC 其中a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,bg). 这时，∠AEP=90°. 故存在点E使得二面角A一DE一P是直二面角. [真题1](2021·北京)如图，在三棱锥P-ABC中，PA 解法二：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A一xy. ⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D,E分 设PA=a,由已知可得A(0,0,0), ↑ 别在棱PB,PC上，且DE∥BC (1)求证：BC⊥平面PAC: (2)当D为PB的中点时，求AD (0,2a,0P(0,0a. 与平面PAC所成的角的大小； (1):Ap=(0,0,a),BC 2a,0,0, (3)是否存在点E使得二面角 BC.AP=0,BC⊥AP. A一DE-P为直二面角？并说明理由。 又，∠BCA=90°，∴.BC⊥AC [解析]解法一：(1)PA⊥底面 .BC⊥平面PAC. ABC,∴.PA⊥BC. (2)D为PB的中点，DE∥BC, 又∠BCA=90°，∴.AC⊥BC. ∴E为PC的中点 .BC⊥平面PAC. (2):D为PB的中点，DE∥BC, ∴DE=2BC 又由(1)知，BC⊥平面PAC, 又由(1)知，BC⊥平面PAC, DE⊥平面PAC,垂足为点E ∴DEL平面PAC,垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角 .∠DAE是AD与平面PAC所成的角. AD= 131} PA⊥底面ABC,∴.PA⊥AB. -4a,4a,2a 又PA=AB, ·110· 31 A正=0：402aD ∴.cos∠DAE= A市.A龙= 1AD1·1AE14 ∴AD与平面PAC所成的角的大小为arccos √14 41 (3)同解法一 [真题2](2022·陕西)如图，在四棱鞋P一ABCD中，底 又BF∩EF=F,∴PC⊥平面BEF. 面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2√2， (2):PA⊥平面ABCD,.PA⊥BC,又ABCD是矩形， E,F分别是AD,PC的中点. .AB⊥BC, (1)证明：PC⊥平面BEF; .BC⊥平面BAP,BC⊥PB,又由(I)知PC⊥平面BEF, (2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小， ∴.直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的 夹角， 在△PBC中，BP=BC,∠PBC=90°，∴.∠PCB=45. 所以平面BEF与平面BAP的夹角为45°. [真题3](2021·福建)如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB =1,E为BC的中点. [解析]解法一：(1)如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP 所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系. (1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值： D (2)在线段AN上是否存在点S,使得ES⊥平面AMN?若 存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由， [解析](1)如图，以D为坐标原，点，建立空间直角坐标系 :AP=AB=2,BC=AD=2N2,四边形ABCD是矩形. D一xyz. .A,B,C,D,P的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2 √2,0)，D(0,2√2,0)，P(0,0,2) 又E,F分别是AD,PC的中点， ∴.E(0,√2,0)，F(1,√2,1). PC=(2,22,-2),BF=(-1W2,1),EF=(1,0,1) P元.BF=-2+4-2=0,P元.EF=2+0-2=0, ∴PC⊥BF,PC⊥EF,又BF∩EF=F, 依题意，易得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1), ∴PC⊥平面BEF. C0.10o.B11.0.N1,11D.E(合10） (2)由(1)知平面BEF的法向量n1=PC=(2,22,-2) 平面BAP的法向量n2=AD=(0,2√2,0)，n1·n2=8. N=(0,-i=(-101 设平面BEF与平面BAP的夹角为日， 1 n1·nl8_2 N正.AM 2 √10 则cos0=cosn1·n:)1=n1n:=4X2W2?' cos(NE,AM)= 誓× 10, ∴日=45°，∴平面BEF与平面BAP的夹角为45° 解法二：(I)连结PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中， 所以并面直线NE与AM所成角的余孩位为四 10 PA=AB=CD,AE=DE, (2)假设在线段AN上存在点S,使得ES⊥平面AMN, .PE=CE,即△PEC是等腰三角形， :AN=(0,1,1),可设A5=λAN=(0,A,A), 又F是PC的中，点，.EF⊥PC, 又BP=√AP+AB=2√2=BC,F是PC的中点. 天=（合-10…感厨=+=（分A-1以 .BF⊥PC. 由ES⊥平面AMN,得 区=0{专+=0 5·AN=0,”{a-1)+x=0. ·111· 经检验，当AS=2时，ESL平面AMN 题源2平面与平面垂直 故线段AN上存在，点S,使得ES⊥平面AMN,此时AS= 今 2 解题模型 1,两个平面垂直的定义：两个平面所成的二面角是直 二面角.定义用于证明两个平面垂直时需要证明它们组成 的二面角是直二面角，即作出它的一个平面角，求或证这 个平面角是直角即可 2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直.这个定理不仅是 判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平 面的另一个平面的依据，由判定定理的内容可知，证明面 面垂直，可以转化为证线面垂直. 3.性质定理：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂 直于它们的交线的直线垂直于另一个平面，即“面面垂直， 则线面垂直.”此定理是构造线面垂直的重要依据。 性质定理也可以看作是直线和平面垂直的判定定理」 立体几何中，线面垂直和面面垂直的互相转化经常用到 [真题4幻(2021·北京)如图，四棱锥P-ABCD的底面是 正方形，PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上， (1)求证：平面AEC⊥平面PDB: (2)当PD=√2AB且E为PB的中点时，求AE与平面 PDB所成的角的大小 [解析](1)：四边形ABCD是正方形，∴ACLBD. PD⊥底面ABCD,∴.PD LAC .AC⊥平面PDB. .平面AEC⊥平面PDB. (2)设AC∩BD=O,连接OE 由(1)知AC⊥平面PDB于O. .∠AEO为AE与平面PDB所成的角. .O,E分别为DB,PB的中点， OE/PD.OE-PD. 又PD⊥底面ABCD, .OE⊥底面ABCD,OE⊥AO. 在R△A0E中，0E-PD- 2AB-A0. ∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角为45. 解法二：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D一xy 设AB=a,PD=h,则A(a,0,0),B(a, 2 a,0), C(0,a,0),D(0,0,0),P(0,0,h). (1)AC=(-a,a0),DP=(0,0,h), DB=(a,a,0), :.AC.DP=0,AC.DB=0. .AC⊥DP,AC⊥BD ∴AC⊥平面PDB. .平面AEC⊥平面PDB」 (2)当PD=√2AB且E为PB的中点时， pona.(号-) ·112·