5.2 空间几何体的表面积和体积 题源2 体积-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

[真题4](2021·全国I)直三棱柱ACB-A1B1C1的各 顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°，则 此球的表面积等于 [解析]设球心为O,△ABC外接圆圆心为O',OO'⊥ ⊙O,由对称性可知，OO|=1,设△ABC外接圆半径为r,由 BC 余孩定理得BC引=2√3，由正弦定理得2r= in120=4,r=A0 =2,R2=OO2十AO':=1十4=5，球的表面积S=4rR2=20π 题源2体积 解题模型 (1)几何体的体积公式： ①柱体的体积公式V=Sh(其中S为底面面积，h为高). @维体的体积公式V=子S(共中S为底而面叔 为高). 圆台体的体积公式V=3(S+S'+√SS)h(其中 S'、S为上、下底面面积，h为高) ④球的体积公式V=青xR(其中R为球半径). (2)计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些 基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题. 【注意】①计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根 据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用旋转体 的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解 ②注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化 法等是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟 练掌握， ③利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些求点到平 面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的 高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解 决问题， [真题5](2022·上海)如图所示，在边长为4的正方形纸 片ABCD中，AC与BD相交于O.剪去△AOB,将剩余部分沿 OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A(B)、C、D、O为顶点的 四面体的体积是 [解析]折叠后的几何体如图， 8 ∠AOC=∠AOD=∠COD=90°， OA=OC=OD=2√2， 1 ,182 六VA-an=3×2W2)×2=g [真题6](2022·浙江)若某几何体的三视图（单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是 cm'. [解析]由三视图知2斗 42 此几何体是由一个长方体 和一个台体组成，由题中数 据知长方体体积为4×4×2 =32. 正视图 侧视图 台体体积为号X3×(通 12 ×4+8×8+4×8)=112, ∴.几何体体积为112十 2 32=144. 俯视图 [真题7刀(2020·全国)如图，体积为V的大球内有4个小 球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交 点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方体的4个顶点. 设V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V,为大球内、小 球外的图中黑色部分的体积，则下列关系式中正确的是( A.V,V 2 B.V:<2 V C.V>V2 D.V<V2 [解析]本题解题思路是结合图形与选项，通过作差，从而 比较相关体积间的大小关系，设大球半径是2，依题意结合图形 14π ·(2a) V>0,因此有V>VV>,选D [真题8](2018·山东)正方体的内切球与其外接球的体 积之比为 ( A.1:√3 B.1:3 C.1:33 D.1:9 1 解析]令正方体校长为1，则RA=)R③ 2 ∴V%:V*= 传份)门：[台)]=1选c [真题9](2022·全国Ⅱ)已知正四楼锥S-ABCD中， SA=2√3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 () A.1 B.3 C.2 D.3 [解析]设正四棱锥的高为h,如图， S0=h,则AO=√SA-SOF= √I2-h(0<h<2√3)，AB=√2AO= V24-0,V=号smh=8M-2 =8-2h2,令V'=0,h=2(-2舍去)，当0<h<2时，V'>0:当2 h<2√3时，V'<0,所以当h=2时，V取到最大，故选C. [真题10](2022·全国I)已知在半径为2的球面上有 A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最 大值为 4.2g B.43 3 3 C.25 D&3 3 [解析]解法一：设AB=a, CD=b,异面直线AB与CD所成 角为9，距离为h,将△BCD补成 平行四边形BCDE,则BE=b, ZABE=0,.VA-BCD =VA-BDE= 1 Vn-ABe=3X2 absin9·h= B 1 sin6,由题意知a=b=2,分 别以AB、CD为直径作两个互相 平行的圆面，则h=2√3，∴.VA-D= 6×2×2X23sin0= 4√3 4√3 8sin9≤3，当9=90时取等号，故选B. [真题1川(2019·过宁)若一个底面边长为.侧检长为 √6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 [解析]如右图所示，正六棱柱 A1B:C1D1E1F1一ABCDEF中AB= 0, ,AA=,设正六棱柱上下底面的 √6 M C 中心为，点M,连结MA,则MA的长即 为正六棱柱的外接球半径，且MA= √AO+OMF +( =3 V袋= 3T·MA3=4V3元. 题源3空间几何体体积公式的综合运用 [真题12](2022·北京)如图，正方体ABCD- A1B,C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P、Q分 别在棱AD,CD上，若EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=x(xy、 之大于季)，则四面体PEFQ的体积 ( D A D p B A.与x,y之都有关 B.与x有关，与yx无关 C.与y有关，与x,心无关 ·9 D.与x有关，与xy无关 [解析]把，点P看作顶点，△QE℉为底面，易知不管动点 E,F怎么样在棱AB1上移动，△QEF的面积一定，并且 △QEF所在的平面和对角面A1B1CD是同一个平面，所以P 到底面QEF的距离就是到平面A1B1CD的距离，这与P的位 置有关，所以可知应当选D. [真题13](2022·四川)已知正方体ABCD-A'B'C'D 的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点. (1)求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线； (2)求二面角M-BC'-B'的大小： (3)求三棱鞋M-一OBC的体积」 D' M [解析]解法一：(1)连结AC,取AC的中点K,则K为 BD的中点，连结OK. 因为点M是棱AA'的中点，点O是BD'的中点， 所以AML号DD'LOK, 所以OLAK. 由AA'⊥AK,得MO D' ⊥AA′. 因为AK⊥BD,AK ⊥BB', 所以AK⊥平面BDD'B, 所以AK⊥BD'. 所以MO⊥BD', 又因为OM与异面直线A B AA'和BD'都相交， 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线. (2)取BB'的中点N,连结MN,则MN⊥平面BCC'B'.过 点N作NH⊥BC'于H,连结MH,则由三垂线定理得，BC ⊥MH. 从而，∠MHN为二面角M一BC'一B'的平面角. MN=1,NH-BNsin45"-1x 2×2= 在RIAMNH中，an∠MHN=MY=1=2E. NH2 4 故二面角M-BC'-B的大小为arctan2√2. (3)易知，S△oBC=S△oAD,且△OBC和△OA'D'都在平面 BCD'A'内.点O到平面MA'D'的距离A=2 1 Vg版=Vwaw=。w=3Sawh= 1 解法二：以点D为坐标原，点，建立如图所示的空间直角坐标 系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A'(1,0,1), C(0,1,1),D'(0,0,1).