5.4 直线、平面平行的判定与性质 题源1 直线与平面、平面与平面平行的判定与性质-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

§5.4直线、平面 考纲·题型解读 1.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理.掌握平面与 2.本考点是立体儿何的重要组成部分，是高考的重点内容， 的位置关系判定或平行性的证明：二是通过计算题中必不可少 五年高考母题题源揭秘 题源1直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 解题模型 1.直线与平面的位置关系 位置关系 公共点个数 直线上有两个点在平面内，则所有点都在 直线在平面内 平面内 直线 直线和平 直线与平面有且仅有一个公共点 面相交 在平 直线和平 面外 直线与平面没有公共点 面平行 2.直线和平面平行 (1)定义：直线与平面没有公共，点，则称此直线1与平 面a平行，记作1∥a. (2)判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内 的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为 “线线平行→线面平行”). (3)性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这 条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行（简记为“线面平行→线线平行”）. 3.直线与平面的距离 (1)直线1∥平面a,如图所示，A∈1，B∈1，AA1⊥a, BB1⊥a.垂足分别为A1、B1,则AA1业BB1.文字叙述为： 一个平面的平行线上的点到该平面的距离处处相等，我们 把AA1的长度叫做l到平面a的距离. 4.两个平面平行 (1)定义：没有公共点的两个平面 叫做平行平面，符号表示：平面Q、平面 B,若a∩B=☑，则a∥B. (2)判定定理（文字语言、图形语 a 言、符号语言)： 序号 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面 内有两条相交 的直线都平行 于另一个平面， a aCa,bCa,a 判定定理 那么这两个平 ∩b=P,a∥3， 面平行（简记为 b∥B=>a∥B “线面平行→面 面平行”) 平行的判定与性质 平面平行的判定定理和性质定理，能运用定理论证一些问题. 主要考查内容有两方面：一是直接考查直线与平面、平面与平面 证明步骤间接考查直线与平面、平面与平面的平行. 序号 文字语言 图形语言 符号语言 如果两个平面 判定定理2 同垂直于一条 直线，那么这两 3} 个平面平行 平行于同一个 判定定理3 平面的两个平 a∥B→a∥y B∥y3 面平行 (3)两平面平行的性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）： 序号 文字语言 图形语言 符号语言 如果两个平面 平行，那么在一 a∥B且aCa→ 性质定理1 个平面内所有 直线都平行于 a∥3 另一个平面 B 如果两个平行 平面同时和第 三个平面相交， a∥3且y∩a= 性质定理2 那么它们的相 a且y∩3=b→ 交线平行（简记 a∥b 为“面面平行→ 线线平行”) 如果两个平行 平面中有一个 垂直于一条直 a∥3且l⊥a→ 性质定理3 线，那么另一个 1⊥3 平面也垂直于 这条直线 5.两个平行平面的距离 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它 也垂直于另一个平面.这条直线叫做两个平行平面的公垂 线，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的公共 垂线，它的长度叫做两个平行平面的距离， 6.数学思想方法：转化思想方法—一直线与平面平行 的判定定理和性质定理的实质就是线线平行与线面平行 的转化. 判定 荆定面面平行 线线平行在质线面平行注质 [真题1](2022·山东)在空间，下列命题正确的是() A,平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 [解析]A项，平行直线的平行投影也可以是两条平行线： B项，平行于同一直线的两个平面可平行、可相交：C项，垂直于 同一平面的两个平面可平行、可相交；D项正确，选D. [真题2](2021·北京)若正四棱柱ABCD-A1B1C1D, 的底面边长为1，AB,与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面 ABCD的距离为 A.3 B.1 C.√2 D.3 D iD -60° A [解析]本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成 的角以及直线与平面的距离等概念.属于基础知识、基本运算的 考查.依题意，∠B1AB=60°，BB1=AB X tan60°=√3，故选D. [真题3](2021·江西)如图，在四面体ABCD中，若截面 PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的是 ( A.AC⊥BD B.AC∥截面PQMN C.AC=BD D.异面直线PM与BD所成的角为45° [解析]本题由于截面PQMN是正方形，则对应边平行且 相等，但截面的位置关系不明确，故长度关系不明确，从而可先 考查选项C,易知其不正确，而其他选项由线面的位置关系可证 明成立，从而知选C. [真题4](2018·浙江)正四面体ABCD的棱长为1，棱 AB∥平面a,则正四面体上的所有点在平面a内的射影构成的 图形面积的取值范围是 [解析]考查正四面体、点在平面内的射影、线面关系等基 础知识，空间想象能力和推理能力.由已知得当CD⊥a时，所求 西报减小为9CD/。时，所求西和最大为填号， 题源2平行关系的综合运用 [真题5](2021·天津)如图，在四棱锥P一ABCD中， PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点， ·10 AD=CD=1,DB=22 (1)证明：PA∥平面BDE: (2)证明：AC⊥平面PBD; (3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值， [解析](1)设AC∩BD=H,连接EH D 在△ADC中，因为AD=CD,且DB平分∠ADC,所以H 为AC的中点 又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA 又EHC平面BDE且PA中平面BDE,所以PA∥平 面BDE (2)因为PD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, 所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC. 又PD∩DB=D,故AC⊥平面PBD (3)由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的 射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角， 由AD⊥CD,AD=CD=1,DB=2√2， 可得DH=CH=E」 ?,BH=3V 2 在Rt△BHC中，tam∠CBH-H-了， 所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为 3 [真题6](2021·山东)如图，在直四楼柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD,AB=4,BC =CD=2,AA1=2,E,E1,F分别是棱AD、AA1、AB的中点. (I)证明：直线EE1∥平面FCC1; (2)求二面角B一FC1一C的余弦值 [解析](1)证法一：取A1B1的中点F1,连接FF1,C1F1, D C y 由于FF1∥BB1∥CC1,所以F,∈平面FCC1, 因此平面FCC,即为平面C,CFF,, 连接A1D,F1C,由于A1F1LD1C1LCD, 所以四边形A1DCF1为平行四边形， 因此A1D∥F1C. 又EE1∥A1D,得EE1∥F,C, 而EE,庄平面FCC1,F1CC平面FCC1, 故EE1∥平面FCC1. 证法二：因为F为AB的中点，CD=2,AB=4,AB∥CD, 所以CD LAF, 5